函数奇偶性的归纳总结.

1、函数的奇偶性的归纳总结考纲要求： 了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标： 1、理解函数奇偶性的概念；2 、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3 、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4 、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点： 1、理解奇偶函数的定义；2 、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点： 1、对奇偶性定义的理解；2 、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念f ( x) ，如果对于函数定义域内任意一个x，都有 f (x)f (x) ，一般地，对于函数那么

2、函数 f ( x) 就叫做偶函数。一般地，对于函数f (x) ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 f (x)f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体 ”性质，单调性是一个“局部 ”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y 轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函

3、数，其定义域关于原点对称（也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在 0 处有定义，则f(0) 0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。 奇函数 f(x)在区间 a,b(0 a<b)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b, a上也是单调递增（减） ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。 偶函数f(x)在区间 a,b （ 0 a<b）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b, a上单调递减（增）任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个

4、奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x)， f(x)， fg(x) 的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u) 都是奇函数时， y=fg(x)是奇函数； u=g(x)， y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x) 是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶，内奇同外” .5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，都有fxf x 或fx1f x或 fxf x0 函数f （ x）是偶函数；对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，都有fxf x 或fx1或f xfxf x0函数f （ x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：、判断定

5、义域是否关于原点对称；、比较f (x) 与 f ( x) 的关系。、扣定义，下结论。、图象法： 图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于 y 轴对称的函数是偶 函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数+偶函数 =偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。若 f ( x) 为偶函数，则f (x)f ( x)f (| x |) 。二、典例分析1、给出 函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看 f( x)与 f(x)的关系 .【例 1】

6、 判断下列函数的奇偶性：(1). f ( x) x22 x 1;(2) .f ( x)x22, xxx30;解： f ( x) 函数的定义域是 (，) ，xx3 f ( x) x22 x 1 ，f ( x)( x) 22 x 1x22 x 1f ( x) ， f ( x) x22 x 1 为偶函数。（法 2图象法）：画出函数f ( x)x22 x1的图象如下：由函数 f ( x)x 22 x 1 的图象可知，f ( x)x22 x1 为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) .解：由x30 ，得 x( ， 3 (3 ，+).x 3定义域

7、不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1).f ( x)4x 2;(2) .f ( x)3sin(32 x);(3).f ( x)1x0。x332x21解：4x20，解得2x2(1). 由33x 0且 x6x0定义域为 2x 0 或0 x2，则 f ( x)4x24x2x3 3; .x f (4(x)24 x2f ( x ) ; .x)xx4x2为奇函数 . f ( x)3x 3说明：对于给出 函数解析式较复杂时， 要在函数的定义域不变情况下， 先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。(2)32 x) 定义域为 R，. 函数 f ( x) 3sin(2 f (

8、x)3sin( 32 x)3cos2 x ，2 f (x)3cos2(x)3cos2 xf ( x) ， 函数 f ( x)3sin(32 x) 为偶函数。2(3).由x0，解得x0 ， 函数定义域为xR x 0, x1 ，x210x1又 f ( x)1x011， f (x) 0 ，x21x201 f ( x)f ( x) 且 f ( x)f ( x) ，所以 f ( x)1x011既是奇函数又是偶函数。x21x201【例 3】 判断下列函数的奇偶性：x(1 x) , ( x0)(1).f ( x)log0.5 ( xx21) ； (2). f ( x)0 ,( x0)x(1x) , ( x0

9、)解： (1) .定义域为 R， f ( x) f ( x)log0.5 ( x( x)21) log0.5 ( xx21)log0.5 ( x21)x) log0.5 10， f( x)= f(x)，所以 f(x)为奇函数。说明：给出 函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找f (x) 与 f ( x) 关系，但当直接找 f ( x) 与 f ( x) 关系困难时， 可用定义的变形式： fxf x 0 函数 f（x）是偶函数； fxf x 0函数 f （x）是奇函数。(2) . 函数的定义域为 R，当 x0时，x0 , f (x )(x)(1x)x(1 x)f ( x ) ;当 x0 时，x0

10、, f ( x)0f ( x) ;当 x0时，x0 , f (x)(x) 1( x)x(1 x)f ( x).综上可知，对于任意的实数x，都有 f ( x)f ( x) ，所以函数f ( x ) 为奇函数。说明：分段 函数判断奇偶性，必分 段来 判断，只有各 段为同一结果时 函数才有奇偶性。分段 函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象 函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数f ( x) ( xR 且 x0) , 对任意的非零实数x1 , x2 , 恒有f ( x1 x2 )f ( x1 )f ( x2 ) , 判断函数 f ( x) ( xR 且 x0) 的奇偶性。解：函数的定义域为(,0)(

11、0,令 xx21 ，得 f (1)0 ，令 xx112取 x1 , xx ，得 f ( x) f ( 1)12故 函数 f( x) ( xR 且 x0) 为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：) ，1 ，则 2 f ( 1) f (1) , f ( 1) 0 , f ( x) , f ( x) f ( x) ,【例 5】已知函数 f ( x)ax 21 ( a ,b, cZ ) 是奇函数，又 f (1)2 ， f (2)3 ，求 a , b , c 的值 .bxc解：由 f ( x)f ( x) 得 bx c(bxc) ， c0 。又 f (1) 2 得 a12 b ，而 f

