§　等腰三角形与直角三角形(试题部分)ppt课件

1、第四章 图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形中考数学中考数学 (河南公用河南公用)五年中考A组 2021-2021年河南中考题组五年中考1.(2021河南河南,6,3分分)如图如图,在在ABC中中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分垂直平分AC交交AB于点于点E,那么那么DE的长为的长为()A.6B.5C.4D.3答案答案D在在ABC中中,ACB=90,DE垂直平分垂直平分AC,AD=DC,DEBC,E为为AB的中点的中点,DE=BC,BC=6,DE=BC=3.应选应选D.1222ABAC122.(2021河南河南,15,3分分)如图如图,MAN=90,点点C在边在边AM上上,

2、AC=4,点点B为边为边AN上一动点上一动点,衔接衔接BC,ABC与与ABC关于关于BC所在直线对称所在直线对称.点点D,E分别为分别为AC,BC的中点的中点,衔接衔接DE并延伸交并延伸交AB所所在直线于点在直线于点F,衔接衔接AE.当当AEF为直角三角形时为直角三角形时,AB的长为的长为.答案答案4或或43解析解析(1)当点当点A在直线在直线DE下方时下方时,如图如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角为钝角三角形形,不符合不符合;(2)当点当点A在直线在直线DE上方时上方时,如图如图2.当当AFE=90时时,DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形由对称知四边形ABAC

3、为正方形为正方形,AB=AC=4;当点当点A在直线在直线DE上方时上方时,如图如图3.当当AEF=90时时,AEAC,所以所以AEC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE为为等边三角形等边三角形,ACB=ACB=60,在在RtACB中中,AB=ACtan60=4;当点当点A在直线在直线DE上方时上方时,EAFCAB,不能够为不能够为90.综上所述综上所述,当当AEF为直角三角形时为直角三角形时,AB的长为的长为4或或4.33图1图2图3思绪分析由题意知思绪分析由题意知,点点B为边为边AN上的动点上的动点,A点的对称点点的对称点A可以在直线可以在直线DE的下方或上方的下方或上方.分类分

4、类讨论讨论,当点当点A在在DE的下方时的下方时,AEF不能够为直角三角形不能够为直角三角形,当点当点A在直线在直线DE上方时上方时,AEF或或AFE为为90时分别计算时分别计算AB的长的长,显然显然EAF90,可以排除可以排除.方法总结解对称方法总结解对称(折叠折叠)型问题型问题,当对称轴过定点时当对称轴过定点时,普通要找出对称中的定长线段普通要找出对称中的定长线段,以定点为以定点为圆心圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据标题中所要求的条再根据标题中所要求的条件件,结合全等、类似或勾股定理等计算得出结果结合全等、

5、类似或勾股定理等计算得出结果.3.(2021河南河南,14,3分分)如图如图1,点点P从从ABC的顶点的顶点B出发出发,沿沿BCA匀速运动到点匀速运动到点A.图图2是点是点P运运动时动时,线段线段BP的长度的长度y随时间随时间x变化的关系图象变化的关系图象,其中其中M为曲线部分的最低点为曲线部分的最低点,那么那么ABC的面积是的面积是.答案答案12解析察看题图可知解析察看题图可知BC=BA=5.当当BPAC时时,BP=4,此时此时AP=CP=3,所以所以AC=6,所所以以SABC=64=12.22BCBP124.(2021河南河南,15,3分分)如图如图,在在RtABC中中,A=90,AB=A

6、C,BC=+1,点点M,N分别是边分别是边BC,AB上上的动点的动点,沿沿MN所在的直线折叠所在的直线折叠B,使点使点B的对应点的对应点B落在边落在边AC上上.假设假设MBC为直角三角为直角三角形形,那么那么BM的长为的长为.2始终答案答案或或1212解析在解析在RtABC中中,A=90,AB=AC,B=C=45.(1)当当MBC=90时时,BMC=C=45.设设BM=x,那么那么BM=BC=x,在在RtMBC中中,由勾股定理得由勾股定理得MC=x,x+x=+1,解得解得x=1,BM=1.(2)如图如图,当当BMC=90时时,点点B与点与点A重合重合,此时此时BM=BM=BC=.综上所述综上所

7、述,BM的长为的长为1或或.222122122125.(2021河南河南,11,3分分)如图如图,在在ABC中中,按以下步骤作图按以下步骤作图:分别以点分别以点B、C为圆心为圆心,以大于以大于BC的的长为半径作弧长为半径作弧,两弧相交于两弧相交于M、N两点两点;作直线作直线MN交交AB于点于点D,衔接衔接CD.假设假设CD=AC,B=25,那那么么ACB的度数为的度数为.12答案答案105解析由题意知解析由题意知MN垂直平分垂直平分BC,CD=BD,又又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25,A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.6.(2021河南河南,22,10分分)(1

