导数知识点归纳和练习

1、一、相关概念1. 导数的概念：f （ x 0 ） = limy = limf (x0 x) f ( x0 ) 。x 0xx 0x注意：（ 1）函数 f （ x）在点 x 0 处可导，是指x0 时，y 有极限。如果y 不存在极限，xx就说函数在点x 0 处不可导，或说无导数。（ 2） x 是自变量x 在 x 0 处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（x 0 ， f （ x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f （ x 0 ）处的切线的斜率

2、是f （ x 0 ）。相应地，切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ）（ x x 0 ）。3. 导数的物理意义若物体运动的规律是s=s （ t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v= s （ t ）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （ t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v（ t ）。二、导数的运算1基本函数的导数公式: C0;（C为常数）xnnxn 1;(sin x)cos x;(cos x)sin x; (ex ) ex; (a x )ax ln a ;ln x1;xl ogax1 log a e.x2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于

3、这两个函数的导数的和(或差 )，即： (u)'u'v'.v法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：( )'''.uvu vuv法则3 ：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：3. 复合函数的导数uu' v uv'（ v0）。vv2形如 y=f(x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 >求导 >回代。法则： y | X = y | U·u | X 或者 f ( x)f ()*( x

4、) .三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数 yf (x)在某个区间（ a， b）可导， 如果 f ' (x)0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；如果f ' ( x)0 ，则 f ( x) 在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有 f ' ( x) 0 ，则 f ( x) 为常数 。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间 a ，b 上连续的函数 f ( x) 在 a ， b 上必有最大值与最小值。但在开区间（a， b

5、）内连续函数 f （ x）不一定有最大值，例如f ( x) x3, x ( 1,1) 。（ 1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（ 2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间 a ，b 上连续，用分点a x0<x1<&l

6、t;xi 1<xi<xn b 把区间 a ， b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi 1， xi 上取任一点 i （ i 1， 2， n）作和式 Innf i1( i) x（其中 x 为小区间长度） ，把 n即 x0 时，和式 In 的极限叫做函n数 f(x)在区间 a ， b 上的定积分，记作：baf ( x) dx，即blimff (x)dxni 1 ( i) x。a这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ， b 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx叫做被积式。0dx C；m1x m 11基本的积分公式：xdx m 1

7、C（ m Q， m 1）；x dx ln xexdxxa x dxa xcos xdxsin xdx e ln a C； cosx C C； C； sinx C；（表中 C 均为常数）。2. 定积分的性质bbkf ( x) dxkaaf ( x) dx（ k 为常数）；bf (x)bbg ( x)dxg (x)dxf ( x) dxaaa；bf (x)dxcf ( x) dxbf ( x)dx （其中 a cb ) 。aac3. 定积分求曲边梯形面积由三条直线 x a， x b（a<b）， x 轴及一条曲线y f （x） (f(x) 0) 围成的曲边梯的面积bSf ( x)dx。a如果图

8、形由曲线y1 f1(x)， y2 f2(x) （不妨设f1(x) f2(x)0），及直线 x a，x b（ a<b ） 围 成 ， 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S 曲 边 梯 形AMNB S 曲 边 梯 形DMNCbbf1 ( x)dxf 2( x)dxaa。4. 牛顿布莱尼茨公式如果 f(x) 是区间 a,b上的连续函数,并且 F (x)=f(x),则bf ( x )dxF( b )F( a )a【练习题】题型 1：导数的基本运算【例 1】 （ 1）求 yx( x211) 的导数；xx3（2）求 y(x1)(11) 的导数；x（3）求 yxsin x cos x 的导数；22

9、（4）求 y=x2的导数；sin x（5）求 y 3x 2xx5x9 的导数。x解析：（ 1）31'22y x1x 2 ,y3xx3 .111（2）先化简 , yxxx 2xx1x13111.y '1 x 21 x 2222 xx（3）先使用三角公式进行化简.12yxsin x cos xx1 sin x2221'11y'xsin xx'(sin x)'1cosx.222（4） y= ( x2 )' sin xx 2 *(sin x)' =2 x sin xx2 cos x ；sin 2 xsin 2x31（5）y 3x 2 x9

10、x23113y * （ x2 ） x (x 2 ） *3 x 2 * （1 ） x 2 229x (11)1。2x2题型 2：导数的几何意义【例 2】 已经曲线 C： y=x 3 x+2 和点A(1,2) 。（1）求在点 A 处的切线方程？（2）求过点A 的切线方程？（3）若曲线上一点Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1，则 Q点坐标为_,切线方程为 _思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例3】 （06安徽卷）若曲线y x4 的一条切线l 与直线 x4 y8 0 垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0 B x 4 y 5 0 C 4 x y 3 0 D x 4 y 3 0【例

