二次函数中以三角形为主的中考压轴题(等腰三角形、直角三角形、相似三角形)问题解析精选.

1、二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选【例 1】（ 2013?抚顺）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A 、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E、 F 为顶点的三角形面积为3，求点 F 的坐标；（ 3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角

2、三角形？直接写出所有符合条件的t值考点 ：二次函数综合题分析：（ 1）先由直线AB 的解析式为y=x+3 ，求出它与x 轴的交点 A 、与 y 轴的交点B 的坐标，再将 A 、 B 两点的坐标代入 y= x2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（ 2）设第三象限内的点 F 的坐标为（ m， m22m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点 G，连接 FG，根据S AEF=SAEG+SAFG SEFG=3 ，列出关于 m 的方程，解方程求出m 的值， 进而得出点 F 的坐标；BC2（ 3）设 P 点坐标为（ 1， n）先由 B、 C

3、 两点坐标，运用勾股定理求出=10 ，再分三种情况进行讨论： PBC=90 °，先由勾股定理得出 PB222+BC =PC ，据此列出关于 n 的方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程 ÷速度，即可求出此时对应的 t 值； BPC=90 °，同 可求出对应的 t 值； BCP=90 °，同 可求出对应的 t 值解答：解：（1） y=x+3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，当 y=0 时， x= 3，即 A 点坐标为（3， 0），当 x=0 时， y=3，即 B 点坐标为（0， 3），将 A （ 3， 0）， B（

4、 0， 3）代入y= x2+bx+c ，得，解得，抛物线的解析式为y= x2 2x+3；（ 2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为 （m，m2 2m+3 ），则 m 0， m2 2m+3 02 2x+3=2 y= x（ x+1） +4 ，对称轴为直线 x= 1，顶点 D 的坐标为（ 1， 4），设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（ 1， 0）， AG=2 直线 AB 的解析式为 y=x+3 ，当 x= 1 时， y= 1+3=2， E 点坐 标为（ 1， 2） S AEF=S AEG+SAFG S EFG=22，×2×2+ ×2

5、5;（ m +2m 3）×2（× 1 m）=m +3m以 A 、 E、 F 为顶点的三角形面积为3 时， m2+3m=3，解得 m1 =， m2=（舍去），当 m=时， m2 2m+3= m2 3m+m+3= 3+m+3=m=，点 F 的坐标为（，）；（ 3）设 P 点坐标为（ 1， n） B（ 0，3）， C（1， 0），222 BC =1 +3 =10 分三种情况： 如图2222，如果 PBC=90 °，那么 PB +BC=PC ，即（ 0+1）2222+（n 3） +10= （ 1+1） +（ n0） ，化简整理得6n=16，解得 n= ，P 点坐标为（1，

6、），顶点 D 的坐标为（1， 4），PD=4 = ，点 P 的速度为每秒1 个单位长度， t1= ；222 如图 3，如果 BPC=90 °，那么 PB +PC =BC ，2222即（ 0+1 ） +（n 3） +（1+1） +（n 0） =10，2化简整理得n 3n+2=0 ，解得 n=2 或 1，顶点 D 的坐标为（1， 4）， PD=4 2=2 或 PD=4 1=3 ，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度， t2=2， t3= 3；222 如图 4，如果 BCP=90 °，那么 BC +PC =PB ，2222即 10+（ 1+1）+（ n 0） =（ 0+1）+（

7、n 3） ，化简整理得6n= 4，解得 n= ，P 点坐标为（1，），顶点 D 的坐标为（1， 4）， PD=4+ = ，点 P 的速度为每秒1 个单位长度， t4= ；综上可知，当t 为秒或 2 秒或 3 秒或秒时，以P、 B、 C 为顶点的三角形是直角三角形点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强， 难度适中（2）中将 AEF 的面积表示成SAEG+SAFG S EFG，是解题的关键； （ 3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角

8、顶点，进行分类讨论是解题的关键【例 2】+x 4 与 x 轴相交于点 A 、 B，与 y 轴相（ 2013?大连）如图，抛物线 y= x2交于点 C，抛物线的对称轴与x 轴相交于点 M P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点 （点 P、M 、C 不在同一条直线上） 分别过点 A 、 B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、 E，连接点 MD 、ME （ 1）求点 A ， B 的坐标（直接写出结果） ，并证明 MDE 是等腰三角形；（ 2） MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（ 3）若将 “P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P、M 、C 不在同一条直线

