函数奇偶性知识点与经典题型归纳

1、.函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数yf ( x) 的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有 f (x)f (x) ，则这个函数叫 奇函数 .（ 2）偶函数：设函数yf ( x) 的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有 f (x)f ( x) ，则这个函数叫做 偶函数 .（ 3）奇偶性：如果函数 f ( x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x) 具有奇偶性 .（ 4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ ）奇函数若在 x0 时有定义，则 f (0) 0 1（ 2）若 f ( x) 0 且 f ( x)

2、的定义域关于原点对称，则f (x) 既是奇函数又是偶函数2奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1) 对称性：奇函数的图象关于 原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称(2) 单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反3. 判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定 f( x)与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若 f( x) = f(x)或 f(x) f(x) = 0 ，则 f(x) 是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数例题精讲2【例

3、1】若函数 f ( x)axbx 是偶函数，求 b 的值 .2解：函数f(x) ax bx 是偶函数， f(x) f(x) ax2bx= ax2-bx. 2bx=0. b 0.【例 3】已知函数 f (x)1在 y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象 .x2题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断下列函数的奇偶性.（ 1） f ( x) | x |( x21) ；;.（ 2） f ( x)x1；x（ 3） f ( x) | x 1| x 1| ；（ 4） f (x)x 22 x ；（ 5） f ( x)1 x2x21（ 6） f ( x)x2x, x0xx2, x0解：（ 1）（2）f (

4、x)| x | ( x21) 的定义域为 R，关于原点对称 f (x)|x |( x)21 | x | ( x2 1) f ( x) f (x)f (x) ，即f ( x) 是偶函数f ( x)x1的定义域为 x | x 0x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数（3） f ( x)| x1| x1| 的定义域为R，关于原点对称 f( x)| x1| |x1|x 1| |x1| (|x1|x1|) f(x)， f(x) |x 1|x1|是奇函数（4） f ( x)x22 x 的定义域为 2 ，由于定义域关于原点不对称，故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数（5）

5、 f ( x)1x2x21 的定义域为 1 ， 1 ，由 f (1)0 且 f ( 1)0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数（6）显然定义域关于原点对称当 x>0 时， x<0，f(x)x2x (xx2)；当 x<0 时， x>0，f(x) x x2 (x2x)即 f ( x)( x2x), x0( x x2 ), x0即 f ( x)f ( x) f ( x) 为奇函数题型二利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在R 上的奇函数， f(3) 2，求 f( 3)和 f(0)

6、的值 .解： f(x)是定义在R 上的奇函数， f(3) f(3) 2，;.f(0)0.【例 5】已知f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且f( 1)g(1) 2，f(1) g(1)4，求 g(1).解：由f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f (x)f (x) ， g(x)g( x)所以 f(1) g(1)2f(1) g(1)4由消掉f(1)，得 g(1)3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例 6】已知函数f (x) 是定义在R 上的偶函数，当x0时， f(x)x3x2，当 x>0 时，求 f(x)的解析式 .解：当 x 0 时，有 x0所以 f ( x) ( x)3( x)

7、2x3x2又因为 f (x) 在 R上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x3x2所以当 x0 时， f ( x)x3x2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x)g( x) ex ，求 g( x) .解：因为 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ， g( x)g(x)因为 f ( x)g( x)ex所以 f ( x)g ( x)e x所以 f ( x)g (x)e x由式消去 f (x) ，得 g( x)exex2.课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.函数 f (x)x 11 x 是（）A.

8、 奇函数B. 偶函数 C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2.已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x)x2 1 ，则 f (1) （）xA.2B.1C.0D.-23.f(x)为偶函数，且当x0 时， f(x) 2，则当 x0时，有（）Af(x) 2Bf(x) 2Cf(x) 2D.f(x) R4.已知函数 y=f （x）是偶函数， y=f（x2）在 0，2上是单调减函数，则（）A.f（0） f（ 1） f（ 2）B.f（ 1） f（ 0） f（ 2）C.f（ 1） f（2） f（0）D.f（2） f（ 1） f （0）5.已知函数 f（ x） =ax2 bxc（a0）是

9、偶函数，那么 g（x）=ax3 bx2 cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数;.6. 定义在 R 上的奇函数 f（x）在（ 0， +）上是增函数，又 f （ 3）=0，则不等式 xf（x）0 的解集为（）A.（ 3，0）（0，3）B.（， 3）（3，+）C.（ 3，0）（3，+）D.（ ， 3）（ 0， 3）7.若 f(x) 在 5,5 上是奇函数，且 f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是 ()Af( 1)<f( 3)B f(0)>f(1)Cf(2)>f(3)D f( 3)<f(5)8.设 f(x) 在 2， 1 上为减函数，最

10、小值为 3，且 f(x) 为偶函数，则 f(x) 在1,2 上()A为减函数，最大值为3B为减函数，最小值为3C为增函数，最大值为3D为增函数，最小值为39. 下列四个函数中，既是偶函数又在 (0 ， )上为增函数的是 ()Ayx3By x2 1Cy|x| 1Dy2|x|10.若函数 f(x) (x1)(x a)为偶函数，则 a()A1B 1C0D不存在11.偶函数 y f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程f(x) 0 的所有根之和为12.如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较f (1) 与 f (3)的大小 .y231Ox13. 已知函数()xp(0) 是奇函数，求 m的值 .f xxm p14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) g(x) x2 x2，求 f(x) ，