信号的频域分析

1、 第第3章章 信号的频域分析信号的频域分析w 3.1 周期信号的频谱周期信号的频谱 w 3.2 周期信号频谱周期信号频谱 w 3.3 非周期信号的频谱密度非周期信号的频谱密度w 3.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质w 3.5 周期信号的周期信号的傅里叶变换傅里叶变换w 3.6 系统的频域分析系统的频域分析1 1、为什么对信号进行频域分析？、为什么对信号进行频域分析？2 2、将信号表示为不同频率正弦分量的组合的意义、将信号表示为不同频率正弦分量的组合的意义从信号分析的角度：从信号分析的角度：将信号表示为不同频率正弦信号的将信号表示为不同频率正弦信号的组合，为不同信号之间进行比较提供了较好的途

2、径。组合，为不同信号之间进行比较提供了较好的途径。从系统分析的角度：从系统分析的角度：已知单频正弦信号激励下的响应，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的响应，而且可以看出每个正弦频率通过系统后的变化。的响应，而且可以看出每个正弦频率通过系统后的变化。 3.1 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 周期信号：周期信号：周期信号是定义周期信号是定义在（在（-，）区间，每隔一）区间，每隔一定时间定时间T，按相同规律重复，按相同规律重复变化的信号。变化的信号。它可表示为它可表示为式中式中m为任意整数

3、。时间为任意整数。时间T称称为该信号的重复周期，简称为该信号的重复周期，简称周期。周期的倒数称为该信周期。周期的倒数称为该信号的频率。号的频率。 mTtftf周期信号周期信号由持续时间为一个周期的信号作周期性的延拓而形成的周期信号由持续时间为一个周期的信号作周期性的延拓而形成的周期信号周期信号特点：周期信号特点：它是一个无穷无尽变化的信号。它是一个无穷无尽变化的信号。当在一个周期内的信号确定后，若将其移动当在一个周期内的信号确定后，若将其移动T的整数倍，则信号的的整数倍，则信号的波形保持不变，它也可看成为将一个在周期波形保持不变，它也可看成为将一个在周期T内所定义的信号作周内所定义的信号作周期

4、性的延拓而形成期性的延拓而形成 在一个周期在一个周期T内的时间积分是不变的，且与内的时间积分是不变的，且与T的起始点的选择无关，的起始点的选择无关，即即 TbbTaadttfdttf3.1.1 傅里叶级数的三角函数形式傅里叶级数的三角函数形式 设有周期信号，它的周期是T，角频率，它可分解为式中，称为傅里叶系数，分别代表了信号的直流分量，余弦分量和正经弦分量的振荡幅度，其值分别由下式确定： tfT20 1000020102010sincos22sinsin2coscos2nnntnbtnaatbtbtataatfnnbaa,0 tf ,2, 1sin2,2, 1cos22220220220ntd

5、tntfTbntdtntfTadttfTaTTnTTnTT将式中同频率的正弦和余弦项合并，则有将式中同频率的正弦和余弦项合并，则有式中式中由式可见，由式可见，即是即是n的偶函数，是的偶函数，是n的奇函数。的奇函数。 1002021010cos22coscos2nnntnAAtataatf, 2 , 1, 2 , 12200nabarctgnbaAaAnnnnnnnnnn,AAnnnn,AAnAn直流分量直流分量基波或一次谐波基波或一次谐波二次谐波二次谐波3.1.2 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算常感不三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，

6、但运算常感不便，因而常用指数形式的傅里叶级数。根据欧拉公式便，因而常用指数形式的傅里叶级数。根据欧拉公式:把上式代入式（把上式代入式（3.2.2），得到），得到tjntjntjntjneejtneetn000021sin21cos00 1010000000222222ntjnnntjnnnntjntjnntjntjnnejbaejbaajeebeeaatf令令又根据式（又根据式（3.2.3）可推知，从而有）可推知，从而有将代入式中可得将代入式中可得2nnnjbaFnnnnbbaab, 00220000ajbaF22nnnnnjbajbaFnnFFF,0 tjnnnntjnntjnnnntjnn

7、ntjnneFeFeFeFeFFtf0000010110即即这就是周期信号的指数形式的傅里叶级数，它这就是周期信号的指数形式的傅里叶级数，它比三角形式的傅里叶级数更为简洁，但注意，式中比三角形式的傅里叶级数更为简洁，但注意，式中的是个复系数，常称为傅里叶系数，的是个复系数，常称为傅里叶系数， tjnnneFtf0 tfnF dtetfTtdtntfjtdtntfTjbaFTTtjnTTTTnnn2222022001sincos12例例 求下列信号的指数形式傅立叶级数的展开式求下列信号的指数形式傅立叶级数的展开式.ttttfttf6sin4cos2sin)()2(sin)()1(02 00222

