大学物理第五版下册9-2旋转矢量

1、9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动1物理学物理学第五版第五版1旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A ，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量. AA9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动2物理学物理学第五版第五版2)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动

2、为简谐运动动. .xAo9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动3物理学物理学第五版第五版3 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 0t0 x9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动4物理学物理学第五版第五版4 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAooAtt t)cos(tAxx9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动5物理学物理学第五版第五版5A A简谐振动简

3、谐振动旋转矢量旋转矢量 t+t+ T T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径长半径长初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度旋转周期旋转周期9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动6物理学物理学第五版第五版6)cos(2tAa2 tmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmv)cos(tAv2nAa 9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动7物理学物理学第五版第五版7用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动8物理学物理学第五版第五版8讨论讨论 相位差：表示两个

4、相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间)()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAx9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动9物理学物理学第五版第五版9Ax2Atobaat3TTt61232AbtvAxAoA9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动10物理学物理学第五版第五版10 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题

5、）. .12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt 两个两个同同频率的简谐运动相位差等于其初相频率的简谐运动相位差等于其初相差而与时间无关差而与时间无关. .9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动11物理学物理学第五版第五版11振动的超前与落后振动的超前与落后 若若 ，则则x2比比x1较早达较早达到正最大，到正最大，称称x2比比x1超前超前( (或或x1比比x2落后落后). ). 012xto为其它为其它超前超前落后落后9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动12物理学物理学第五版第五版12OA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相两同

6、相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 x2TxOA1-A1A2- A2x1t反相反相两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线振动的同相与反相振动的同相与反相 当当 =2k， ( k = 0,1,2,)，两振动步调相同，两振动步调相同，称称为为同相。同相。 当当=(2k+1)， ( k=0,1,2,)，两振动步调相反，两振动步调相反，称为称为反相反相. . 9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动13物理学物理学第五版第五版130 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动14物理学物理学第五版第五版

7、140.040.0412例例1. 质点作简谐运动的质点作简谐运动的 曲线如图所示，试写出曲线如图所示，试写出质点的运动方程。质点的运动方程。tx 解：解： 振幅：振幅：mA04. 0周期：周期：sT2角频率：角频率：)(21ssradT利用旋转矢量求初相位：利用旋转矢量求初相位：0, 0, 000 xt运动方程为：运动方程为：)(2cos(04. 0mtx9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动15物理学物理学第五版第五版15 例例2 2一质量为一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动空气阻力，试证其在平衡

8、位置附近的振动是简谐振动. .证证如图所示，以平衡如图所示，以平衡位置位置A为原点，向下为为原点，向下为x轴正向，设某一瞬时振轴正向，设某一瞬时振子的坐标为子的坐标为x，则物体，则物体在振动过程中的运动方在振动过程中的运动方程为程为22d()dxmk x lmgt9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动16物理学物理学第五版第五版16式中式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mgkl，所以上式为所以上式为22ddxmkxt 222d0dxxt为即式中式中 于是该系统作简谐振动于是该系统作简谐振动. .2.km与水平弹簧振子结果相同与水平弹簧振子结果相

9、同9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动17物理学物理学第五版第五版17 例例3 3 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2

10、 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/ xo0.059-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动18物理学物理学第五版第五版18ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动19物理学物理学第五版第五版19oxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢

11、量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动20物理学物理学第五版第五版20解解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动

12、方程，求其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动21物理学物理学第五版第五版21 例例4 4 一质量为一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，的物体作简谐运动，其振幅为其振幅为0.08 m，周期为周期为4 s，起始时刻物体在起始时刻物体在x=0.04 m处，处，向向ox轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所时，物体所处的位置和所受的力；受的力； o08. 004. 004. 008. 0m/xv9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动

13、22物理学物理学第五版第五版22o08. 004. 004. 008. 0m/xm 04.00 xt，代入代入)cos(tAxA3300v解解1s 22Tm 08. 0As 4,m 08. 0,kg 01. 0TAm已知已知0,m 04. 0, 00vxt求（求（1）Fxt, s 0 . 139-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动23物理学物理学第五版第五版23o08. 004. 004. 008. 0m/xvkg 01. 0ms 0 . 1t代入上式得代入上式得m 069. 0 xxmkxF2)32cos(08. 0txN 1070. 13可求（可求（1）Fxt, s 0

14、. 139-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动24物理学物理学第五版第五版24 （2）由起始位置运动到由起始位置运动到x = -0.04 m处所需处所需要的最短时间要的最短时间. . 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到x= -0.04 m处所处所需要的最短时间为需要的最短时间为to08. 004. 004. 008. 0m/xv9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动25物理学物理学第五版第五版2523)21(arccosts 667. 032o08. 004. 004. 008. 0m/xv)32cos(08. 0tx)32cos(08. 004

15、. 0t9-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动26物理学物理学第五版第五版26o08. 004. 004. 008. 0m/x法二法二3起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts 667. 032t1srad 239-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动27物理学物理学第五版第五版279-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 ，周期，周期 。当。当 时：时：（1）物体）物体在正方向端点；（在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运）物体在平衡位置，向负方向运动；（动；（3）物体在）物体在 处，向负方向运动；处，向负方向运动；（4）物体在）物体在 处，向正方向运动。求处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。以上各种情况的运动方程。mA2100 . 2sT5 . 00tmx2100 . 1mx2100 . 1解：解：（1）t=0，物体在正方向端点物体在正方向端点应用旋转矢量图得初相应用旋转矢量图得初相0运动方程为运动方程为)(4cos1022mtxsradT429-2 9-2 旋转矢量旋转矢量第第九九章章 振振 动动28物理学物理学第五版第五版28（2）t=0，物体在平衡位置，向负方向运动物体在平衡位置，向负方向运动应用旋转矢量图得初相应