8、)问题发现问题发现如图如图1,ACB和和DCE均为等边三角形均为等边三角形,点点A、D、E在同不断线上在同不断线上,衔接衔接BE.填空填空:AEB的度数为的度数为;线段线段AD、BE之间的数量关系为之间的数量关系为.(2)拓展探求拓展探求如图如图2,ACB和和DCE均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点点A、D、E在同不断线上在同不断线上,CM为为DCE中中DE边上的高边上的高,衔接衔接BE.请判别请判别AEB的度数及线段的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关之间的数量关系系,并阐明理由并阐明理由.图1 图2(3)处理问题如图3,在正方形ABCD中,CD=.假设点P满

9、足PD=1,且BPD=90,请直接写出点A到BP的间隔.2图3解析解析(1)60;AD=BE.(2分分)(2)AEB=90;AE=2CM+BE.(4分分)(注注:假设未给出本判别结果假设未给出本判别结果,但后续理由阐明完全正确但后续理由阐明完全正确,不扣分不扣分)理由理由:ACB和和DCE均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,CD=CE,ACB-DCB=DCE-DCB,ACD=BCE.ACD BCE.(6分分)AD=BE,BEC=ADC=.AEB=BEC-CED=-45=90.(7分分)在等腰直角三角形在等腰直角三角形DCE中中,CM为斜边为斜边DE上的高上的

10、高,CM=DM=ME.DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE.(8分分)(3)或或.(10分分)312312【提示】PD=1,BPD=90,BP是以点D为圆心、1为半径的D的切线,点P为切点.第一种情况:如图,衔接BD,AP,过点A作AP的垂线,交BP于点P,可证APD APB,PD=PB=1.CD=,BD=2,BP=,作AMPP,交PP于点M,AM=PP=(PB-BP)=.第二种情况:如图,由上同理可得AM=PP=(PB+BP)=.2312123121212312思绪分析思绪分析(1)根据等边三角形的性质断定根据等边三角形的性质断定ACD BCE即可得结论即可得结论.(2)根据等腰直角

11、三角根据等腰直角三角形的性质形的性质,类比第类比第(1)问断定问断定ACD BCE,从而得解从而得解.(3)根据根据PD=1且且BPD=90,运用圆的切运用圆的切线的性质构造直角三角形解题即可线的性质构造直角三角形解题即可.解题关键断定解题关键断定ACD BCE,利用全等三角形的性质求利用全等三角形的性质求AEB的大小并表示相应线段间的大小并表示相应线段间的数量关系是此题关键的数量关系是此题关键.考点一等腰三角形考点一等腰三角形B组 2021-2021年全国中考题组1.(2021福建福建,5,4分分)如图如图,等边三角形等边三角形ABC中中,ADBC,垂足为垂足为D,点点E在线段在线段AD上上

12、,EBC=45,那么那么ACE等于等于()A.15B.30C.45D.60答案答案A由等边三角形由等边三角形ABC中中,ADBC,垂足为点垂足为点D,可得可得ACB=60,且点且点D是是BC的中点的中点,所所以以AD垂直平分垂直平分BC,所以所以EC=EB,根据等边对等角根据等边对等角,得到得到ECB=EBC=45,故故ACE=ACB-ECB=60-45=15.2.(2021湖北黄冈湖北黄冈,4,3分分)如图如图,在在ABC中中,直线直线DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,且分别交且分别交BC,AC于点于点D和和E,B=60,C=25,那么那么BAD为为()A.50B.70C.75D.80答

13、案答案B由于直线由于直线DE是是AC的垂直平分线的垂直平分线,所以所以AD=DC,所以所以DAC=C=25,所以所以ADC=180-(25+25)=130.由于由于ADC=B+BAD,所以所以BAD=ADC-B=130-60=70,应选应选B.3.(2021内蒙古包头内蒙古包头,6,3分分)假设等腰三角形的周长为假设等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为其中一边长为2cm,那么该等腰三角形那么该等腰三角形的底边长为的底边长为()A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm答案答案A当腰长为当腰长为2cm时时,底边长为底边长为6cm,但是但是2+2=40),那么那么FG=x,BF=4-x.BG=A

14、B-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE=CF=.选A.32322.(2021北京北京,6,3分分)如图如图,公路公路AC,BC相互垂直相互垂直,公路公路AB的中点的中点M与点与点C被湖隔开被湖隔开,假设测得假设测得AM的长的长为为1.2km,那么那么M,C两点间的间隔为两点间的间隔为()A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km答案答案DACBC,M是是AB的中点的中点,MC=AB=AM=1.2km.应选应选D.123.(2021福建福建,13,4分分)如图如图,RtABC中中,ACB=90,AB=6,D是是AB的中点的中点,那

15、么那么CD=.答案答案3解析依题意可知解析依题意可知CD是直角三角形是直角三角形ABC斜边上的中线斜边上的中线,由由“直角三角形斜边上的中线等于斜直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得边的一半可得CD=AB=3.124.(2021天津天津,17,3分分)如图如图,在边长为在边长为4的等边的等边ABC中中,D,E分别为分别为AB,BC的中点的中点,EFAC于点于点F,G为为EF的中点的中点,衔接衔接DG,那么那么DG的长为的长为.答案答案192解析衔接解析衔接DE,在等边在等边ABC中中,D、E分别是分别是AB、BC的中点的中点,DEAC,DE=EC=AC=2.DEB=C=60.EFAC,EF

