三种复化求积分算法的精度分析

1、【摘 要】分别利用复化梯形公式、复化 simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式对定积 分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限 =5e-8 内，并且在相同的精度下，复化 gauss-legendre i 型公式的步长和计算量最小。【关键词】复化梯形公式；复化 simpson 公式； gauss-legendre 公式1 引言 数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分 的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常

2、利用机械积分 来实现，其基本思想为：(1)2 理论模型复化梯形求积公式将区间a, b划分成 n 等分，分点 xk=a+kh (, k=1 , 2, 3n),在每个子区间xk , xk+1( k=1,2, 3-n-1 )上采用梯形式，则得到( 2)记( 3)上式( 3)为复化梯形公式,其余项可由式,(awb)(4)得,nkxk,xk+1(5)由于f (x ) c2a , b且，(0wkwn-1)(6)所以( a, b)，使( 7)于是复化梯形公式余项为8)复化 simpson 求积公式将区间 a ， b 划分为 n 等分，在每个子区间 xk ， xk+1 上采用 simpson 式，若记，则得(

3、9)记(10)上式( 10)为复化 simpson 求积公式，其余项可由式,(awb)(11)得,nkxk,xk+1(12)于是当 f (x) c4a , b时，与复化梯形公式相似有,na,b(13)复化 gauss-legendre i 型求积公式gauss 型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式(1)的节点=5e-8 和求积系数 ak0和 xk a , b (k=1 , 2, 3n),可使其代数精度达到最高的 2n+1 次。利用特殊区间 -1 ， 1 上 n+1 次 legendre 正交多项式的根作为节点，我们可以建 立gauss-legendre 型求积公式。

4、将区间 a , b 划分成 n 等分,分点 xk=a+kh (, k=1 , 2,3n),在每个子区间xk , xk+1 (k=1 , 2, 3 n-1 )上采用 2 点 gauss-legendre i 型求积 公式(14)在a , b区间上的复化积分公式为(15)上式( 15)称为复化 gauss-legendre i 型求积公式。于是当 f ( x) c4a ， b ，时，复化 gauss-legendre i 型求积公式的余项表达式为，(awnwb)(16)3 数值举例先考察下面等式( 17)右边定积分的近似值( 17 )分别用复化梯形公式、复化 simpson 公式和复化 gauss

5、-legendre i 型公式做运算，求出其在绝对误差限为& =5e-8 内的近似数值解。假定(18)因此， ( 19)所以， ( 20)对于复化梯形公式有(21)所以n(22)因此取步长n=1792( 23)对于复化 simpson 求积公式有( 24)所以n( 25)因此取步长n=21 ( 26)对于复化 gauss-legendre i 型求积公式有( 27)所以n( 28)因此取步长n=19 ( 29)同理也可以考察等式和 ( 30 )右端定积分的近似数值值，具体结果见表1。表 1 三种复化算法步长的事前估函数 复化梯形求积公式 复化 simpson求积公式 复化 gauss-

6、legendre i 型求积公式1792 21 192457 14 127019 24 22表 2 三种复化算法的计算结果函数 复化梯形求积公式 复化 simpson 求积公式 复化 gauss-legendre i 型求积公式表 3 三种复化算法的精度分析函数 复化梯形求积公式 复化 simpson求积公式 复化 gauss-legendre i 型求积公式在绝对误差限为 =5e-8 内，用复化梯形公式、复化simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做 出步长的事前估计，如表 1 所示。步长能够反映运算量

7、的大小，步长越大，计算量越大，很显 然复化梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更 高。表 2 记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表 3 记录了三种复化算法的近 似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在绝对误差限 =5e-8 以内，精度达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。由各算法的步长可知，复化梯形 公式、复化simpson 公式和复化 gauss-legendre i 型公式在相同精度的情况下下，其步长依 次减小，其次，其计算量也依次递减。对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的1792，所得到的精度满足要

8、求。但是如果将步长减小 1 步，即为 1791 时，结果依然满足要求，甚至将步长减少 2 步、 10 步、 100 步、500 步直到步长减小到 1081 时所得结果才不满足要求，此时的误差为，不在绝对 误差限& =5e-8 内。尝试了另外几种复化求积公式，也会出现这样的现象。此现象可以概括 为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。这种现象的出现可以作如下解释： 在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶导数的最大值来运算的，这种处理方 式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精 度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计步长。4 结论一般情况下可以采用复化梯形公式、复化 simpson