《计算方法》论文

1、绝密文件，核心资料，拒绝盗版， 支持正版，从我做起，一切是在为了方便大家！知识就是力量！计算方法课程论文一、课程内容简介 计算方法又称“数值分析”，是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。本书比较全面地介绍了科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。全书共9章，内容包括引论、线性代数方程组求解方法、非线性方程求根、函数插值、函数逼近、矩阵特征值与特征向量的数值算法、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、自治微分方程稳定区域的计算等。二、主要内容以及

2、重点难点首先我们学习的是数值计算中的误差，在这部分内容中我们要了解误差的四种类型：模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。重点学习绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限。另外还需重点掌握的是有效数字及其与误差的关系。掌握了以上内容后，就可以利用以上知识进行误差的估计了，针对一些问题进行误差分析，但在此，我们需要注意误差在算数运算中的传播，需要掌握的有对加、减、乘、除、开方等算术运算中数据误差的传播规律的分析。之后我们便正式进入了数值计算的学习。首先学习的是插值法，主要学习了两种：（1） 拉格朗日插值法我们需要掌握插值基函数、拉格朗日插值多项式、插值余项等概念，最重要的是要掌握利用朗格朗日插

3、值法解决实际问题。（2） 牛顿插值在此部分内容中，我们首先学习的是差商的概念及其性质，在理解了差商的基础上学习了牛顿插值基本多项式及其插值余项，插值余项与拉格朗日相同。之后又学习了差分的概念和牛顿向前插值公式。重点掌握如何利用牛顿插值法进行运算解决问题。给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。事实上，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。因此，需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。基于这种问题，我们采用了曲线拟合的最小二乘法。在这部分内容中，我们需要重点掌握最小二乘法则和法方程组的计算。第4

4、章 开始介绍数值积分的问题。我们要知道构造数值求积公式的基本方法、求积公式的余项以及代数精度。重点掌握N-C求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、截断误差）、复合N-C公式（复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差）、龙贝格算法的计算公式，这些既是重点也是难点。第5章 介绍了非线性方程的数值解法，主要有两种方法：二分法和迭代法。二分法只要会用即可，重点是迭代法的计算方法。本章主要介绍了三种迭代方法，第一种是牛顿雷扶生方法，我们要掌握牛顿法的公式及其误差分析，还要掌握它的局部收敛性。第二种是牛顿下山法，它是针对牛顿法的对初值的要求比较高的局限性而提

5、出的一种迭代法，它引入了下山因子t，解决了初值选择不合理的问题。另外为了解决函数的导数难求的问题，我们又引入了第三者迭代方法正割法，即用差商近似代替导数，从而节约计算量。 第六章主要介绍了方程组的数值解法，在学习此章内容之前，需要好好复习一下矩阵计算的知识。首先我们学习的是集中消去法，主要有高斯消去法、完全主元消去法、列主元消去法、矩阵的三角分解等等，通过这些方法求取方程组的解。这些方法计算起来并不难，关键是要细心，有耐心，对于复杂的计算不能不算，只有多算才能提高正确率。之后又介绍了线性方程组的迭代法。有雅可比迭代法、高斯赛德尔迭代法和SOR迭代法，在使用迭代法求解方程组的近似解之前，我们需要

6、判断三种方法收敛性，判断收敛性可以从不同方面着手：从系数矩阵判断、从迭代矩阵判断或者从谱半径判断，但是要分清哪个是充分条件哪个是充要条件。最后一章主要是讲常微分方程的数值解法，我们重点掌握的内容主要的只有欧拉方法，其中包括欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式，重点掌握欧拉公式和改进欧拉公式的应用。三、关于迭代法的讨论 （1）定义 考察方程 。不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ，再以 为一个猜测值，代入 的右端得 反复迭代得若 收敛，即 则得 是 的一个根上述方法称为 基本迭代法将 变为另一种等价形式。选取 的某一近似值，则按递推关系 产生的迭代序列 。这种

7、方法算为迭代法。（2） 迭代函数、迭代初值对迭代法的影响 1）迭代函数对迭代法的影响用迭代法求方程 的根。方案一： 化为等价方程 方案二： 化为等价方程 方案一方案二010.79370052598410-120.96436175788706-330.99402465940182-5540.99900311645372-33275150.99983382512973 -7.368652968112150e+01660.99997230342119-8.001921866539816e+05070.99999538388222-1.024738174056895e+15380.9999992306

8、4645-Inf90.99999987177439-Inf100.99999997862906-Inf由计算结果可知，方案一的迭代效果比较好，而方案二中迭代的结果离方程的根偏离比较大。可知迭代函数的选择对迭代法的计算是有影响的。在迭代法的局部收敛性中规定： 若满足1、2、 可导，且存在正数L<1，使得对任意的x，有可知若才用第二种方法，不满足迭代法的局部收敛性，因此迭代结果不正确。2） 初值的选取对迭代法的影响 用牛顿迭代法求方程 在=1.5附近的根。对牛顿迭代公式 ，分别取，迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。 方案一方案二01-11.347826086956522-0.5000

9、00000000001.325200398950913-31.324718173999054-2.038461538461541.324717957244795-1.390282147216741.324717957244756-0.911611897717931.324717957244757-0.345028496748171.324717957244758-1.427750704027271.324717957244759-0.942417912509481.3247179572447510-0.404949357199381.32471795724475有迭代的结果可知初值的选择会影响到迭代结果。当初值越接近方程的根时，迭代的次数越快。四、心得体会计算方法这门课程是计算机专业一门重要的基础课。通过本学期老师全面的讲授，使我认识到学习计算方法的重要性，通过对本书的学习我了解到很多计算方法方面的知识。全书共9章，内容包括引论、线性代数方程组求解方法、非线性方程求根、函数插值、函数逼近、矩阵特征值与特征向量的数值算法、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、自治微分方程稳定区域的计算等。计算方法概念清晰，语言叙述通俗易懂，理论分析严谨，结构编排由浅入深，在分析问题时注重启发性。