16、C=90.FEC=30,EF=.DEG=180-60-30=90.G是是EF的中点的中点,EG=.12332在RtDEG中,DG=.22DEEG22322192思绪分析衔接思绪分析衔接DE,根据题意可得根据题意可得DEAC,又又EFAC,可得到可得到FEC的度数的度数,判别出判别出DEG是是直角三角形直角三角形,再根据勾股定理即可求解再根据勾股定理即可求解DG的长的长.疑问突破此题主要根据等边三角形的性质疑问突破此题主要根据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长的长,DG与图中的线段无直接的关系与图中的线段无直接的关系,所以应

17、根据条件衔接所以应根据条件衔接DE,构造直角三角形构造直角三角形,运用勾股运用勾股定理求出定理求出DG的长的长.5.(2021云南云南,6,3分分)在在ABC中中,AB=,AC=5,假设假设BC边上的高等于边上的高等于3,那么那么BC边的长为边的长为.34答案答案1或或9解析分两种情况讨论解析分两种情况讨论:BC边上的高在边上的高在ABC内时内时,如图如图,过过A作作ADBC于点于点D.在在RtABD中中,AB=,AD=3,BD=5.在在RtACD中中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9.BC边上的高位于边上的高位于ABC外时外时,如图如图,同可求得同可求得BD=5,CD=4,

18、BC=1.综上综上,BC的长为的长为1或或9.3422ABAD22ACAD思绪分析根据题意画图思绪分析根据题意画图,要思索全面要思索全面,利用勾股定了解直角三角形即可利用勾股定了解直角三角形即可.易错警示此题容易只思索易错警示此题容易只思索BC边上的高在边上的高在ABC内的情况而导致漏解内的情况而导致漏解.6.(2021吉林吉林,11,3分分)如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=5,AD=3.矩形矩形ABCD绕着点绕着点A逆时针旋转一定角逆时针旋转一定角度得到矩形度得到矩形ABCD.假设点假设点B的对应点的对应点B落在边落在边CD上上,那么那么BC的长为的长为.答案答案1解析由题意可知解

19、析由题意可知,AB=AB=5,在在RtADB中中,利用勾股定理可得利用勾股定理可得DB=4,所以所以BC=1.思绪分析在思绪分析在RtABD中中,利用勾股定理求出利用勾股定理求出BD的长的长,即可求出即可求出BC的长的长.7.(2021山西山西,15,3分分)一副三角板按如图方式摆放一副三角板按如图方式摆放,得到得到ABD和和BCD,其中其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E为为AB的中点的中点,过点过点E作作EFCD于点于点F.假设假设AD=4cm,那么那么EF的长为的长为cm.答案答案(+)26解析如图解析如图,衔接衔接DE,过点过点E作作EMBD于点于点M,设设EF交交BD

20、于点于点N,AD=4cm,A=60,AB=8cm,DB=4cm,点点E为为AB的中点的中点,EMBD,DE=AB=4cm,EM=AD=2cm,由等腰直角三由等腰直角三角形的性质可知角形的性质可知ENM=FND=45,在在RtENM中中,EN=EM=2cm,MN=EM=2cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在在RtDFN中中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm.3121222123226226226一题多解过点一题多解过点A作作AGCD的延伸线于点的延伸线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2cm,ABD=30,BD=AD=4

21、cm,CBD=45,BC=2cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是是AB的中点的中点,点点F为为CG的中点的中点,EF=(AG+BC)=(2+2)=(+)cm.2AD2332BD6121226268.(2021宁夏宁夏,14,3分分)如图如图,RtAOB中中,AOB=90,OA在在x轴上轴上,OB在在y轴上轴上,点点A,B的坐标分别为的坐标分别为(,0),(0,1).把把RtAOB沿着沿着AB对折得到对折得到AOB,那么点那么点O的坐标为的坐标为.3答案答案3 3,22解析如图解析如图,作作OCOA,垂足为垂足为C,在在RtAOB中中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBA

22、O=,BAO=30,由题意可得由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=30,OAO=60.在在RtOAC中中,AC=AOcos60=,OC=AOsin60=,OC=AO-AC=,O.33333232323 3,229.(2021黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨,17,3分分)在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中中,ACB=90,AC=3,点点P为边为边BC的三等的三等分点分点,衔接衔接AP,那么那么AP的长为的长为.答案答案或或1013解析当解析当CP=1时时,根据勾股定理得根据勾股定理得AP=;当当CP=2时时,根据勾股定理得根据勾股定理得AP=,故故AP的长为的长为或或.22311022ACC

23、P223213101310.(2021上海上海,18,4分分)知在知在ABC中中,AB=AC=8,BAC=30.将将ABC绕点绕点A旋转旋转,使点使点B落在落在原原ABC的点的点C处处,此时点此时点C落在点落在点D处处.延伸线段延伸线段AD,交原交原ABC的边的边BC的延伸线于点的延伸线于点E,那么那么线段线段DE的长等于的长等于.答案答案4-43解析如图解析如图,作作BFAE交交AE于点于点F,在在RtABF中中,BAF=60,AB=8,可得可得AF=4,BF=4,所以所以DF=AD-AF=8-4=4.易证易证BFE是等腰直角三角形是等腰直角三角形,所以所以EF=BF=4,所以所以DE=EF

24、-DF=4-4.333评析此题调查解含特殊角的直角三角形评析此题调查解含特殊角的直角三角形,画出图形画出图形,经过作出适当的辅助线经过作出适当的辅助线,把普通的三角形把普通的三角形化为直角三角形是关键化为直角三角形是关键,属于中等难度题属于中等难度题.11.(2021贵州贵阳贵州贵阳,15,4分分)如图如图,在在RtABC中中,BAC=90,AB=AC=16cm,AD为为BC边上的高边上的高,动动点点P从点从点A出发出发,沿沿AD方向以方向以cm/s的速度向点的速度向点D运动运动.设设ABP的面积为的面积为S1,矩形矩形PDFE的面的面积为积为S2,运动时间为运动时间为t秒秒(0t8),那么那

25、么t=秒时秒时,S1=2S2.2答案答案6解析由题意可知解析由题意可知RtADC和和RtEFC都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,AD=DC=BD=8.由于由于AP=t,所以所以DP=EF=FC=8-t,DF=t;S1=APBD=t8=8tcm2,S2=PDDF=(8-t)t=(-2t2+16t)cm2,所以当所以当S1=2S2时时,有有8t=-4t2+32t,解得解得t=6.22222121222222评析此题综合调查函数解析式、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点评析此题综合调查函数解析式、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点,属中等难度题属中等难度题.12.(2021广东广东,21,7

26、分分)如图如图,RtABC中中,B=30,ACB=90,CDAB交交AB于于D.以以CD为较短的为较短的直角边向直角边向CDB的同侧作的同侧作RtDEC,满足满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样的方法作继续用同样的方法作RtHIC,HCI=90.假设假设AC=a,求求CI的长的长.解析解析RtABC中中,B=30,ACB=90,A=60.(1分分)CDAB,ADC=90,ACD=30.(2分分)AC=a,RtADC中中,AD=AC=,CD=AD=a.(4分分)同理可得同理可得,RtDFC中中,DF=CD=a,CF=DF=a.(5分分)

27、RtFHC中中,FH=CF=a,CH=FH=a,(6分分)RtCHI中中,CI=CH=a.(7分分)122a3321234334123833 38398评析此题调查直角三角形的根本性质与运算评析此题调查直角三角形的根本性质与运算.13.(2021北京北京,23,5分分)如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为分别为AC,CD的中点的中点,连连接接BM,MN,BN.(1)求证求证:BM=MN;(2)假设假设BAD=60,AC平分平分BAD,AC=2,求求BN的长的长.解析解析(1)证明证明:在在ABC中中,ABC=90,M为为AC的中点的中点,BM=AC.N

28、为为CD的中点的中点,MN=AD.AC=AD,BM=MN.(2)BAD=60,AC平分平分BAD,BAC=CAD=30.由由BM=AM,可得可得BMC=2BAC=60.由由MNAD,可得可得CMN=CAD=30.BMN=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN=1.在在RtBMN中中,BN=.121222BMMN214.(2021福建龙岩福建龙岩,24,13分分)如图如图,在在RtABC中中,ACB=90,AC=6,BC=8,点点D以每秒以每秒1个单位长个单位长度的速度由点度的速度由点A向点向点B匀速运动匀速运动,到达到达B点即停顿运动点即停顿运动.M,N分别是分别是AD,CD的中点的

29、中点,衔接衔接MN.设点设点D运动的时间为运动的时间为t.(1)判别判别MN与与AC的位置关系的位置关系;(2)求点求点D由点由点A向点向点B匀速运动的过程中匀速运动的过程中,线段线段MN所扫过区域的面积所扫过区域的面积;(3)假设假设DMN是等腰三角形是等腰三角形,求求t的值的值.解析解析(1)在在ADC中中,M是是AD的中点的中点,N是是DC的中点的中点,MNAC.(3分分)(2)如图,分别取ABC三边中点E,F,G,并衔接EG,FG.根据题意可知线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积.AC=6,BC=8,AE=3,GC=4,ACB=90,S AFGE=AEGC=12,线段MN扫过区域

30、的面积为12.(7分)(3)解法一:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分)ii)当MD=DN时,AD=DC,过D作DHAC交AC于H,那么AH=AC=3,cos A=,12121212AHADACABAD=t=5.(11分)iii)当DN=MN=3时,AC=DC.衔接MC,那么CMAD.cos A=,即=,AM=,AD=t=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分)解法二:依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3.AMACACAB6AM610185365365121

31、212i)当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,t=6.(9分)ii)当MD=DN时,AD=DC,DAC=ACD,ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90,B=BCD,BD=CD=AD,在RtABC中,AB=10,t=AD=AB=5.(11分)22ACBC12iii)当DN=MN=3时,AC=DC,衔接MC,那么CMAB.SACB=BCAC=ABMC,CM=.在RtAMC中,AM=.t=AD=2AM=.综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.(13分)121224522ACC(2021重庆重庆,24,10分分)如图如图,ABC

32、中中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是垂足是D,AE平分平分BAD,交交BC于点于点E.在在ABC外有一点外有一点F,使使FAAE,FCBC.(1)求证求证:BE=CF;(2)在在AB上取一点上取一点M,使使BM=2DE,衔接衔接MC,交交AD于点于点N,衔接衔接ME.求证求证:MEBC;DE=DN.证明如图证明如图.(1)BAC=90,AFAE,1+EAC=90,2+EAC=90,1=2.(1分分)又又AB=AC,B=ACB=45.FCBC,FCA=90-ACB=90-45=45,B=FCA,(2分)ABE ACF(ASA).(3分)BE=CF.(4分)(2)过E作EGAB于点G.

