全等三角形(最全面的资料).

1、最优的讲义 圆学霸之梦 第三章 全等三角形专题二、全等三角形的判定知识点：三角形全等的条件：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”）如图：在ABC和ABC中，AB= AB，BCBC，ACAC，可以判定ABCABC。2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）如图：如图：在ABC和ABC中，AB= AB,ABC=ABC,BCBC，可以判定ABCABC。3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）如图：在ABC和ABC中，B=B，BCBC， C=C可以判定ABCABC。4. 角边角（ASA）公理推论：

2、有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA”）。如图：在ABC和ABC中，B=B， C=C，AC=AC。可以判定ABCABC。5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）如图：在RtABC和RtABC中，B=B90，AB=AB，AC=AC。可以判定ABCABC。补充：1、中30度所对的直角边等于斜边的一般。 2、斜边上的中线等于斜边的一半。典型例题：1.已知两边 例1.如图所示，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，1=2。试说明ABDACE。 变式练习：1.如图，已知AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求

3、证：ACFADE。2.如图，AC=BD，AB=DC，求证：B=C。3.如图，A、E、F、B四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD，求证：CF=DE。能力提升：1.如图所示，ABC和ADE都是等腰直角三角形，且BAC=EAD=，连接BD、CE.（1）求证：BD=CE；（2）观察图形，猜想BD和CE之间的位置关系，并证明你的结论。2. 已知如图：BE、CF是ABC中AC、AB上的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ。2.已知一边一角 例2.如图所示，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C。试说明ABFDC

4、E。 变式练习：1.已知：如图，AB=AE，1=2，B=E。求证：BC=ED。2.如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BCDF，C=F。求证：AC=EF。3.如图4，已知ABAC，ADAG，AEBG交BG的延长线于E，AFCD交CD的延长线于F。求证：AEAF 能力提升：1. 如图：已知在ABC中，BAC=90°，AB=AC。AE是过点A的直线，BDAE于点D，CEAE于点E，求证：BD=CE+DE。2. 如图所示，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足为点E、F。（1）请探索BE、DF、EF这三条线段有怎样的数量关系。

5、若P在DC的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。 3. 如图所示在ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BDAE于D点，CEAE于E点。（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图所示的位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明；（3）若直线AE绕点A旋转到如图所示位置时（BDCE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明；（4）归纳

6、前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE之间的关系。 3.已知两角 例3.如图所示，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF，试说明ACEBDF。 变式练习：1.如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，ACBD，AMCN，BMDN。求证：AMCN. 2.如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且1=2，求证：BD=CE。能力提升：如图，在ABC中，B=2C，AD是ABC的角平分线，1=C,求证AC=AB+BD。专题三、构造全等三角形1.平移（平行线）构造全等三角形ABCPQDO例1、ABC中，BAC=60°，

7、C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法” OABCPQD图（2）ABCPQDE图（3）O（2）本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO来解决如图（3），过O作DEBC交AB于D，交AC于E，则ADOAQO，ABOAEO来解决如图（4），过P作PDBQ交AB的延长线于D，则APDAPC来解决ABCPQ图（5）DOABCPQ图（4）DO如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP来解决2.翻折构造全等

8、三角形例2.如图所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC，试说明AB=BC+CD。变式练习1、如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD,过C作CEAB于E，并且,求ABC+ADC的度数。2、已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE 3、如图所示，四边形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DC=BC，试说明B+D=180°。3.旋转构造全等三角形例3.以ABC，AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF，连接DC、BF。(1)利用旋转的观点，在此题中，ADC绕着 点旋转 度可以得到 。(2)CD与BF相等吗

9、？请说明理由。(3)CD与BF互相垂直吗？请说明理由。变式练习：1、已知：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明MBCN图3AD（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由BCNM图2ADBCNM图1AD2.如图，在正方形ABCD的边BC、CD上取E、F两点，使EAF=45°，AH

10、EF于H。求证：AH=AB。4.截长补短法构造全等三角形例4.如图所示，ABC中，C=2B，1=2，试说明AB=AC+CD。变式练习：1.如图，在中，。2.如图，已知正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC 3.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN=60°，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? 4.操作：如图所示，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，以点D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN

11、、NC之间的关系，并加以证明。 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列的条件中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。AN=NC（如图1-22所示）；DMAC（如图1-22所示）。附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系，在图1-22中画出图形，并说明理由。5. 如图所示，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足为点E、F。（1）请探索BE、DF、EF这三条线段有怎样的数量

12、关系。若P在DC的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。 6.如图1，已知在ABC中，AB=AC，CG是AB上的高，D是BC上一点，且DEAB于点E，DFAC于点F。（1）求证：DE+DF=CG；（2）如图2，在ABC中，AB=AC，D是BC延长线上一点，点G在AC的延长线上，DGAC于点G，DEAB于点E，CFAB于点F。求证：.7. 如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45°，BDCD过点C作CEAB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、

13、AF求证：CF=AB+AF5.倍长中线法构造全等三角形例6. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。已知：如图1-23所示，E是BC的中点，点A在DE上，且BAE=D。求证：AB=CD。分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形的性质公理或等腰三角形的判定定理，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。因此，要证明AB=CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。先给出如下三种添辅助线的方法，如图1-24（1）（2）（3）所示，请任意选择其中一种，对原题进行证明。 （1） （2） （3）变式练习：1.如图所示，在ABC中

14、，AB=AC，D是AD上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F，你认为DF与EF之间有什么关系？你能证明吗？2. 在ABC中，D是BC中点，EDDF。试判断：BE+CF与EF的关系？3.如图所示，在ABC中，AD是BAC的角平分线，且AE=AF。若点M是BC的中点，求证：BE=CF=(AB+AC)。专题四、方程思想和转化思想的体会1.方程思想例1.在ABC中，若3A=5B，3C=2B。试判断ABC的形状。例2.在ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BAC的方向运动。设运动时间为t秒，过D、P两点的直线将ABC的

15、周长分为两个部分，使其中一个部分是另一个部分的2倍，那么t的值为多少？变式练习：1.如图所示，AB=12米，CAAB于A，BDAB于B，且AC=4米，P点从B向A运动每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，CAP和PQB全等，试说明理由。2.转化思想例2.（1）如图所示，A、E、F、C四点在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD，试说明FG=EG；（2）若将DEC沿AC方向移动变为如图所示，其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由。变式练习：1.如图所示，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形

16、ABC、DCE，连接AE、BD，分别交CD、CA于Q、P。（1）找出图中的几组全等三角形，又有那几组相等的线段？（2）取AE的中点M，BD的中点N，连接MN，试判断CMN的形状。 例3.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写

17、出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由变式练习1.（2014.齐齐哈尔）在等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）。（1） 如图1，DE与AC交于点P，求证：BD=DP。（2） 如图2，DE与CA的延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。（

18、3） 如图3，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明。中考链接：1. (2014初二联赛初赛）如图，已知ABC和DBE均为等腰直角三角形，且P、Q、M分别为AD、AC、CE的中点，BCD的平分线与CBD的平分线交于点F，过点F作FGDC于点G，ABC=DBE=90°，A、B、D三点共线。（1） 求证：AE=CD；（2） 若PQ=，求PM的值；（3） 求证：AD=CD+2FG。2、在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点

19、B（1）在图1中请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E，此时请你再测量DE、DF与CG的长度，猜想写出DE+DF与CG间的数量关系，并证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由。3（2014重庆A,第24题10分）如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN4(2014年四川资阳，第23题11分)如图，已知直线l1l2，线段AB在直线l1上，