级数求和与函数展开习题课PPT学习教案

1、会计学1级数求和与函数展开习题课级数求和与函数展开习题课 求部分和式极限求和逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和:间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0第1页/共39页xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn),(x),(x机动

2、目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共39页mx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x) 1, 1(x11x231,nxxxx ) 1, 1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共39页例例4. 求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 ,x=1时级数发散，则 0,x 当时 有0111nnnxxxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页

3、 返回 结束 第4页/共39页) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 -112 -1nnxn练习：求幂级数的和函数。第5页/共39页例例5.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则所求级数和S(1/2), )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共39页1n

4、nnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共39页.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(22011( 1)2(21)!nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共39页先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS

5、01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共39页.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) 2111()2nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxSP258 题8. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录

6、上页 下页 返回 结束 第10页/共39页(4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共39页1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共39页00! )1

7、2() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sinP258 题9(2). 求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共39页 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法211x x11例如例如. 将函数展开成 x 的幂级数.因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得第14页/共39页例例7. 将3412 x

8、x展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共39页)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn例例8. 将在x = 0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)

9、1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(2311机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可以先计算导函数的展式，再积分求出原函数的展式第16页/共39页例例9. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x简介 目录 上页 下页 返回 结束 练习：将arctanx展成x 的幂级数。30第17页/共39页)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(n

10、nn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共39页02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共39页系数公式及计

11、算技巧系数公式及计算技巧; 收敛定理收敛定理; 延拓方法延拓方法设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 则f(x)的傅立叶级数为：01(cossin)2nnnaanxbnx), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn简介 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共39页收敛定理收敛定理, 展开定理：展开定理：设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有10sinc

12、os2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点简介 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共39页 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数简介 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共39页xoy例例11.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx02

13、21x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共39页), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共3

14、9页1xyo例例12. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1k第25页/共39页nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x

15、yo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第26页/共39页再求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共39页121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 1yox第28页/共39

16、页机动 目录 上页 下页 返回 结束 23nxnn=01.幂级数的收敛域223lim1(1)3nnn 11收敛域为， ）1R 2113xnn=0时，发散，2( 1)13nxn n=0时，收敛.第29页/共39页( 1) 2!nnnn=02.级数的和为0()!nxnxen20( 1) 2!nnnen简介 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共39页211( 1)21nnnxn3.求幂级数的收敛域与和函数。解：21( )lim1,1( )nnnuxxRux11-1 1xx 或时，为莱布尼兹型，收敛域，解得220( )tan,1,11xxS xdxxarxxxx 2122211( 1),( )(

17、 1)211nnnnnnxxxS xxnx设S( )=简介 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共39页13nnnxn4.求幂级数的收敛半径、收敛域与和函数。简介 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共39页21( )(4)32f xxxx5.将函数展成的幂级数，并指出展开式成立的范围.简介 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共39页216.(2)yxx将函数展成 的幂级数，并指出展开式成立的范围。解：211()(2)2xx 1112212xx01( 1) ( )22nnnx22x 10( 1)2nnnnx12101( 1)(2)2nnnnnxx 1111( 1)22nnnnnx

18、x 时，发散.22x展开式成立范围1111( 1)2nnnnnx简介 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共39页( )1(0)f xxx 7.将函数展成正弦级数，并指出展开式成立的范围.解：将函数奇延拓，则0na 02(1)sinnbxnxdx0022cos|cosnxxdnxnn 002221 ( 1) cos|cosnxnxnxdxnnn 02221 ( 1) ( 1)sin|nnnxnn 21( 1) (1)nn 0 x简介 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共39页2( )1(0)f xxx8.将函数展成余弦级数，并指出展开式成立的范围.解：将函数偶延拓，则0nb 202(1)cosnaxnxdx20022s