加法原理和乘法原理及多重集的排列组合

1、加法原理和乘法原理总体结构 1加法原理 2乘法原理 3集合的排列 4集合的组合 5多重集的排列 6多重集的组合加法原理加法原理（加法原理（addition principleaddition principle）把集合S划分为S1,S2,Sn这n块，则S的个数可以通过找到它的每一个部分的元素的个数来确定，我们把这些数相加，得到： SS1S2Sn注意，运用加法原则，把要计数的集合S划分成不太多的易于处理的块S1, S2, Sn加法原理应用例：一名学生想选修一门数学课程或者一门生物课程。现有4门数学课程和3门生物课程作为该生的选课范围，那么该生的选择有几种？解：应用加法法则:4+3=7(种)乘法原

2、理乘法原理（乘法原理（multiplication principlemultiplication principle） 令S是元素的序偶（a,b）的集合，其中第一个元素来自大小为p的一个集合，而对于a的每个选择，元素b存在着q种选择。于是S的大小为pq；|S|=pq如果某事件能分成连续n步完成，第一步有r1种方式完成，且不管第一步以何种方式完成，第二步都始终有r2种方式完成，而且无论前两步以何种方式完成，第三步都始终有r3种方式完成，以此类推，那么完成这件事共有r1r2rn种方式注意，运用乘法原则，后步结果可随前步结果而变化，但每一步完成方式的数量却是固定不变，不依赖任何一步。 乘法原理应用

3、例：粉笔有3种不同的长度，8种不同的颜色，4种不同的直径。粉笔有多少个不同的种类？解：3个属性之间没有限制条件，应用乘法原理：384=96种集合的排列令r为正整数。我们把n个元素的集合S的一个r-排列理解为n个元素中的r个元素的有序排列我们用P(n，r)表示n个元素 的r-排列的个数。如果rn，则P(n，r)=0对于正整数n和r，rn，有P（n，r）=n（n-1）（n-2）（n-3）（n-r+1）P（n，r）也可以表示为r）！（！r-nnPrn集合排列的应用例：将字母表中26个英文字母排序，使得元音字母a,e,i,o,u中任意两个都不能相继出现，这种排序的方法的总数是多少？解：首先要确定21个

4、辅音字母的排序问题，辅音字母的排列方式有21！种。因为元音字母不能相连，所以只能将元音字母放在辅音字母中间的“空隙”里，22个空间放5个元音字母，其排列数为P(22,5).所以排序的方法数为:!17!22!21集合的循环排列如果不将集合S中的元素排列成线性而是排列成环形，称为循环排列。如下图所示的循环排列所对应的线性排列有： 123456 234561 345612 456123 561234 612345 共6个 循环排列的一般公式为：r) r , n(P集合的组合令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元素中对r个元素的无序选择。换句话说，S的一个r-组合是S的一个

5、子集，该子集由S得n个元素中的r个组成，即S的元素一个r-子集。如果rn,则 =0如果rn，)!rn( ! r!nCrnrnC集合组合的应用例：平面上给出25个点，没有3个点共线。这些点确定多少条直线？确定多少个三角形？解：因为没有3个点处于同一条直线上，每一对点就确定一条直线。因此，所确定的直线的数目等于25-个元素集的2-组合数，所取代的直线个数为:与之类似，每3个点确定一个三角形，因此，所确定的三角形的个数为:300!23! 2!25C225!22! 3!25C325多重集的排列多重集指的是集合S中有多个无区分的重复出现的元素。如：S2a，1b，3c指的是集合S中含有2个a，1个b，3个

6、c，同名元素没有区别。多重集的表示S=n n1 1a a1 1,n2,n2a2,a2,n nk ka ak k如果S是1个多重集，那么S的一个r-排列是S的r个元素的一个有序排放。如果S的元素总数是n（包括计算重复元素），那么S的n-排列也成为称为S S的排列的排列。令S是一个多重集，有k个不同类型的元素，每个元素的重数为 ，设S的大小为排列数为C(n， )C(n， )C(n， )=令S是一个多重集，有k个不同的元素，每个元素都有无限重复次数，则S的r-排列数：krk21nnn，k21nnnS！k21nnnn1n2nkn多重集排列应用单词MISSISSIPPI的字母排列数为：解：相当于多重集1

7、M,4I,4S,2P的排列数 即： 34650244111！多重集组合如果S是1个多重集，那么S的r-组合数S中的r个元素的一个无序无序选择。因此，S的一个r-组合本身就是一个多重集S的一个含r个元素的子多重集。令S为具有k种类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限的重复数。则S的r-组合的个数等于 也就是证：S= ， ， S的任意一个r-组合均呈x1a1,x2 ,xkak，其中x1 + x2 +.+ xk =r， xi 为非负整数。满足x1 + x2 +.+ xk =r的一组序列 x1，x2，xk 对应S的一个r-组合。 S的r-组合的个数等于x1 + x2 +.+ xk =r的解的个数 r1krC1a2aka2a多重集组合我们可以这样理解，用1代表组合中的一个元素，共有r个1，用*代表分割符，有（k-1）个。将*插入r个1中，形成了1个新的多重集示例：1111*11*111*1 代表元素总数为10，分成4种。第一个*之前为 ，之后依次为 ， ， 其个数分别为4个，2个，3个，2个。S的组合数可以理解为在（r+k-1）中找到（k-1）个位置放分隔符即 =1x2x3x4x1 -k1krCr1krC多重集组合应用例：一家面包房生产8种面包圈。如果1盒含有12个面包圈，能够买到多少种不同的盒装面包？解：相当于8种类型的 12-组合 ，可