33、B=45,GBE是等腰直角三角形,BG=EG,3=45.(5分)ADBC,AE平分BAD,EG=ED,BG=ED.BM=2ED,BM=2BG,即G是BM的中点.(6分)直线EG是BM的垂直平分线,EB=EM,4=3=45,MEB=4+3=45+45=90,即MEBC.(7分)ADBC,MEAD,5=6.1=5,1=6,AM=EM.MC=MC,RtAMC RtEMC(HL),(8分)7=8.BAC=90,AB=AC,ACB=45,BAD=CAD=45,5=7=22.5,AD=CD.ADE=CDN=90,ADE CDN(ASA),(9分)DE=DN.(10分)评析此题调查了全等三角形的断定与性质评

34、析此题调查了全等三角形的断定与性质,等腰直角三角形的断定与性质等腰直角三角形的断定与性质,角平分线的性质角平分线的性质定理定理,构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键.16.(2021浙江温州浙江温州,22,8分分)勾股定理奥秘而愉快勾股定理奥秘而愉快,它的证法多样它的证法多样,其巧妙各有不同其巧妙各有不同,其中的其中的“面积面积法给了小聪以灵感法给了小聪以灵感.他惊喜地发现他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图当两个全等的直角三角形如图1或图或图2摆放时摆放时,都可以用都可以用“面积法来证明面积法来证明.下面是小聪利用图下面是小聪利用图1证

35、明勾股定理的过程证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图将两个全等的直角三角形按图1所示摆放所示摆放,其中其中DAB=90.求证求证:a2+b2=c2.图图1证明证明:衔接衔接DB,过点过点D作作BC边上的高边上的高DF,那么那么DF=EC=b-a.S四边形四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab,又又S四边形四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),b2+ab=c2+a(b-a),a2+b2=c2.1212121212121212请参照上述证法,利用图2完成下面的证明. 图2将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.证明:衔接

36、.S五边形ACBED= ,又S五边形ACBED= , .a2+b2=c2.证明衔接证明衔接BD,过点过点B作作DE边上的高边上的高BF,那么那么BF=b-a,S五边形五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=ab+b2+ab,又又S五边形五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=ab+c2+a(b-a),ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),a2+b2=c2.121212121212121212121212评析此题主要调查勾股定理的证明评析此题主要调查勾股定理的证明,表示出五边形面积是解题关键表示出五边形面积是解题关键.考点一等腰三角形考点一等腰三角形1.(20211.(20

37、21郑州一模郑州一模,13),13)知三个边长分别为知三个边长分别为1,2,31,2,3的正三角形从左到右如图陈列的正三角形从左到右如图陈列, ,那那么图中阴影部么图中阴影部分面积为分面积为 . . 三年模拟A组 20212021年模拟根底题组答案答案5 34解析如图解析如图,根据题意得根据题意得,BGEC,HBG=FCE=60.在在ACE中中,AB+BC=1+2=3,AC=EC=3.ACE=120,1=30.BGCE,1=2=30,BG=AB=1,GHB=EFC=90,SEFC+SGHB=32+12=,即S阴影=.123412345 345 34解题关键根据条件解题关键根据条件,判别出两个三

38、角形判别出两个三角形GHB和和EFC是含是含30角的直角三角形角的直角三角形,由等腰三由等腰三角形的性质得出斜边角形的性质得出斜边GB的长的长,进而求得两个直角三角形的面积进而求得两个直角三角形的面积.2.(2021濮阳一模濮阳一模,5)如图如图,知知ABC,ABBC,用尺规作图的方法在用尺规作图的方法在BC上取一点上取一点P,使得使得PA+PC=BC,那么以下选项正确的选项是那么以下选项正确的选项是()答案答案D由作图知选项由作图知选项D中的点中的点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上,所以所以PB=PA,BP+PC=BC,PA+PC=BC.应选应选D.思绪分析根据作图痕迹判别作出

39、的点思绪分析根据作图痕迹判别作出的点P的特点的特点,判别能否符合判别能否符合PA+PC=BC.1.(2021郑州一模郑州一模,5)如图如图,知知ABC(ACBC),用尺规在用尺规在BC边上确定一点边上确定一点P,使得使得PA+PC=BC,那么以下四种不同的作图方法中正确的选项是那么以下四种不同的作图方法中正确的选项是()考点二直角三角形考点二直角三角形答案答案D由题意知由题意知PA=PB,根据作图方法可知根据作图方法可知,选项选项D的作图所表示的是点的作图所表示的是点P在线段在线段AB的垂的垂直平分线上直平分线上,即即PA=PB.应选应选D.2.(2021焦作一模焦作一模,8)如图如图,在在A

