北京邮电大学计算机学院 高等数学 D10_5傅立叶级数2013

1、第五节第五节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十章 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(正弦函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxtl 得函数项级数01(cossin)2nnkan xn xabll为角频率, 为初相 )(正弦迭加)称上述形式的级数为三角级数

2、. 周期 2T2Tl12()()coscosd0llknknxxxll定理定理 1. 组成三角级数的函数系1, cos, sin, cos, sin,xxnxnxllll证证:1 cosd1 sind0lllln xn xxxllxnxk coscos)(nk coscosdllknxx xllcossind0,sinsind0llllk xn xk xn xxxllll同理 ),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21, l l在上正交 , l l上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在)(nk 上的积分不等于 0 ., l l1 1d2llxl22cosdsindllll

3、nnx xx xlll),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 l 的周期函数 , 且01( )(cossin)2nnnannf xaxbxll右端级数可逐项积分, 则有1( )cosd(0,1,)lnllnaf xx xnl1( )sind(1, 2,)lnllnbf xxxnl证证: 由定理条件,01( )dcosdsind2llllnnnllllannf x dxxax xbx xll0a l, l l对在逐项积分

4、, 得0( )cosdcosd2llllakkf xx xx xll1coscosdcossindllnnllnknknaxx xbxx xllll2cosdlkklkax xa ll1( )cosdlklkaf xxxll),2, 1(k(利用正交性)1( )sind(1, 2,)lklkbf xx xkll01( )dllaf xxl类似地, 用 乘 式两边, 再逐项积分可得sinkxl叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;01( )cossin2nnnannf xaxbxll1( )cosd(0,1,)lnlnaf xxxnll由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf

5、1( )sind(1,2,)lnlnbf xx xnll的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2l的周期函数, 并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有01cossin2nnnannaxbxll, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件

6、比展成幂级数的条件低得多.例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里里叶级数. oyx11xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx),2,0,(xx77sin x99sinx1)

7、根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.xoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(

8、xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0)(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例3. 交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t t02E的周期是22000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin(

9、) 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收

10、收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. ( ), f xxl l 周期延拓)(xF傅里里叶展开( ), f xl l在上的傅里里叶级数只在只在l ,l或或0, 2l上上定义定义的函数的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法( ), , )f xxl l(2),f xkl其它或 0, 2l或 0, 2l例例4. 将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1x

11、nxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明说明:42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213

12、624822212248222三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2l 的奇、偶函数的傅里叶级数推论推论 . 对周期为 2l 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2l的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,02( )cosd (0 ,1, 2 ,)lnnaf xxxnll),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan02( )sind(1, 2,3,)lnnbf xxxnll它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为例例5. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解:

13、若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情况见右图.n5例例6. 将周期函数tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn

14、0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttut 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412 在0, l上的函数展成正弦级数与余弦级数( ),0, f xxl)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , l 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓lxol

15、y正弦级数 f (x) 在 0 , l 上展成xolyl( ),(0, f xxl0, 0 x(),(, 0)fxxl ( ),0, f xxl(),(, 0)fxxl 1xyo例例7. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0

16、( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox内容小结内容小结1. 周期为 2l 的函数的傅里里

17、叶级数及收敛定理 01( )(cossin)2nnnannf xaxbxll)(间断点x其中1( )cosdlnlnaf xx xll1( )sindlnlnbf xx xll),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf2. 周期为 2l 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , l 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习思考与练习处收敛于2.

18、)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo110 x3. 设,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式 .解解: 由题设可知应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx ,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2), 0(内以为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域)(xf0, 1x x0, 1上

19、在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xf5. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性、间断点, 便于算系数、写收敛域。6. 计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 算,时nnba如分母中出现因子nk4. 写出函数kkba 或则须单算备用题备用题 1.2)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232(93 考研)的傅里 作业作业 P210 1(2) , (5) ; 2 (4); 5; 6; 7 (2)2. 设)(xf是以 2 为周期的函数 , 其傅氏系数为,na则)()(为常数hhxf的傅氏系数. , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsinco