直线与圆的综合问题检测题与详解答案

1、直线与圆的综合问题检测题与详解答案A保大分专练1.已知圆C： x2+y22x 2m什m23=0关于直线l : x-y+ 1 = 0对称，则直线x=-1与圆C的位置美系是()A.相切B.相交C.相离D.不能确定解析：选A由已知得C： (x1)2+(ym)2=4,即圆心C(1 , m),半径r = 2,因为圆C关于直线l : xy+l = 0对称，所以圆心(1 , m)在直线l ： x-y+i=o上，所以vm= 2.由圆心1,2)到直线x=- 1的距离d=l + l = 2=r知，直线x=- 1与圆C相切.故选 A.2.直线ax+；y+2=0与圆x2+y2=r2相切，则圆的半径最大时，a的值是()

2、A.B. 1C.D. a可为任意非零实数1解析：选C由题意得，圆心(0,0)至ij直线ax+-y+2=0的距离等于半径r,即 a=r.由基本不等式，得rw-T ,2=2,当且仅当a4=1,即a=± 1时取等号.故选C.3.与圆x2+y2+242y+1 = 0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选B圆的标准方程为x2+( y+42) 2= 1,设切线方程为y= kx+mj则32tm1 =1,整理得(/+m2=k2+1,又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以/+m 2=k2+1, 程得,mf k，mi= 0,解得,或k=± 1k

3、= - 1,厂所以切线方程为y=±mi= 2 2,x或y=x242,切线共有3条.4.已知点 P(x, y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA PB是圆 C： x2+y2-2y=0的两条切线，A, B是切点，若四边形 PACBB勺最小面积是2,则k的值为()A. 3C. 2 2D. 27解析：选 D 圆 C： x2+y22y =0的圆心为（0,1）,半径=1 .由圆的性质，知 S四边形PACB1= 2S"BC. 四边形PACB勺最小面积是 2, . . Sapbc的最小值为1,则/mLMd是切线长），.dmin = 2. 圆心到直线 kx+y+4 = 0

4、的距离就是PC的最小值,= 45. . k>0,k= 2.故选 D.5. （2019 赣州七校联考）已知圆 C： x2+y22ax 2by+a2+b21 = 0（a< 0）的圆心在 直线木xy+43=0上，且圆C上的点到直线 J3x + y= 0的距离的最大值为 1+。3,则 a2+b2的值为（）B. 2A. 1C. 3D. 4解析：选C易知圆的标准方程为（x a）2+（y b）2=1,所以圆心为（a, b）,由圆心在 直线（3xy+q3=0上，可得 J3ab+J3=0,即b=43（a+1） .圆C上的点到直线 淄x+ y= 0 的距离的最大值dmax= 1 + |b ="

5、;73+1,得|，3a + b| =243.由得 |2a+1|=2,又 a<0,所以 a= 2, a2 + b2= a2+3（a+1）2= 3.6 .已知实数x, y满足（x+ 5） 2+（y12）2=25,那么Rx2+y2的最小值为 .解析：由题意得 52+ y2 =7x-0 2+ y-0 2表示点P（x, y）到原点的距离，所以 W+ y2的最小值表示圆（x+5） 2+（y12） 2=25上一点到原点距离的最小值.又圆心（-5,12）到原点的距离为 7 .5 2+ 122 = 13,所以/x2+y2的最小值为135=8.答案：87 .已知Rx, y）为圆（x2）2+y2=1上的动点，

6、则|3 x+4y 3|的最大值为 .解析：设 t = 3x + 4y3,即 3x+4y 3 1 = 0.由圆心（2,0）到直线 3x+4y3 t =0 自人口匚.|6 3 11的距离 d =, 2 2 -< 1,解得一2Wt w 8.所以 |3x+4y-3| max= 8.答案：88 . （2018 贵阳适应性考试）已知直线l： ax3y+12=0与圆M x2+y24y= 0相交于.兀 A B两点，且/ AMB,则实数a=3解析：直线l的方程可变形为y = 1ax+4,所以直线l过定点（0,4）, 3且该点在圆M上.圆的方程可变形为x2+（y2）2=4,所以圆心为 M0,2）,半径为2.

7、如图，因为/ AMB=，所以4 AME等边三角形，且边长为 2,高为J3,即圆心 3M到直线l的距离为J3,所以二6i22 = J3,解得a=±J3. a + 9答案：土 39.已知曲线C上任一点 Mx, y)到点E( 1, 4 1和直线a： y = ；的距离相等，圆 D：2、，1 22/(x- 1) + 7-2 ! = r (r >0).(1)求曲线C的方程；(2)过点A( -2,1)作曲线C的切线b,并与圆D相切，求半径r.解：(1)由题意得/2x+ 1两边平方并整理，得 y = (x+1)2.曲线C的方程为y=(x+1)2.(2)由 y=(x+1)2,得 y' =

8、2(x+1).点收一2,1)在抛物线C上,1y+4.切线b的斜率为y' |x=2=2.，切线 b 的方程为 y- 1 = - 2(x+2),即 2x+ y+ 3 = 0.又直线b与圆D相切，dH, 2用直线b的距离等于半径,2X1+1+ 3|2一11 51010.已知过点A(1,0)且斜率为k的直线l与圆C： (x-2)2+(y-3) 2= 1交于M N两点.(1)求k的取值范围;-1 _、， r r 一一，、(2) OM- ON=12,其中O为坐标原点，求|MN解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C相切，显然当直线的斜率不存在时，直线x=1与圆C相切.当直线的斜率存在时，设切线方程

9、为y=k°(x 1),即kcx- y- kc= 0.圆C的半径r=1,圆心C(2,3)到切线的距离为| k。二3| 、k2+1=1,解得 kc=1.3过点A且斜率为k的直线l与圆C有两个交点,44，k>g,即k的取值范围为,，+°° .(2)将直线 l 的方程 y=k(x1)代入圆 C的方程，得(1+k2)x2(2k2+6k+4)x+ k2+6k+ 12 = 0.设 Mxi, yi) , N(X2, y2),则.2.2k +6k+ 4.2.k +6k+ 12x1 + x2 = -, x1x2= -1 + k1 + k. y/2= k2(x1 1)( x2 1

10、) = k2( x1x2x1 x2+ 1)=9 k21+ k2.2>>10k + 6k+12笈力/口八 人、 OM ON=x1x2+yy2 =2=12,解得 k=3 或 k= 0(舍去).1十k，直线l的方程为3x-y-3=0.故圆心(2,3)在直线l上，. | MN=2r = 2.B创高分自选1.已知圆 M (x2)2+(y2)2=2,圆N： x2+(y-8) 2= 40,经过原点的两直线 L，|2满足11112,且11交圆M于不同两点 A, B, |2交圆N于不同两点 C, D,记|1的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)若四边形ABCDM弟形，求k的值.解：(1)显然kw0

11、,所以可设11的方程为y=kx,则12的方程为y=-1x.k依题意得点M到直线1 1的距离d1 = -j 2 v /1+k2.2.2,整理，得 k 4k+1 v 0,解得 2V3v kv 2 +。3.同理，点N到直线|2的距离d2 =|8 k|1+ k22 10,由可得2小女平,3所以k的取值范围为2-73,呼.(2)设A(x1, y1) ,Rx2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，22-将直线11的方程代入圆 M的方程，得(1+k)x 4(1+k)x+ 6=0,所以 Xi + X2= 4 二1k1+ k.6'1 2 1 + k2将直线l 2的方程代入圆16k所以 X3+X4

12、2,1 + kN的方程，得(1 +k2)x2+16kx+24k2 = 0,224 kX3X4=-了.1 + k由四边形abc四梯形可得x2=x4,X1X2X4X3所以X2+X；+2=X3+X4+2,所以2X1 +X2 X1X22X3 + X4，X3X4所以(1+k)2=4,解得k=1或k= 3(舍去).故k的值为1.2. (2019 成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点 A(1 , 2)的距离与到点B(2 ,-4)的距离之比均为乎.(1)求曲线C的方程;(2)设点R1 , 3),过点P作两条相异的直线分别与曲线C相交于E, F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF的最大值.解：(1)设曲线C上的任意一点为,口一/口 X1X 1 T-y+ 2Q(x, y),由题意得12 yX X-2 2+ y + 4理得x2+y2=10,故曲线C的方程为X2+ y2= 10.(2)由题意知，直线 PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为 R1 , 3),故可y + 3= k x 1 J设直线PE的方程为y+3=k(x- 1),联立方程得<X2+y2_10消去y得(1 +k2)x2 -2k(k+ 3)x+ k2+ 6k -1 = 0,因为P(1 , - 3)在圆上，所以x=1一定是该方程的解，故可,2/口 k + 6k 1.一/口得X