复变函数的导数PPT学习教案

1、会计学1复变函数的导数复变函数的导数 （一）（一）复变函数的导数的概念复变函数的导数的概念 一、复变函数的导数一、复变函数的导数设函设函数数)(zfw 的某区域的某区域 D 内有定义，内有定义，在包含在包含0z当变量当变量z在点在点0z处取得增量时，相应地，函数处取得增量时，相应地，函数)(zf取得增量取得增量)()(00zfzzfw如果极限如果极限 zwz0lim存在。存在。 处可导。处可导。 则称则称)(zf在点在点0z此极限值称为此极限值称为 在点在点0z)(zf处的导数。处的导数。 记作记作 )(0zf 或或 0zzw即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00000如果

2、函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导. .0zzdzdw或或 第1页/共12页 （一）（一）复变函数的导数的概念复变函数的导数的概念 一、复变函数的导数一、复变函数的导数即即 zzfzzfzwzfzz)()(limlim)(00如果函数如果函数)(zfw 在区域在区域 D 内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称)(zfw 在在 D 内可导。内可导。函数函数 )(zfw 在在 D 内任意点内任意点z处的导数记为：处的导数记为： 或或 ,dzdw)(zf w或或 例例 1 求函数求函数 2zzf)(的导数。的导数。 z例例 2 证明证明 zw 在复平面内处处连续，但它在

3、复平面在复平面内处处连续，但它在复平面内处处不可导。内处处不可导。 第2页/共12页 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数求导法则：求导法则：; )()( )()()(zgzfzgzf1;)()()()( )()()(zgzfzgzfzgzf2; )()()()()()()()()(032zgzgzgzfzgzfzgzf; )()()()()(zwzwfzf其其中中4是是和和其中其中)()()()()(wzzfwwzf15两个互为反函数的单值函数，且两个互为反函数的单值函数，且 .)(0 w求导公式：求导公式：,)()(01C.)(

4、)(12nnnzz第3页/共12页 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求第4页/共12页 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求第5页/共12页 （二）（二）复变函数的导数的运算法则复变函数的导数的运算法则 一、复变函数的导数一、复变函数的导数例

5、例 3 ,)(zzzf13设设.)()(iff和和求求0例例 4 ,)()(2242 zzzf设设.)( if求求第6页/共12页不仅在不仅在 z0 处可导，处可导， （一）（一）解析函数的概念解析函数的概念 二、复变函数的解析性二、复变函数的解析性如果函数如果函数)(zf不仅在不仅在 z0 处可导，处可导，如果函数如果函数)(zf在区域在区域D内的每一点内的每一点 处都解析，处都解析，区域区域D称为称为)(zf的的解析区域解析区域。如果函数如果函数)(zf在在 z0 处不解析，处不解析，)(zf则称则称 z0 为为的的奇点奇点。但在但在 z0 的任意邻域内总的任意邻域内总存在解析点，存在解析

6、点，内的每一点都可导，内的每一点都可导，而且在而且在 z0 的某邻域的某邻域)(zf在在 z0 处处解析解析。)(zf称称 z0 为为的的解析点解析点。则称则称在在区域区域D内解析内解析。)(zf则称则称第7页/共12页 （二）（二）函数解析性与可导性的关系函数解析性与可导性的关系 函数在区域函数在区域D内解析内解析在在 z0 处解析处解析)(zf函数函数函数在区域函数在区域D内可导。内可导。在在 z0 处可导。处可导。)(zf函数函数在在 z0 处可导处可导,)(zf函数函数在在 z0 处不一定解析。处不一定解析。)(zf则则第8页/共12页 （三）（三）解析函数的运算性解析函数的运算性质质

7、 （1） 若函数若函数在在 z0 处解析处解析,)(zf与与)(zg则则)()()(,)()(,)()(0zgzgzfzgzfzgzf在在 z0 处解析。处解析。（2） 若函数若函数在在 区域区域G内解析内解析,)(hfw 而而,)(GD )(zh在在 区域区域D内解析内解析, 且且则复合函数则复合函数 )(zfw在在 区域区域D内解析内解析,.)()()(zdzdhdhfdzdzfd且且（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。所有多项式函数在全复平面内处处解析。任意分式有理函数任意分式有理函数在不含分母为在不含分母为0的点的区域内解析。的点的区域内解析。)()(zQzP第9页/共12页

8、（四）（四）解析函数的判定解析函数的判定 在在 区域区域D内有定义内有定义,设设),(),()(yxviyxuzfyixz是是D内任意一点，内任意一点，在点在点 z 处可导的充要条件是：处可导的充要条件是：)(zf则则;),(),(),()(处处可可微微在在点点yxyxv、yxu1.,:)(xvyuyvxu 黎黎曼曼条条件件满满足足柯柯西西2.)(:)(yuiyvxvixuzfzf的的导导数数为为且且 1. 函数可导性的判别函数可导性的判别 2. 函数解析性的判别函数解析性的判别在在 区域区域D内解析的充要条件是内解析的充要条件是:函数函数),(),()(yxviyxuzf。Dyxv、yxu黎黎曼曼条条件件且且满满足足柯柯西西内内处处可可微微在在,),(),(第10页/共12页二、复变函数的解析性二、复变函数的解析性例例 5 ,)()(zzf1例例 6 。yixzf的的可可导导性性和和解解析析性性讨讨论论函函数数2