8、00021 cos(2)111(1) ( )sin224411,24jtjttf tteeFF 因此傅立叶系数jFFjjFeejeeeejttttftjtjtjtjtjtj5 . 0,21,5 . 0212)(21)(21)(216sin4cos2sin)()2(3210664422 ，傅傅立立叶叶系系数数因因此此 3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系 （1） 为偶函数为偶函数即偶信号的傅氏级数不含正弦项，只含余弦项和直流项即偶信号的傅氏级数不含正弦项，只含余弦项和直流项 tf , 2 , 1 , 00cos4200nbdttntfTanTn , 2 , 1

9、 , 0arctan nmmabaAnnnnn为为整整数数 )(tftf （2）为奇函数）为奇函数 即奇信号的傅氏级数不含余弦项，只含正弦项和直流项即奇信号的傅氏级数不含余弦项，只含正弦项和直流项 , 2 , 10sin4200nadttntfTbnTn tftf tf, 2 , 1212nmmbAnnn为整数 注意：注意：任意函数都可分解为奇函数和偶函数两部分，即任意函数都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 式中式中 表示奇函数部分，表示奇函数部分， 表示偶函数部分。表示偶函数部分。有有 tftftfevod tfod tfev 22tftftftftftfevod（3） 为奇谐函数（半波像对

10、称信号）为奇谐函数（半波像对称信号）如果函数如果函数 的前半周期波形移动的前半周期波形移动T/2 后，与后半周期波形后，与后半周期波形对称于横轴，即满足对称于横轴，即满足 ，则这种函数称为半波，则这种函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。对称函数或称为奇谐函数。在这种情况下，其傅里级数在这种情况下，其傅里级数展开式中将只含有奇次谐波展开式中将只含有奇次谐波分量而不含偶次谐波分量，分量而不含偶次谐波分量，即有：即有： tf tf 2Ttftf0642420bbbaaa半波重叠信号半波重叠信号:就是其波形平移半个周期后所得出的波形与原波形重合的信就是其波形平移半个周期后所得出的波形与原波形重合的信号

11、，此时，其傅里叶级数展开式中将只含有偶次谐波分量而号，此时，其傅里叶级数展开式中将只含有偶次谐波分量而不含奇次谐波分量，故它被称之为偶谐函数。即不含奇次谐波分量，故它被称之为偶谐函数。即0531531bbbaaa【例【例3.1】 将图示方波信号的展开为傅里叶级数。将图示方波信号的展开为傅里叶级数。解解 : 按题意方波信号在一个周期内的解析式为按题意方波信号在一个周期内的解析式为 分别求得傅里叶系数分别求得傅里叶系数 202022TtEtTEtff(tf(t) )t t0 0T T-T-TE/2E/2-E/2-E/2nnEtntnTtdtnETtdtnETbtntnTtdtnETtdtnETaT

12、TTTnTTTTncos222coscosnE sin22sin220sinsinnE cos22cos2220002002000202000200200020即即故得信号的傅里叶级数展开式为故得信号的傅里叶级数展开式为它只含有一、三、五、它只含有一、三、五、等奇次谐波分量。等奇次谐波分量。 , 5 , 3 , 1sin15sin513sin31sin20000 ntnntttEtf 为偶数为奇数nnnEbn02【例【例3.2】 将图示周期信号的展开为三角函数形式的傅里叶将图示周期信号的展开为三角函数形式的傅里叶级数。级数。解解 因为奇函数，所以因为奇函数，所以 在区间在区间 上的函数表达式为

13、上的函数表达式为,2, 1 ,0,0nan tf20Tt 20, 12TttTtf tft tf(tf(t) )T TT/2T/2-T-T-T/2-T/21 1-1-1故故 ,3,2, 1sin13sin312sin21sin2sin2sin00001010 ntnnttttnntnbtfnnn , 2 , 1,204cos1802cos124sin124sin4020020020200 nnTndttnnTTntntTTdttntTTdttntfTbTooTTn 【例【例3.3】 将图示周期矩形脉冲信号的展开为复指数形将图示周期矩形脉冲信号的展开为复指数形式的傅里叶级数。式的傅里叶级数。解解

14、 :由公式得：由公式得： TnTnTnnTdteTdtetfTFTtjntjnn sin22sin112002222000 T Tf(tf(t) )t t1 1-T-T/2/2-/2/2故故f(t)可表示为可表示为 tjnneTnTnTtf0sin 3.2 周期信号的频谱周期信号的频谱3.2.1 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 周期信号可以分解成一系列正弦信号或指数信号之和，即周期信号可以分解成一系列正弦信号或指数信号之和，即 或或由上分析知：由上分析知：a.当周期信号分解为傅里叶级数后，得到的是直流分量和无当周期信号分解为傅里叶级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分量的和，从而可在频域

