单自由度振动习题分析

1、动位移、动内力幅值计算属于动力响应计算动位移、动内力幅值计算属于动力响应计算一、动荷载作用于质点运动方向时的计算一、动荷载作用于质点运动方向时的计算tAtysin)(styA 22/11ststMy ,例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5 . 0tFPsin1EIEIEIPFFPl/4解解: : 31124lEIkEIlFkFyPPst2431134/1122EIlFyAPst3181FPl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: :./500,10,35,210,10

2、8.8,445分转nkNFkNQGPaEmImlPtFPsinQ/2/2111解解: : m/N10722.0487311EIl重力引起的弯矩重力引起的弯矩: :kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移: :m1053. 2311QQ/4S/13 .62/111Qgmm10722.0311PstFy4 .3/1122m1045.23styAkN.m1041lFMPstS/13 .5260/2n动位移幅值动位移幅值动弯矩幅值动弯矩幅值kN.m34stDMM跨中最大弯矩跨中最大弯矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移m1098.43maxAYQ例例2 2 求图示梁中最大弯矩

3、和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: :./500,10,35,210,108 .8,445分转nkNPkNQGPaEmIml解解: : kN35QMm1053. 23Qm/N10722.0711二、动荷载不作用于质点运动方向时的计算二、动荷载不作用于质点运动方向时的计算PpFF1112tFPsin)(ty)(sin)(1112ymtFtyP )(tym tFPsin12=111=1tFtytymPsin)(1)(111211 令令tFtytympsin)(1)(11 tmFtypsin)(2112ppFmFA111112PFPF12stystyFP仍是位移动力系数仍

4、是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 tAtysin)(EIlFlllFEIyPPst34856522211解解: :5 .0例例3:3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知tAtysin)(2 tmAtFIsin)(2tFtFPPsin)(同频同步变化同频同步变化tFPsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/1122EIlFyAPst3365sty=1112/lFPl5 .0例例3:3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图。已知：求图示体系振幅、动弯矩幅值图。已知：tF

5、PsinEIl/2l/2Am2Asty2/lFP=111l解解: :EIlFlllFEIyPPst3485652221134/1122EIlFyAPst33651122max441AmAmAFIPF485FPPF485lFP965lFP48291122max441AmAmAFIPF485FPPF485lFP965lFP4829动弯矩幅值图动弯矩幅值图Md解解: :例例4:4:求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅 0oMkmFAP41032tFPsinlkEIll2mA231mAAFPAk32o023233122lAklmAlmAlFp经整理后，解得经整理后，解得: :2 2、在建筑

6、物中产生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；振动波在土壤中传播而耗散能量；3 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力

7、来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：不同，目前主要有两种阻尼理论：* *粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：非弹性力与变形速度成正比：* *滞变阻尼理论滞变阻尼理论yctFR)(1 1、关于阻尼，有两种定义或理解：、关于阻尼，有两种定义或理解：1 1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；2 2）使能量耗散。）使能量耗散。3 3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2 2）与质

8、点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3 3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响mnnnnAAmAAln21ln211例例1. 1. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN20kN时顶部侧移时顶部侧移2cm2cm，振，振动一周动一周T=T=1.4s1.4s后，回摆后，回摆1.6cm1.6cm，求大梁的重量，求大梁的重量W W及及6 6周后的

9、振幅。周后的振幅。k2k2W=mg解：解：(1)(1)大梁的重量大梁的重量,kNgkW6 .4869812200496. 024 . 12由skgWT4 . 122(2)自振频率自振频率)(714. 04 . 111HzTfsf148. 42(3)阻尼特性阻尼特性,0355. 06 . 12ln21212)999. 0(1r(4)6周后的振幅周后的振幅TTtteeeyy)(10006106)6(6000yyeeeyyTTttcmyyyy524. 0226 . 1606016kN4.160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s ( 5 . 04/2r

10、T) s (4998. 012rTT) s / 1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 . 8252) s/1 (70.11) s (537. 0/2T0257. 02/mckN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk)s/1 (89.1368005190102 .8252) s (5 .04/2rT) s (4998.012rTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc1EIEIEI2016.0230%5 .0ln21maxmaxAAnniiAAnln21snT3110kmT22324lEIk 26231079.3)2(24mNTmlEI例例4.4.图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为F FP=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。kg10