40、BC中中,ABC=90,A=30,BC=4.假设假设DE是是ABC的中位线的中位线,延延伸伸DE交交ACM的平分线于点的平分线于点F,那么那么DF的长为的长为()A.6B.7C.8D.9答案答案A在在RtABC中中,A=30,BC=4,AC=2BC=8,DE是是ABC的中位线的中位线,DE=BC=2,EC=4.DFBM,EFC=FCM.CF平分平分ACM,ECF=FCM,ECF=EFC,EF=EC=4,DF=DE+EF=6.应选应选A.123.(2021安阳二模安阳二模,12)如图如图,BD是矩形是矩形ABCD的一条对角线的一条对角线,点点E、F分别是分别是BD、DC的中点的中点,假设假设AB

41、=4,BC=3,那么那么AE+EF的长为的长为.答案答案4解析在矩形解析在矩形ABCD中中,C=DAB=90,点点E、F分别是分别是BD、DC的中点的中点,EF=BC=,AE=BD,且且BD=5,AE=,AE+EF=4.12321222ADAB524.(2021平顶山一模平顶山一模,15)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如下图的四边形剩下的部分是如下图的四边形,ABCD,CDBC于于C,且边且边AB,BC,CD的长分别为的长分别为2,4,3,那么原

42、直角三角形纸片的斜边长是那么原直角三角形纸片的斜边长是.解析根据题意得点解析根据题意得点B或点或点C可以为直角三角形的顶点可以为直角三角形的顶点.当点当点B为直角三角形的顶点时为直角三角形的顶点时,如图如图1,在在RtBCD中中,BD=5,D为斜边为斜边EF的中点的中点,EF=2DB=10;当点当点C为直角三角形的顶点时为直角三角形的顶点时,如图如图2,在在RtABC中中,AC=2,A为斜边为斜边EF的的中点中点,EF=2AC=4.综上所述综上所述,原直角三角形纸片的斜边长是原直角三角形纸片的斜边长是4或或10.22DCBC22ABBC555答案答案10或或455.(2021郑州一模郑州一模,

43、15)如图如图,RtABC中中,ACB=90,AC=3,BC=4,将边将边AC沿直线沿直线CE翻折翻折,使点使点A落落在在AB边上的点边上的点D处处;再将边再将边BC沿直线沿直线CF翻折翻折,使点使点B落在落在CD边的延伸线上的点边的延伸线上的点B处处,两条折痕两条折痕与斜边与斜边AB分别交于点分别交于点E,F,线段线段BF的长为的长为.答案答案45解析在解析在RtABC中中,AC=3,BC=4,由勾股定理由勾股定理,得得AB=5,由图形的翻折性质由图形的翻折性质,得得A=1,2=3=90,CD=AC=3,B=B,CB=CB=4,1=A,2=ACB=90,CEDBCA,=,=,ED=.在在Rt

44、CDE中中,CE=,CDBAEDCA353ED95229351251=4,1=A,A=4,A+B=90,A+B=90.4+B=90,即BFD=90,BFD=2=90,1=4,CEDBFD.=,BD=4-3=1,=,BF=.CEB FCDB D125B F31456.(2021许昌一模许昌一模,22)(1)察看猜测察看猜测如图如图,点点B、A、C在同一条直线上在同一条直线上,DBBC,ECBC且且DAE=90,AD=AE,那么那么BC、BD、CE之间的数量关系为之间的数量关系为;(2)问题处理问题处理如图如图,在在RtABC中中,ABC=90,CB=4,AB=2,以以AC为直角边向外作等腰为直角

45、边向外作等腰RtDAC,衔接衔接BD,求求BD的长的长;(3)拓展延伸拓展延伸如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,ABC=ADC=90,CB=4,AB=2,DC=DA,请写出请写出BD的长的长.解析解析(1)BC=BD+CE.(2)如图如图1,过过D作作DEAB,交交BA的延伸线于的延伸线于E,ABC=90,DAC=90,BCA+CAB=CAB+DAE=90,BCA=EAD.CBA=EAD=90,AD=AC,ABC DEA,DE=AB=2,AE=BC=4,BE=6,在RtBDE中,由勾股定理得,BD=2.(3)如图2,过D作DEBC于E,作DFAB于F,同理得CED AFD,CE=AF,E

46、D=DF,设AF=x,DF=y,那么解得BF=2+1=3,DF=3,在RtBDF中,由勾股定理得,BD=3.2262104,2,xyxy1,3,xy223327.(2021开封一模开封一模,22)在在ABC中中,ACB为锐角为锐角,点点D为射线为射线BC上一动点上一动点,衔接衔接AD,将线段将线段AD绕绕点点A逆时针旋转逆时针旋转90得到得到AE,衔接衔接EC.问题发现问题发现:(1)假设假设AB=AC,BAC=90,当点当点D在线段在线段BC上时上时(不与点不与点B重合重合),如图如图1,请他判别线段请他判别线段CE与与BD之间的之间的关系和关系和关系关系:(直接写出结论直接写出结论);拓展

