函数表示与定义域值域

1、一般地，我们有：一般地，我们有： 设设A、B是是非空数集非空数集，如果按照某种，如果按照某种确定的确定的对应关系对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在，在集合集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数f(x)和它对应，那么称和它对应，那么称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的的一个一个函数函数（function），记作：），记作：y=f(x)， x A （1）x 自变量自变量（2）A 定义域定义域（3）y的范围的范围值域值域一一 函数的定义函数的定义解读解读（1）A和和B 集合都必须是非空集合。集合都必须是非空集合。（2）在）在A 集合中的任意一个集合中的

2、任意一个X，在，在B集合中集合中有且只有唯一值有且只有唯一值与之相对应。与之相对应。多个多个X对应一个对应一个Y可以，可以，1个个X对应多个对应多个Y不可以。如不可以。如 y=x2（），），x=y2（x）思考一：如何判定一个图形是不是函数图象？下列思考一：如何判定一个图形是不是函数图象？下列各图中，哪些不可能是函数各图中，哪些不可能是函数 的图象？的图象？( )yf xOyxOyxOyxOyx（1） （2）（3） （4）二二 区间的含义区间的含义特别的，实数集特别的，实数集R可以用区间（可以用区间（- ，+ ）读作读作“负无穷负无穷”到到“正无穷正无穷”。X2 可以表示为（可以表示为（2，+

3、）。）。;0:,0,1 ,1)1(;:,)1(;:,)2(|;|:,0y|y,)1(2yxfBAxyxfZBZAxyxfZBZAxyxfBRA例例1 1 下列对应是否为下列对应是否为A A到到B B的函数：的函数：例例2函数的定义域函数的定义域使函数表达式有意义时的使函数表达式有意义时的X的取值集合的取值集合例例1 函数函数f(x)= x+3 + 1/(x+1) 求求f（x） 的定义域。的定义域。例例2 函数函数f(x)的定义域为的定义域为 0,3 ，求，求f（3x+2） 的定义域。的定义域。例例3 函数函数f(x+1)的定义域为的定义域为 0,3 ，求，求f（x） 的定义域。的定义域。例例1

4、 函数函数y=x2+2x-4，求其值域。，求其值域。函数的值域函数的值域二次函数配方法二次函数配方法例例2 函数函数y=3x2+4x-2，求其值域。，求其值域。拿到一个函数，先求定义域，拿到一个函数，先求定义域，再求其他再求其他界值法（自变量有取值范围）界值法（自变量有取值范围）例例1 函数函数y=x2+2x-4，定义域为，定义域为 -2,3，求其值域。，求其值域。例例2 函数函数y=-x2+3x+2，定义域为，定义域为 2,3 求其值域。求其值域。数形结合法（利用图像）数形结合法（利用图像）例例 函数函数y= x-1 求其值域。求其值域。就是用数学表达式表示两个变量之就是用数学表达式表示两个

5、变量之间的对应关系。间的对应关系。就是用图象表示两个变量之就是用图象表示两个变量之间的对应关系。间的对应关系。就是列出表格来表示两个变量之间就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。的对应关系。求函数解析式（1）代入法例1 已知f(x)=x2+2x , g(x)=3x , 求f(1), f(2x+1),fg(x), gf (x) 例2 已知f(x)=2x-1 , g(x)= x2 ,x0 -1 , x0求fg(x), gf (x) 例3 已知f(x)= x2 ,x-1 -1 ,-1x2 x2 /2, x2 f(a)=3求a（3）待定系数法对于已知函数模型的函数对于已知函数模型的函数例1 已知f

6、(x)为一次函数，且ff(x)=4x+7求f(x）f(x)=2x+7/3 or f(x)=-2x-7例2 已知f(x)为一次函数，且fff(x) =27x+13求f(x）f(x)=3x+1（2）换元法例1 已知f(2x+1)=x2-1, 求f(x）例2 已知f( x +2)=x2-1 , 求f(x）注意：换元的之后，新自变量的定义域的变化注意：换元的之后，新自变量的定义域的变化（4）抽象函数问题例1 已知f(x)-2f(1/x)=3x+2, 求f(x）例2 已知2f(x)-1/3f(-x)=3x2+x-1, 求f(x）例1、已知f(n)= ,则的值为_ff(n+5),(n10)n-3,(n 1

7、0)f(5)8（5）循环问题一般地，我们有：一般地，我们有： 设设A、B是是非空集合非空集合，如果按照某种，如果按照某种确定的确定的对应关系对应关系f，使对于集合，使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在，在集合集合B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数y和它对应，那么称和它对应，那么称f：AB为从集合为从集合A到集合到集合B的的一个一个映射。映射。（mapping）。）。例例6、以下给出的对应是不是从集合、以下给出的对应是不是从集合A到集合到集合B的映射？的映射？（1）集合）集合A=P|P是数轴上的点是数轴上的点，集合，集合B=R，对应关系，对应关系f：数：数轴上的点与它所代表的实数对应；轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合）集合A=P|P是平面直角坐标系中的点是平面直角坐标系中的点，集合集合B= ，对应关系，对应关系f：平面直角坐标：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；系中的点与它的坐标对应；（3）集合）集合A=x|x是三角形是三角形，集合，集合B=x|x是圆是圆，对应关系，对应关系f :每一个三角形都对应它的内切圆；每一个三角形都