微分方程作业选解

1、上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业1选解选解3利用代换cosuyx将方程 cos2sin3 cosxyxyxyxe 化简. 解：cosuyx，cossinuyxyx， cos2sincosuyxyxyx， cos2sin3 cos(cos2sincos )4 cos4 ,yxyxyxyxyxyxyxuu 原方程化为4xuue. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业1选解选解4验证由方程ln()yxy所确定的函数为微分方程 2()20 xyx yxyyyy 的解. 解：方程ln()yxy两边对x求导，得 yxyyxy， 化为xyyyxy，再求导得 2yyxyxyyyyxy，

2、 整理得 2()20 xyx yxyyyy . 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业1选解选解5设平面曲线L上任意一点 ( , ) (0)P x yx 处的切线与y轴总相交， 交点记为A. 已知|PAOA， 且L过点(1,1). 求曲线L所满足的微分方程，并写出初始条件. 解：曲线L上点 ( , )P x y 处的切线方程为 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy，所以点A的坐标为(0,)yxy. 由题设|PAOA，得 22()|xxyyxy， 由此得所求微分方程为 2220 xyyxy ， 由L过点(1,1)，得初始条件1|1xy . 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作

3、业1选解选解6设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动. 物体B从点( 1,0)与A同时出发， 其速度大小为2v， 方向始终指向A. 试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件. 解：设在时刻t，B位于点( , )x y 处，则 d(1)dyvtyxx，即d(1)dyxyvtx， 两边对x求导，得 22ddddytxvxx ， （1） 已知222 d(d )(d )v txy，代入（1）得 222d1d1()0d2dyyxxx ， 初始条件为11|0,|1xxyy. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业2选解选解2一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点

4、(2, 2)在该曲线上，求这一曲线的方程. 解：曲线上点( , )x y处的法线方程为d()dxYyXxy ， 由法线过原点（将0X ，0Y 代入） ，得 ddxyxy. 分离变量得 ddyyxx ，两边积分得 221122yxC . 由2,2xy 得4C . 所求曲线方程为228xy . 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业2选解选解3假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差. 若室温为020 c时，一物体由0100 c冷却到060 c须经过20分钟， 问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100 c降低到030 c. 解：设在时刻t物体的温度为

5、 ( )T t ，由题设得 d(20)dTk Tt ，其中0k 为冷却系数. 分离变量得dd20Tk tT ，两边积分得 ln(20)lnTktC ，即20ktTCe. 由 (0)100T得80C ，再由 (20)60T得ln220k ， 所以ln2202080tTe. 令 ( )30T t ，得60t . 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业2选解选解4一池盛有盐水 100 公斤，其中含盐 10 公斤，现以每分钟2 公斤的速率往池内注入淡水，同时从池内流出 2 公斤混和均匀的盐水，求池内溶液的含盐量降至一半所需要的时间. 解：设从注入淡水开始记时（此时0t ） ，第t分钟后池内盐的

6、含量为m公斤，则池内盐的浓度为100m，在时间段 ,d t tt内，从池内流出的溶液中盐的含量为2 dd10050mmtt ，即dd50mmt . 分离变量得d1d50mtm ，两边积分得 ln0.02lnmtC ，即0.02tmCe. 由初始条件0t ，10m ，得10C ，所以0.0210tme. 令5m ，得50ln2t ，即所需要的时间为50ln2分钟. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业2选解选解5设L是一条平面曲线，其上任意一点 ( , ) (0)P x yx 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(1,0). 求曲线L的方程. 解：设曲线L上点 (

7、 , )P x y 处的切线方程为 ()Yyy Xx，令0X 得Yyxy（切线在y轴上的截距）. 由题设得 22xyyxy， 令yux, 方程化为2dd1uxxu ，两边积分得 2ln(1)lnlnuuxC 22yxyC. 由L过点(1,0), 得1C . 所以曲线L的方程为 221yxy ，即12xy. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业3选解选解2已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解：曲线上点( , )x y 处的切线方程为 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy（纵截距）. 由题设得 yxyx ，即11yx y . 由通解公式