9、上）”改为 “P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点”，其他条件不变， MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由考点 ：二次函数综合题分析：（ 1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点 B 的坐标；如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMF BME ，得到点 M 为为 RtEDF斜边 EF 的中点，从而得到MD=ME ，问题得证；（ 2）首先分析，若 MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M 如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴交于点N ，首先证明 ADM NEM ，得到 MN=AM ，从而求得点 N 坐标为（

10、 3， 2）；其次利用点N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点P 的坐标（ 3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同解答：解：（1）抛物线解析式为y= 2x + x 4，令 y=0 ，2x4=0 ，解得 x=1 或 x=5， A （ 1， 0）， B （5， 0）即 x +如答图 1 所示，分别延长AD 与 EM ，交于点 F AD PC， BE PC， AD BE， MAF= MBE 在 AMF 与 BME 中， AMF BME （ ASA ）， ME=MF ，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，

11、MD=ME ，即 MDE 是等腰三角形（ 2）答：能抛物线解析式为 y= x2+x 4= （ x 3）2+，对称轴是直线 x=3 ， M（ 3， 0）；令 x=0，得 y= 4， C（ 0， 4） MDE 为等腰直角三角形，有3 种可能的情形： 若 DEEM，由 DE BE ，可知点 E、 M 、 B 在一条直线上，而点 B、 M 在 x 轴上，因此点E 必然在 x 轴上，由 DE BE ，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在； 若 DE DM ，与 同理可知，此种情况不存在； 若 EM DM ，如答图2 所示：设直线 PC 与对称轴交于点

12、N ， EM DM ， MN AM ， EMN= DMA 在 ADM 与 NEM 中， ADM NEM （ASA ）， MN=MA 抛物线解析式为y= x2+x 4=（ x 3）2 +，故对称轴是直线x=3， M （ 3， 0）， MN=MA=2 ， N（ 3，2）设直线 PC 解析式为y=kx+b ，点 N（ 3， 2）， C（ 0， 4）在抛物线上，解得k=2 ， b=4， y=2x 4将 y=2x 4 代入抛物线解析式得：2x 4=x2+x 4，解得： x=0 或 x=，当 x=0 时，交点为点C；当 x=时， y=2x 4=3 P（， 3）综上所述， MDE 能成为等腰直角三角形，此时

13、点P 坐标为（， 3）（ 3）答：能如答题 3 所示，设对称轴与直线PC 交于点 N与（ 2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M MD ME ， MA MN ， DMN= EMB 在 DMN 与 EMB 中， DMN EMB （ ASA ）， MN=MB N（ 3， 2）设直线 PC 解析式为y=kx+b ，点 N（ 3， 2）， C（ 0， 4）在抛物线上，解得 k=， b= 4， y=x 4将 y= x 4 代入抛物线解析式得：x 4=2x 4，x+解得： x=0 或 x=，当 x=0 时，交点为点C；当 x=时， y= x 4=P（，）综上所述， MDE能成为等腰直

14、角三角形，此时点P 坐标为（，）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大第（2）（ 3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证【例 3】（ 2013 凉山州）如图，抛物线y=ax2 2ax+c（ a0）交 x 轴于 A 、B 两点， A 点坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于点 C（0， 4），以 OC、 OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O、A两点）上平行移动，分别交x 轴于点E，交CD

15、于点 F，交 AC 于点 M ，交抛物线于点P，若点 M 的横坐标为m，请用含 m 的代数式表示PM 的长；（ 3）在（ 2）的条件下， 连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和 AEM 相似？若存在， 求出此时m 的值，并直接判断 PCM 的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将 A （ 3， 0）， C（0， 4）代入 y=ax2 2ax+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（ 2）先根据 A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点 M 的坐标

16、，即可得到PM 的长；（ 3）由于 PFC 和 AEM 都是直角， F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论： PFC AEM ， CFP AEM ；可分别用含m 的代数式表示出 AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状解答：解：（ 1）抛物线 y=ax 2 2ax+c（ a0）经过点 A （ 3， 0），点 C（ 0， 4），解得，2抛物线的解析式为y= x +x+4 ； A （ 3， 0），点 C（ 0， 4），解得，直线