11、4】 （06全国 II ）过点（1， 0）作抛物线 yx2x1 的切线，则其中一条切线为（）（A ） 2x y2 0 （ B） 3xy 3 0 （C） xy 1 0 （D ） x y 1 0解析：（1）与直线 x 4 y 80 垂直的直线 l 为4xym0 ，即 yx4 在某一点的导数为 4，而 y4x3 ，所以 yx4 在 (1 ，1) 处导数为4，此点的切线为4xy30 ，故选 A；（ 2） y2x1，设切点坐标为( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为2x01，且 y0x02x0 1 ，于是切线方程为y x02x01(2 x01)( x x0 ) ，因为点（1， 0）在切线上，可解得x0

12、 0 或 4，代入可验正D 正确，选 D。题型 3：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 （06江西卷）对于R 上可导的任意函数f（ x），若满足（ x 1） f （ x）0，则必有（）A f （ 0） f（ 2） 2f（ 1）B. f （0） f（ 2） 2f（ 1）C f （ 0） f（ 2） 2f （1）D. f （ 0） f（ 2） 2f（ 1）【例 6】 （06天津卷）函数f (x) 的定义域为开区间( a, b) ，导函数f ( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示，则函数f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（）A1个B2 个C3 个D 4个【例7】 （06

13、全国卷 I ）已知函数 fx1x e ax 。（）设 a0 ，讨论 yf x 的1x单调性；（）若对任意x0,1 恒有 fx1，求 a的取值范围。解析：（ 1）依题意，当 x 1 时， f （ x） 0，函数 f （ x）在（ 1， ）上是增函数；当 x 1 时， f （ x） 0， f（x）在（ ，1）上是减函数，故 f （ x）当 x 1 时取得最小值，即有 f （0） f（ 1）， f （ 2） f （1），故选 C；（ 2）函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ，导函数 f ( x) 在 (a,b) 内的图象如图所示，函数 f (x) 在开区间 ( a,b) 内有极小值

14、的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个，选 A 。ax2+2 a ax（ 3）： ( )f(x) 的定义域为 ( ,1) (1,+ ).对 f(x) 求导数得 f '(x)= x)2e 。(12x2 2x( )当 a=2 时,f '(x)=(1 x)2 e, f '(x) 在 ( ,0),(0,1)和 (1,+ )均大于 0,所以 f(x) 在( ,1), (1,+ ).为增函数；( )当 0<a<2 时 , f '(x)>0, f(x)在 ( ,1), (1,+ )为增函数 .；a 2a 2a 2( )当 a&

15、gt;2 时 , 0< a<1, 令 f '(x)=0 , 解得 x1= a , x2=a；当 x 变化时 , f '(x) 和 f(x) 的变化情况如下表 :xa 2a 2a 2a2(1,+ )(,a )(a ,a ) (a,1)f '(x)f(x)a 2a2a2a 2f(x) 在 ( , a ), (a ,1),(1,+ )为增函数 ,f(x) 在 ( a ,a )为减函数。( )( )当 0<a 2 时 , 由 ( )知 : 对任意 x(0,1) 恒有 f(x)>f(0)=1 ；( )当 a>2 时 , 取 x0=1a 22 (0,1

16、),则由 ( )知 f(x 0)<f(0)=1 ；a1+x ax 1，( )当 a 0 时 , 对任意 x (0,1),恒有1 x >1且 e得： f(x)= 1+x ax 1+xa ( ,2时 ,对任意 x (0,1)恒有 f(x)>1 。1 xe1 x >1. 综上当且仅当【例 8】 （ 06 浙江卷） f ( x)x33x22 在区间1,1 上的最大值是（）(A)2(B)0(C)2(D)4【例 9】 （06山东卷） 设函数 f(x)=2x33(a 1)x21, 其中 a 1. （）求 f(x) 的单调区间；（）讨论f(x) 的极值。解析：（ 1） f (x) 3x26x 3x( x2)，令 f ( x)0 可得 x0 或 2（2舍去），当1x 0 时， f ( x)0，当 0x1 时， f (x)0，所以当 x 0 时， f（ x）取得最大值为2。选 C；（ 2）由已知得 f ' ( x) 6xx (a1)，令 f ' (x)0 ，解得x10, x2 a1。（）当 a 1时， f ' (x)6x2 ， f (x)