8、得 11dd ( 1)dxxxxyeexC( ln)xxC. 由1,1xy得1C . 所求曲线方程为(1ln )yxx. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业3选解选解3设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比(比例系数为1k)的力作用于它，此外还受到一与速度成正比(比例系数为2k)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系. 解：依题设，根据牛顿第二定律，得微分方程 12ddvmk tk vt. 由通解公式得 22dd1(d)kkttmmkvetetCm211222ktmkmktCekk， 由0t ，0v ，得122mkCk，所

9、以211222(1)ktmkk mvtekk. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业3选解选解4设可导函数( )f x 满足0( )cos2( )sin d1xf xxf tt tx，求 ( )f x . 解：将0 x 代入所给方程得 (0)1f ，方程两边对x求导得 ( )cos( )sin1fxxf xx ，即( )( )tansecfxf xxx. 由通解公式得 tan dtan d( )( secd)xxxxf xexexCcos (tan)xxC. 由(0)1f得1C . 所以( )sincosf xxx. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业3选解选解5设平面曲

10、线L上任意一点 ( , ) (0)P x yx 处的切线与y轴总相交， 交点记为A. 已知|PAOA， 且L过点(1,1). 求曲线L的方程. 解：曲线L上点 ( , )P x y 处的切线方程为 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy，所以点A的坐标为(0,)yxy. 由题设|PAOA，得22()|xxyyxy，化为 2220 xyyxy 221()yyxx ， 由通解公式得 11dd2( ()d)xxxxyex exC2Cxx， 由L过点(1,1)，得2C . 所以曲线L的方程为 2220 xxy . 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业4选解选解2设圆柱形浮筒，直径为0.5m

11、，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开， 浮筒在水中上下振动的周期为 2s， 求浮筒的质量. 解：当浮筒下移 (m)x时，受到的浮力为 2fg r x 62.5g x （牛顿）. 根据牛顿第二定律，得微分方程 22d62.5dxmg xt . 此方程的通解为 12cos( 62.5/)sin( 62.5/)xCgm tCgm t. 函数 ( )x t 的周期为 2262.5/Tgm62.5195gm（kg）. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业4选解选解3 已知1xye是微分方程(21)(21)20 xyxyy 的一个解，求此微分方程的通解. 解 1：设( )xyu x e，则 xx

12、yueu e，2xxxyueu eu e， 代入原微分方程，并整理得 (21)(23)0 xuxu， 解得 23exp(d )21xuCxx(21)xCex， (21)dxuCexx1(21)xCexC ， 所以 12(21)xyC eCx，(2CC ). 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业4选解选解3 已知1xye是微分方程(21)(21)20 xyxyy 的一个解，求此微分方程的通解. 解 2：设2yaxb为原微分方程的另一个解，则 (21)2()0 xaaxb ， 得2ab， 可取221yx. 因21yCy， 所以原微分方程的通解为 112212(21)xyC yC yC e

13、Cx. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业4选解选解4求微分方程12xyyyex的通解. 解：容易求得20yyy 的通解为12xxyC eC xe. 设( )xyu x e，则 xxyueu e，2xxxyueu eu e， 代入原微分方程，并整理得 1ux， 积分得ln|uCx ，再积分得 1ln|uCCxxxx ， 所以 12ln|xxxyC eC xexex，(21CC). 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业5选解选解2设函数 ( )f x 连续，且满足 00( )2( )d( )dxxxf xetf ttxf tt， 求 ( )f x . 解：由所给方程得 (0

14、)2f ，且 0( )2( )dxxfxef tt （1） 由方程（1）得(0)2f ，且 ( )2( )xfxef x （2） 解微分方程（2）得 12( )cossinxf xCxCxe. 由 (0)2f ，(0)2f ，求得11C ，21C . 所以 ( )cossinxf xxxe. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业5选解选解3已知21xxyxee，2xxyxee，23xxxyxeee是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程. 解 1： 设所求微分方程为( )ypyqyf x. 因1y，2y，3y为该方程的解，所以 2412xxyyyee，513xyyye，2645xyyye 都是0ypyqy 的解. 由5y，6y为0ypyqy 的两个解，可知11r ，22r 为特征方程20rprq的两个根，因此1p ，2q ， 111( )f xypyqy 222(2)4 (1)22()xxxxxxx eex eexee (12 )xx e. 所求微分方程为 2yyy(12 )xx e. 上页下页铃结束返回首页微分方程作业微分方程作业5选解选解3已知21xxyxee，2xxyxee，23xxxyxeee是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方