12、 (2)3 得 4a13 ， 4a12b3 ，解得1a2 。a1又 aZ ， a0 或 a1 .若 a0 ，则b1Z，应舍去；若a 1，则b1Z b=1 Z. a1, b1, c20 。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想( 建立方程或不等式，组成混合组) ，使问题得解 . 有时也可用特殊值，如f( 1)= f(1)，得 c =0。(2) . 解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当 x 0，+)时， f(x)=x 1，求 f(x1) 0 的解集。分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，可先作出 f(x)的图象，利用数形结合的方法 .解：画图可知f(x) 0 的解集为 x 1 x 1，

13、 f(x1)0 的解集为 x 0 x 2.答案： x 0 x2说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x1) 的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.(3) . 求函数解析式：【例 7】已知 f(x)是 R 上的奇函数，且x ( ，0)时， f(x)= xlg(2 x) ，求 f(x).分析：先设x0，求 f(x)的表达式，再合并.解： f(x) 为奇函数， f(0)=0.当 x 0 时， x 0， f( x)=xlg(2+x)，即 f(x)=xlg(2+x)，f(x)= xlg(2+x) (x 0). f ( x)x lg(2x) ( x0) 。x

14、lg(2x) ( x0)说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若 y=f(x)在 x 0， +)上的表达式为y=x(1 x)，且 f(x) 为奇函数，则x ( ， 0时 f(x)等于A. x(1 x)B.x(1+x)C. x(1+x)D.x(x 1)2.已知四个函数：y1x ， yex1 ， y=3 x+3-x， y=lg(3 x+3 -x).其中为奇函数的是log2 1xex1A. B.C.0时，D.已知是定义在R上的奇函数， 当xf(x)=x22x，则在 R 上 f(x)的表达式为3.y=f(x)A. x(x 2)B. x（ x

15、 2） C. x(x 2)D.x（ x 2）二、填空题4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为a 1， 2a，则 a=_，b=_.5.若 f ( x)1a(x R 且 x 0)为奇函数，则 a=_.2x 16.已知 f(x)=ax7 bx+2 且 f(5)=17 ，则 f(5)=_.7.已知 f (x) 是定义在 (3,3) 上的奇函数，当0x3 时，f ( x) 的图像如右图所示，那么不等式 f ( x)cos x0 的解集是 _三、解答题8.已知 G( x)1 f ( x)1且 x=ln f(x)，判定 G(x) 的奇偶性。2f ( x)9.已知函数 f(x)满足

16、f(x+y)+ f(xy)=2f(x) ·f(y)(x、y R)，且 f(0) 0，试证 f(x)是偶函数 .10.设函数 f ( x) 是偶函数，函数 g( x) 是奇函数，且f ( x) g( x)3，求 f ( x) 和g( x ) 的解析表达式。x 311.已知 f(x) x5+ax3-bx-8， f(-2) 10，求 f(2) 。12.已知 f ( x) 、g( x) 都是定义在 R 上的奇函数，若F ( x) af ( x)bg( x) 2 在区间(0 ,) 上的最大值为 5，求 F ( x) 在区间 ( , 0)上的最小值。13.已知 f ( x) 是奇函数，在区间 (

17、 2 , 2) 上单调递增，且有 f (2 a)f (1 2a) 0 ，求实数 a 的取值范围。四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析： x ( ， 0， x0，f( x)=( x)(1+x) ， f(x)= x(1+x). f(x)=x(1+x). 答案： B2. 提示：可运用定义，逐个验算 .答案： D3. 解析：设 x 0，则 x 0， f(x)是奇函数， f(x)= f( x)= ( x)2 2(x) = x2 2x. f ( x)x22x ( x 0) ，即 f(x)= x（ |x|2），故答案： B 。x22x ( x 0)二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故a1=2a

18、， a1 ，3又对于 f(x)有 f(x)=f(x)恒成立， b=0. 答案： 1， 0。13115. 解析：特值法： f( 1)=f(1)，a(11a) ， a。21212答案：1。26. 解析：整体思想： f( 5)=a(5)7 b( 5)+2=17 (a·57 5b)=15， f(5)=a·57b·5+2= 15+2= 13. 答案： 13 。7.解析：f ( x) 是定义在 (3,3) 上的奇函数， 补充其图像如图，又不等式f ( x)cos x0 同解于f ( x)0 或f ( x)0 ，解得x3，或2x1 或cosx0cosx020x1， 不等式 f

19、( x)cos x0 的解集是,10 , 1, 3，答案：222, 10 , 12, 3。三、解答题8.解：由 x=ln f(x)得 f(x)=ex.1f ( x)11 ex11 (exe x ) 。G( x) 2f ( x)2ex2又 G(x)1 (e xex )1 ( exe x )G( x) ， G(x) 为奇函数。229. 证明：令 x=y=0，有 f(0)+f(0)=2f2(0). f(0) 0， f(0)=1. 令 x=0， f(y)+f( y)=2f(0) ·f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函数 .归纳：赋值法 (代入特殊值 )在处理一般函数问题时经常用到 .3(1) ， f ( x) g(x)310. 解： f ( x) g( x)，x3x 3又函数 f ( x) 是偶函数，函数g( x) 是奇函数， f (x)f ( x) ， g( x)g( x) ，上式化为3(