17、AC 的解析式为 y= x+4点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上， M 点的坐标为（ m，m+4 ），点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y= x2+x+4 上，点 P 的坐标为（ m，m2+ m+4）， PM=PE ME= （ m2） =2，+ m+4）（ m+4m +4m即 PM= m2+4m（ 0m 3）；（ 3）在（ 2）的条件下，连结PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和 AEM相似理由如下： 由题意， 可得 AE=3 m，EM= m+4，CF=m ，PF=22m + m+4 4= m + m若以 P、 C、 F 为顶点的

18、三角形和 AEM 相似，分两种情况： 若 PFC AEM ，则 PF：AE=FC ： EM ，即（2m + m）：（ 3 m） =m：（ m+4）， m0 且 m3， m= PFC AEM ， PCF= AME ， AME= CMF ， PCF=CMF 在直角 CMF 中， CMF+ MCF=90 °， PCF+MCF=90 °，即 PCM=90 °， PCM 为直角三角形； 若 CFP AEM ，则 CF： AE=PF ： EM ，2即 m：（ 3 m） =（m +m）：（m+4）， m0 且 m3， m=1 CFP AEM ， CPF= AME ， AME=

19、CMF ， CPF= CMF CP=CM ， PCM 为等腰三角形综上所述，存在这样的点P 使 PFC 与 AEM 相似此时m 的值为或 1， PCM 为直角三角形或等腰三角形点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解【例 4】O 是原点，矩形OABC 的顶点 A（ 2013?本溪）如图，在平面直角坐标系中，点在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在 y 的正半轴上，点 B 的坐标是（ 5， 3），抛物线 y= x2+

20、bx+c 经过 A 、 C 两点，与 x 轴的另一个交点是点D，连接 BD （ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 M 是抛物线对称轴上的一点，以M 、 B、D 为顶点的三角形的面积是6，求点 M 的坐标；（ 3）点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BA D 匀速运动，当点P 到达点 B 时， P、Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以D、 P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值考二次函数综合题点：分（ 1）求出点 A 、 C 的坐标，利用待定系数法求出

21、抛物线的解析式；析：（ 2）如答图 1 所示，关键是求出MG 的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M 有 2 个，不要漏解；（ 3） DPQ 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论： 若 PD=PQ ，如答图 2 所示； 若 PD=DQ ，如答图 3 所示； 若 PQ=DQ ，如答图 4 所示解 解：（1）矩形 ABCD ，B（ 5， 3），答： A （ 5，0）， C（ 0， 3）点 A （ 5， 0）， C（ 0， 3）在抛物线y=x2+bx+c 上，解得： b=， c=3抛物线的解析式为： y= x2x+3 （ 2）如答图 1 所示， y= x2x+3= （ x3） 2，抛物

22、线的对称轴为直线x=3 如答图 1 所示，设对称轴与BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H ，则 H （3， 0）令 y=0，即x2x+3=0 ，解得 x=1 或 x=5 D（ 1，0）， DH=2 ， AH=2 ， AD=4 tan ADB=， GH=DH ?tan ADB=2 × =，G（3，） SMBD =6，即 S MDG+SMBG =6，MG ?DH+MG?AH=6 ，即：MG ×2+MG ×2=6 ，解得： MG=3 点 M 的坐标为（ 3，）或（ 3，）（ 3）在 Rt ABD 中， AB=3 ， AD=4 ，则 BD=5 ， sinB=， cosB

23、=以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： 若 PD=PQ ，如答图 2 所示：此时有 PD=PQ=BQ=t ，过点 Q 作 QE BD 于点 E，则 BE=PE ， BE=BQ ?cosB=t， QE=BQ ?sinB=t， DE=t+t= t由勾股定理得： DQ22222，=DE +QE =AD+AQ2222，即（ t） +（ t） =4 +（3 t）2整理得： 11t +6t 25=0 ，解得： t=或 t= 5（舍去）， t=； 若 PD=DQ ，如答图3 所示：此时 PD=t ，DQ=AB+AD t=7 t ， t=7 t， t= ； 若 PQ=DQ ，如答图4 所示：

24、PD=t ， BP=5 t； DQ=7 t， PQ=7 t，AQ=4 （ 7 t）=t 3过点 P 作 PF AB 于点 F，则 PF=PB?sinB=（5 t）× =4t，BF=PB ?cosB=（ 5 t）× =3 t AF=AB BF=3 （ 3 t） = t过点 P 作 PE AD 于点 E，则 PEAF 为矩形，PE=AF=t， AE=PF=4 t， EQ=AQ AE= （ t 3）（ 4t） =t 7在 Rt PQE 中，由勾股定理得：222EQ +PE =PQ ，222即：（t 7） +（t） =（ 7 t） ，2解得： t=0 （舍去）或t= t= 综上所述

