复变函数与积分变换总复习PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换总复习复变函数与积分变换总复习二二.幂与方根幂与方根）（1, 1 , 02sin2cos. 2)sin(cos)sin(cos. 1 nknkinkrzerninrzreirznninnnni 第1页/共24页三三.解析函数解析函数xvyuyvxuRiemannCauchyyxyxvyxuyxyxivyxuzf ,),(),(),(),(),(),()(. 1方程：方程：且满足且满足处具有连续偏导数，处具有连续偏导数，在点在点与与处可导处可导在点在点函数函数xyyyyxxxivviuviuuivuzfDzfDzfyxzfyxzf )()()(),()(),()(. 2

2、且且内可导内可导在区域在区域函数函数内解析内解析在区域在区域函数函数处可导处可导在点在点函数函数处解析处解析在点在点函数函数第2页/共24页四四.初等函数初等函数 1)2(argln)(. 31)(arglnln)2(arglnln. 2)()sin(cosexp. 1 bbbkzizbbLnzbzzzxzbzzzeezzLnzLnzzizzkziziArgzzLnzeeeyiyeez且且，及及负负实实轴轴的的平平面面内内解解析析的的各各个个分分支支在在除除去去原原点点幂幂函函数数且且，及及负负实实轴轴的的平平面面内内解解析析的的各各个个分分支支在在除除去去原原点点对对数数函函数数的的主主值值

3、对对数数函函数数析析，且且在在整整个个复复平平面面上上处处处处解解指指数数函函数数记记作作 第3页/共24页zzzzzzzzzzzzzieezeezizizizizsin1csc,cos1secsincoscot,cossintansin)(cos,cos)(sin2cos,2sin. 4 且且处处处处解解析析的的周周期期函函数数，它它们们是是在在整整个个复复平平面面上上三三角角函函数数第4页/共24页五五.复变函数的积分复变函数的积分内内的的两两个个点点为为其其中中）（内内任任意意一一条条封封闭闭曲曲线线为为）（内内解解析析，则则在在单单连连通通区区域域若若函函数数DzzzfzFzFzFdz

4、zfDCdzzfDzfzzC1001,)()(),()()(2, 0)(1)(. 110 nkkCnzzfsidzzfCzzzDzf121),(Re2)(,)(. 2 简简单单闭闭曲曲线线，则则向向是是包包围围诸诸奇奇点点的的一一条条正正外外处处处处解解析析，内内除除有有限限个个孤孤立立奇奇点点在在区区域域若若函函数数第5页/共24页六六.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系内的调和函数内的调和函数为区域为区域则称则称方程：方程：偏导数并且满足偏导数并且满足内具有二价连续内具有二价连续在区域在区域若二元实变函数若二元实变函数DyxyxLaplaceDyx),(0),(. 12222

5、 内内均均为为调调和和函函数数在在区区域域与与则则内内解解析析，在在区区域域若若函函数数DyxvyxuDyxivyxuzf),(),(),(),()(. 2 积积分分法法主主要要有有偏偏积积分分法法与与不不定定的的方方法法：求求解解析析函函数数或或已已知知调调和和函函数数ivuzfyxvyxu )(),(),(. 3第6页/共24页此此方方法法称称为为不不定定积积分分法法则则若若已已知知则则若若已已知知表表示示成成表表示示成成 CdzzVdzzfzfzVivvzfyxvCdzzUdzzfzfzUiuuzfyxuxyyx)()()()()(),()2()()()()()(),()1(izzyzz

6、x2,2 第7页/共24页七七.数项级数数项级数 必发散必发散则则若若为条件收敛为条件收敛发散，则称发散，则称收敛，而收敛，而若若为绝对收敛为绝对收敛收敛，则称收敛，则称若若都收敛都收敛与与收敛收敛收敛于收敛于复数列复数列 111111111, 0lim. 5. 4. 3. 2lim,lim. 1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabbaaibaiba 第8页/共24页八八.幂级数幂级数级数必发散。级数必发散。的的则对满足则对满足级数发散，级数发散，级数必绝对收敛，若在级数必绝对收敛，若在，的的收敛，则对满足收敛，则对满足在在若级数若级数,)0(. 100000zzzzz

7、zzzzzzcnnn nnnnnnnnncRccRzc1limlim)1(.210 根根值值法法：比比值值法法：收收敛敛半半径径的的求求法法收收敛敛半半径径与与收收敛敛圆圆第9页/共24页RzzzzcRzzcnnnnnn 0000)()2(的的收收敛敛圆圆为为的的收收敛敛圆圆为为以以逐逐项项求求导导与与逐逐项项求求积积是是个个解解析析函函数数，而而且且可可在在收收敛敛圆圆内内不不仅仅的的和和函函数数幂幂级级数数)()(. 300zfzzcnnn 奇奇点点的的最最短短距距离离的的所所有有到到是是其其中中级级数数，即即一一定定可可以以展展开开成成内内在在处处解解析析，则则在在若若函函数数级级数数)