47、探求拓展探求:(2)假设假设AB=AC,BAC=90,当点当点D在线段在线段BC的延伸线上时的延伸线上时,如图如图2,请判别请判别(1)中的结论能否依然中的结论能否依然成立成立,如成立如成立,请证明他的结论请证明他的结论.问题处理问题处理:(3)如图如图3,ABAC,BAC90,假设点假设点D在线段在线段BC上运动上运动,试探求试探求:当锐角当锐角ACB等于等于度度时时,线段线段CE和和BD之间的位置关系依然成立之间的位置关系依然成立(点点C、E重合除外重合除外).此时假设作此时假设作DFAD交线段交线段CE于于点点F,AC=3,线段线段CF长的最大值是长的最大值是.位置数量2解析解析(1)C

48、EBD,CE=BD.(2分分)(2)成立成立,理由如下理由如下:AE是由是由AD旋转得到的旋转得到的,AE=AD,BAC=90,EAD=90,BAD=CAE,又又AB=AC,BADCAE(SAS).CE=BD,ACE=B,B+ACB=90,ACE+ACB=90.BCE=90,BDCE.(6分分)(3)45;.(10分分)34B组20212021年模拟提升题组(时间:45分钟分值:55分)一、选择题每题3分，共6分1.(2021平顶山一模平顶山一模,9)如图如图,一张长方形纸片的长一张长方形纸片的长AD=4,宽宽AB=1,点点E在边在边AD上上,点点F在边在边BC上上,将四边形将四边形ABFE沿

49、直线沿直线EF翻折后翻折后,点点B落在边落在边AD的中点的中点G处处,那么那么EG等于等于()A.B.2C.D.3354178答案答案C根据题意得根据题意得,AE=AE,AG=AB=1,A=A=90.设设EG=x,那么那么AE=AE=2-x,在在RtAEG中中,AG2+AE2=EG2,即即12+(2-x)2=x2,解得解得x=,即即EG=.应选应选C.5454思绪分析设思绪分析设EG=x,表示出表示出AE的长的长,在在RtAEG中运用勾股定理求解中运用勾股定理求解.2.(2021开封一模开封一模,8)如图如图,知在知在RtABC中中,ABC=90,点点D是是BC边的中点边的中点,分别以分别以B

50、、C为圆为圆心心,大于大于BC长为半径画弧长为半径画弧,两弧在直线两弧在直线BC的上方交于点的上方交于点P,直线直线PD交交AC于点于点E,衔接衔接BE,那么以下那么以下结论结论:EDBC;A=EBA;EB平分平分AED;ED=AB,其中正确的个数为其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.41212答案答案C由题意可得由题意可得PD垂直平分垂直平分BC,EDBC正确正确;ABC=90,PDAB,又又D为为BC的的中点中点,E为为AC的中点的中点,EC=EA,易知易知EB=EC,EA=EB,A=EBA正确正确;易知易知EB平分平分AED错误错误,ED=AB正确正确.所以正确的个数为所以正确的个

51、数为3.应选应选C.12思绪分析由作图方法知思绪分析由作图方法知PD垂直平分垂直平分BC,根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质判别根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质判别正误正误.3.(2021安阳二模安阳二模,15)如图如图,等腰等腰ABC中中,AB=AC=5,BC=8,点点F是边是边BC上不与点上不与点B、C重合的一重合的一个动点个动点,直线直线DE垂直平分垂直平分BF,垂足为垂足为D,当当ACF是直角三角形时是直角三角形时,BD的长为的长为.二、填空题(每题3分,共15分)答案答案2或或78解析由题意知解析由题意知ACF90,当当AFC=90时时,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,

52、AB=AC=5,BF=BC=4,DE垂直平分垂直平分BF,BD=BF=2.当当FAC=90时时,如图如图,作作AGBC于点于点G.在在RtACG中中,AG=3.设设FG=x,在在RtAFG中中,AF2=32+x2,在在RtACF中中,AF2=(4+x)2-52,9+x2=(4+x)2-25,121222ACCG解得x=,BF=BC-FC=,BD=BF=.综上所述,当ACF是直角三角形时,BD的长为2或.9474127878思绪分析思绪分析ACF为直角三角形为直角三角形,分两种情况讨论分两种情况讨论:当当AFC=90时时,根据等腰三角形的性质根据等腰三角形的性质,易求易求BF、BD的长的长;当当

53、FAC=90时时,设设FG=x,在在RtAFG和和RtAFC中中,根据勾股定理列方程求根据勾股定理列方程求解解,进而求得进而求得BF、BD的长的长.4.(2021濮阳一模濮阳一模,15)如图如图,在在RtABC中中,C=90,AC=3,BC=4,点点D,E为为AC,BC上两个动点上两个动点,假设将假设将C沿沿DE折叠折叠,点点C的对应点的对应点C恰好落在恰好落在AB上上,且且ADC恰好为直角三角形恰好为直角三角形,那么此时那么此时CD的长为的长为.答案答案或或12743解析如图解析如图,当当ADC=90时时,ADC=C,那么那么DCCB,ADCACB.又又AC=3,BC=4,=.设设CD=CD