15、内方便地予以比较穷多正弦分量的和，从而可在频域内方便地予以比较b. “频谱图频谱图”就是可将其各频率分量的振幅和相位随频率变就是可将其各频率分量的振幅和相位随频率变化化的关系用图形表示出来。频谱图包括幅度频谱和相位频谱。的关系用图形表示出来。频谱图包括幅度频谱和相位频谱。c.习惯上常将振幅频谱简称为频谱。习惯上常将振幅频谱简称为频谱。 100cos2nnntnAAtf tjnnneFtf0图3.3.1 周期信号的频谱（a）单边幅度谱 （b）双边幅度谱 （c）单边相位谱 （d）双边相位谱周期信号振幅谱特点：周期信号振幅谱特点：（1）离散谱。）离散谱。（2）谐波性。）谐波性。（3）收敛性。）收敛性

16、。注意：注意：以三角函数形式表示的振幅与相位随频率变化的图以三角函数形式表示的振幅与相位随频率变化的图形称为信号形称为信号单边频谱图单边频谱图；以指数形式表示的虚指数函数的幅度与相位随频率以指数形式表示的虚指数函数的幅度与相位随频率变化的图形称为信号变化的图形称为信号双边频谱图双边频谱图。【例【例3.2.1】 已知周期信号已知周期信号 的傅里叶级数表示式为的傅里叶级数表示式为 （1）求周期信号）求周期信号 的基波角频率；的基波角频率； （2）画出周期信号）画出周期信号 的单边幅度谱和相位谱。的单边幅度谱和相位谱。解解 由于傅里叶级数用统一的余弦（或正弦）表示，故需要由于傅里叶级数用统一的余弦（

17、或正弦）表示，故需要将相同频率的正、余弦项合并成余弦项，也需要将正弦项将相同频率的正、余弦项合并成余弦项，也需要将正弦项化成余弦项，即其中化成余弦项，即其中故周期信号故周期信号 可表示为可表示为 tf 001507cos303sin22sin42cos32tttttf tf tf000000000307cos1801507cos1507cos603cos90303cos303sin1 .532cos52sin42cos3ttttttttt 000307cos603cos21 .532cos52ttttf tf（1）求基波角频率。）求基波角频率。周期应该是周期应该是 的最小公倍数，故的最小公倍数

18、，故 ，基波角频率基波角频率 ，故，故 可以表示为可以表示为（2）根据上式，即可画出周期信号的单边幅度谱）根据上式，即可画出周期信号的单边幅度谱和相位谱和相位谱 tf72,32, 2TsradT/12 000307cos603cos21 .532cos52ttttf 000307cos603cos21 .532cos52 ttttf例例 已知周期信号已知周期信号f(t)=2cos(2t-3)+sin(6t),求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱2,2, 5 . 03, 3, 15 . 0,5 . 0,5 . 05 . 02121)(2333111333131

19、66232366)32()32(0 FFeFFFjFjFeFeFejejeeeeejejeetfnjnnnjjtjtjtjjtjjtjtjtjtj与与相相角角表表示示，将将系系数数用用|F|Fn n| |0 0-0 03 3-3 31 10.50.5n n0 0-0 03 3-3 33 3-/2/2/2/23.2.2 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱幅度为幅度为A，脉冲宽度为，脉冲宽度为，周期为，周期为T的的周期矩形脉冲信号，在一个周期内可表示为周期矩形脉冲信号，在一个周期内可表示为 2,02, ttAtf其复系数其复系数考虑到，上式也可表示为考虑到，上式也可表示为由此可得的指数形式的傅里

20、叶级数为由此可得的指数形式的傅里叶级数为 ,2, 1,0,22sin100222200nnnTAdteTAdtetfTFtjntjnTTnT20, 2, 1, 0,sinnTnTnTAFn tjnneTnTnTAtf0sin取样（抽样）函数。它在通信理论中应用很多，取样（抽样）函数。它在通信理论中应用很多，是一个重要函数。该函数具有以下是一个重要函数。该函数具有以下特点：特点： 是偶函数；是偶函数；当时，是以为振幅的当时，是以为振幅的“正弦函数正弦函数”，因因而对于而对于x的正负两半轴都为衰减的正弦振荡；的正负两半轴都为衰减的正弦振荡；在处，即，在处，即，而在处，有；而在处，有；。 xxxSasin xSa0 x 1xSax1, 3 , 2 , 1nnx0sinx 0 xSa0 x1sinlim0 xxx dxxSadxxSa,20则周期矩形脉冲的傅里叶复系数可改写为则周期矩形脉冲的傅里叶复系数可改写为222sin000nSaTAnnTAFnnFnF因此，的图形与因此，的图形与Sa(xSa(x) )的曲线相似。的曲线相似。n n只能取只能取0 0、1 12 2、，的频谱图形是图中虚线的频谱图形是图中虚线上的离散值，虚线称为上的离散值，虚线称为频谱的包络线，频谱可频谱的包络线，频谱可以看成是对包络线的离以看成是对包络线的离散抽样。散抽样。 图为上述矩形脉冲的幅度谱