8、(, 2 , 1 , 0),(!1)()()()()1(. 400)(0000zfzRnzfnczzczfTaylorRzzzfzzfTaylornnnnn 第10页/共24页质质来来展展开开再再利利用用幂幂级级数数的的运运算算性性级级数数展展开开式式，函函数数的的间间接接展展开开法法：利利用用已已知知级级数数的的方方法法函函数数展展开开成成TaylorTaylor)2()1(1,111,)!2()1(!41!211cos,)!12()1(!51!31sin,!1!31!211032024201253032 zRzzzzzRnzzzzRnzzzzzRznzzzeTaylornnnnnnnnnn

9、z级级数数展展开开式式：已已知知函函数数的的第11页/共24页曲曲线线的的任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭为为在在圆圆环环域域内内绕绕其其中中级级数数展展开开式式则则内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域若若级级数数0100201), 2, 1, 0( ,)()(21)()()()1(. 5zCndzficLaurentzzczfRzzRzfLaurentCnnnnn 级级数数不不同同的的可可以以展展开开成成函函数数在在不不同同的的圆圆环环域域内内展展开开法法级级数数的的展展开开方方法法：间间接接LaurentLaurent)3(求求积积且且可可以以逐逐项项求求导导和和逐逐项项内内解解析析

10、，级级数数的的和和函函数数在在圆圆环环域域Laurent)2(第12页/共24页九九.留数留数多负幂项多负幂项级数展开式中含有无穷级数展开式中含有无穷本性奇点：本性奇点：项负幂项项负幂项级数展开式中含有级数展开式中含有级极点：级极点：项项级数展开式中不含负幂级数展开式中不含负幂可去奇点：可去奇点：孤立奇点的分类孤立奇点的分类LaurentmLaurentmLaurent)3()2()1(. 1级级零零点点的的是是级级极极点点的的是是mzfzmzfz)(1)(. 200 的的系系数数级级数数中中负负幂幂项项心心的的圆圆环环域域内内的的为为中中在在以以孤孤立立奇奇点点是是其其中中留留数数10101

11、10)()(,),(Re. 3 zzcLaurentzzfcczzfs 0)()lim(),(Re)()1(. 4000zzzfzzzzfszfz 的的一一级级极极点点，则则为为若若留留数数的的计计算算规规则则：第13页/共24页 )()()(lim)!1(1)()(lim)!1(1),(Re)()2(0110110000mnzfzzdzdnzfzzdzdmzzfsmzfznnnzzmmmzz 级极点，则级极点，则的的为为若若 )()(),(Re)(, 0)()(),(,)()()()3(000000zQzPzzfszfzzPzzQzPzQzPzf 的一级极点，则的一级极点，则为为若若处都解析

12、，且处都解析，且在在设设 nkkCnzzfsidzzfCzzzDzf121),(Re2)(,)(. 5 简简单单闭闭曲曲线线，则则向向是是包包围围诸诸奇奇点点的的一一条条正正外外处处处处解解析析，内内除除有有限限个个孤孤立立奇奇点点在在区区域域若若函函数数第14页/共24页 deFFtfdtetftfFFouriertjtj)(21)()()()()(. 1变换的定义：变换的定义：积分变换复习重点积分变换复习重点一一.Fourier变换变换 -1-1的的象象原原函函数数称称为为的的象象函函数数，称称为为)()()()( FtftfF第15页/共24页变换对变换对常用的函数的常用的函数的变换的计

13、算：变换的计算：FourierFourier)1(. 20t0( ) (0)t0tf te 221 jj 1t 0tt0jte u t1( )j )(21)(200tje)()(sin000 jt)()(cos000t第16页/共24页 aFaaatfftFFjttfFddjtftFjtfFetfFttfFFtftftnnnnnntjt |1)0()(:)(2)(:)(1d)(:)()()()()(:)()(e)()(:)()()()(:)(0j0212100相相似似对对称称积积分分微微分分位位移移线线性性变换的常用性质变换的常用性质Fourier)2(第17页/共24页)()()(),0()

14、()()3()()(, )()()2()()()1(. 300 tfdttfttfdttftttudtdtudttt 函数的性质函数的性质 )()()()()2()()()()()1(. 421212121 FFtftfdtfftftf 卷卷积积与与卷卷积积定定理理 第18页/共24页二二.Laplace变换变换 的象原函数的象原函数称为称为的象函数，的象函数，称为称为是一个复参量）是一个复参量）变换的定义变换的定义)()()()()()()(. 10sFtftfsFsdtetftfsFLaplacest TstsTdtetfetfsFTtf0)(11)()()(. 2则则为为周周期期的的周周

15、期期函函数数，是是以以若若 第19页/共24页变换对变换对常用函数的常用函数的变换的计算变换的计算LaplaceLaplace)1(:. 3( )1t ( )( )nnts1( )u ts1ktesks111!nnnts22sinkktsk22cossktsk第20页/共24页变换的常用性质变换的常用性质Laplace)2( stnnnnnnnnnatstdssFttfsFsttfsFdsdtftffsfssFstfasFtfesFettfsFsFtftf)()()(1d)(:)()1()()0()0()0()()(:)()()()(:)()()()(:)1(21)(021210积积分分微微分分位位移移线线性性 第21页/共24页留数法留数法部分分式法部分分式法逆变换的性质逆变换的性质变换对与变换对与利用常用函数的利用常用函数的逆变换的计算逆变换的计算)3()2()1(. 3LaplaceLaplaceLaplace )()()()(