54、=x,那么那么AD=3-x,=,解得解得x=.经检验经检验,x=是该方程的解是该方程的解,ADDC343xx34127127CD=.如图,当DCA=90时,DCB=DCA,由折叠的性质可得,C=DCE=90,CB与CE重合.由C=ACD=90,A=A,可得ADCABC.在RtABC中,AB=5,=.设CD=CD=x,那么AD=3-x,1272234ADC DABCB54=,解得x=.经检验,x=是该方程的解,CD=.综上,CD的长为或.3xx5443434312743思绪分析此题主要调查直角三角形的折叠问题思绪分析此题主要调查直角三角形的折叠问题,根据根据ADC为直角三角形为直角三角形,分两种

55、情况进展分两种情况进展讨论讨论.当当ADC=90时或当时或当DCA=90时时,分别根据类似三角形的边对应成比例分别根据类似三角形的边对应成比例,设要求的线设要求的线段长为段长为x,列方程求解列方程求解,即可得到即可得到CD的长的长.5.(2021焦作一模焦作一模,15)如图如图,在在ABC中中,C=90,AB=5,BC=3,D是边是边AB的中点的中点,点点E在边在边AC上上,将将ADE沿沿DE翻折翻折,使点使点A落在点落在点A处处,当当AEAC时时,AB=.答案答案或或7 2222解析由于解析由于D是边是边AB的中点的中点,所以所以DA=DB,在在RtABC中中,C=90,AC=4.由折叠知由

56、折叠知DA=DA,所以点所以点A、C、A、B在以点在以点D为圆心的圆上为圆心的圆上,当当AEAC时时,有两种情况有两种情况,如图如图1和图和图2:如图如图1,AEAC,AE=AE,AAC=45,AB为直径为直径,AAB=90,AFA=BFC=45,CF=BC=3,AF=1,AA=AFcos45=.在在RtAAB中中,AB=.如图如图2,易得易得DE垂直平分垂直平分AA,作作DHAC于于H,那么那么DH=BC=,AH=AC=2.在在RtDHE中中,DEH=45,HE=DH=,AE=.AA=.22ABBC2222ABAA7 221232123272cos45AE7 22在RtAAB中,AB=.综上

57、所述,AB的长为或. 图1图222ABAA227 2222思绪分析由于思绪分析由于D是是AB的中点的中点,所以所以DA=BD,由折叠得点由折叠得点A在以在以AB为直径的圆上为直径的圆上.分类讨论分类讨论A的位置的位置,解直角三角形求解直角三角形求AA的长的长,运用勾股定理求得运用勾股定理求得AB的长的长.6.(2021焦作一模焦作一模,10)如图如图,在在ABC中中,分别以点分别以点A和点和点B为圆心为圆心,大于大于AB长为半径画弧长为半径画弧,两弧两弧交于点交于点M、N,衔接衔接MN,交交BC于点于点D,交交AB于点于点E,衔接衔接AD.假设假设ABC的周长等于的周长等于16,ADC的周长的

58、周长为为9,那么线段那么线段AE的长等于的长等于.12答案答案3.5解析由题意知解析由题意知,MN垂直平分垂直平分AB,那么那么AD=BD.由题意得由题意得CABC=AC+CB+AB=AC+CD+BD+AB=16,CADC=AC+CD+AD=9.AD=BD,AC+CD+BD=9.AB=16-9=7.AE=AB=3.5.12思绪分析根据作图方法得思绪分析根据作图方法得MN垂直平分垂直平分AB,所以所以ABC与与ADC的周长差为线段的周长差为线段AB的长的长,从从而求得而求得AE的长的长.7.(2021焦作一模焦作一模,15)如图如图,矩形矩形ABCD中中,AD=4,AB=7,点点E为为DC边上一

59、动点边上一动点,ADE沿直线沿直线AE折折叠叠,点点D落在矩形落在矩形ABCD内一点内一点D处处,假设假设BCD为等腰三角形为等腰三角形,那么那么DE的长为的长为.答案答案或或4 33324 157解析如图解析如图,当当BD=CD时时,作作DMBC,垂足为垂足为M,延伸延伸MD交交AD于于N,四边形四边形ABCD为矩形为矩形,MNAD,且且MN平分平分AD、BC,衔接衔接DD,那么那么DD=AD=AD=4.ADD为等边三角形为等边三角形,DAD=60.由对称性知由对称性知EAD=DAD=30,DE=ADtan30=.图图如图如图,当当BD=BC时时,在矩形在矩形ABCD中中,AD=AD=BD=

60、BC=4,过点过点D作作PQAB,交交AB于于Q,交交DC于于P.CDAB,PQCD,AD=BD,AQ=QB=.在在RtDAQ中中,DQ=,PD=4-.易得易得EPDDQA.124 337222D AAQ152152=,ED=,即ED=. 图当CB=CD时,CD+AD=BC+AD=8,AC=,CD+ADAC.不存在D使CB=CD.综上所述,DE的长为或.EDPDD AAQD A PDAQ324 157324 15722ABBC654 33324 157思绪分析根据矩形的性质和折叠的对称性思绪分析根据矩形的性质和折叠的对称性,确定点确定点D的位置的位置,分类讨论等腰分类讨论等腰BCD边相等的边相