25、，当 t=， t= 或 t=时，以 D、 P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直评：角三角形、勾股定理等知识点分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2）（ 3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算【例 5】（ 2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A （ 1， 0），B（ 0，3）两点，对称轴是x= 1（ 1）求抛物线对应的函数关系式；（ 2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点

26、Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形； AON 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析：（ 1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2） 当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ ，据此列一元二次方程求解； AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：2y=a（ x+1） +k ，点 A （ 1， 0）， B（ 0， 3）在抛物线上，解得： a= 1，k=4 ，抛物线的解析式为：

27、2y=（ x+1） +4 （ 2） 四边形OMPQ 为矩形， OM=PQ ，即 3t= （ t+1） 2+4，2整理得： t +5t 3=0 ，解得t=，由于t= 0，故舍去，当t=秒时，四边形OMPQ为矩形； RtAOB 中， OA=1 ，OB=3 ， tanA=3 若 AON 为等腰三角形，有三种情况：（I）若ON=AN，如答图1 所示：过点N 作 NDOA于点D，则D 为OA中点， OD=OA=， t=；（ II ）若 ON=OA ，如答图2 所示：过点 N 作 ND OA 于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ?tanA=3x ， OD=OA AD=1 x，在 Rt NOD 中，由

28、勾股定理得： OD2+ND 2=ON 2，222， x2 =0（舍去），即（ 1 x） +（3x） =1，解得 x1= x= ，OD=1 x= ， t= ；（ III ）若 OA=AN ，如答图 3 所示：过点 N 作 ND OA 于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ?tanA=3x ，在 Rt AND 中，由勾股定理得：ND 2+AD2=AN2，222，解得 x1=， x2=（舍去），即（ x） +（ 3x） =1 OD=1 x=1 ， t=1 综上所述，当t 为秒、秒，（ 1）秒时， AON 为等腰三角形点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直

29、角三角形、矩形性质、 等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强， 有一定的难度 第（ 2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算【例 6】ykx22x3已知函数2 （ k 是常数）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；若点M1, k在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数ykx22x32 都是 y 随 x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；设抛物线ykx22x3 与 x 轴交于 A x1 ,0, Bx2 ,0两点，且 x1x2， x12x221 ，在 y 轴上，是否存在点2P，使 ABP是直角三角形？若存在，求出点P 及

30、ABP的面积；若不存在，请说明理由。解析 ：解： (1) 当 k0 时，函数 y2x3x 轴只有一个交点2 分的图像与323当 k0时，若函数 ykx22x的图像与 x 轴只有一个交点，则方程kx22x022有两个相等的实数根，所以( 2)24k30，即 k2.23综上所述，若函数的图像与x 轴只有一个交点，则k 的值为0 或 2 .4分m ，3（ 2）设反比例函数为ymxk则 kk . 所以，反比例函数为y，即 mx1要使该反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大，则k 0 . .5分二 次 函 数 y kx22x3k( x1) 21 3的 对 称 轴 为 x1，要使二次函数2kk

31、2ky kx22x3是 y 随着 x 的增大而增大，在k0 的情况下， x 必须在对称轴的左边，即2x1 时，才能使得y 随着 x 的增大而增大 . .6分ky 随着 x 的增大而增大，综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是k0 且 x1.7分k(3) 抛物线 ykx 22x3 与 x 轴有两个交点，一元二次方程方程kx 22x30 的判3222别式( 2)24k0, 即 k23xx22 ,1k又 x1x23 , k 23k 4 0 ，2kx12x221.k4或k 1.又k2，3k4 . .8分在 y 轴上，设 P(0, b) 是满足条件的点，则(b2x12 )(b2x22 ) ( x2x1

32、 )2 ， b2x1 x2 ， b6. b64.4(x2x1 ) 22b2x1 2x222317 . x2x17 .9842分 SRt ABP1 ( x2x1 )b17642.222416在 y 轴上，存在点P1(0,6 ), P2 (0,6),使ABP 是直角三角形，ABP 的面积为4442 10 分16【例 7】（ 2013?张家界）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （ a0）的图象过点C（ 0， 1），顶点为Q（2， 3），点 D 在 x 轴正半轴上，且OD=OC （ 1）求直线 CD 的解析式；（ 2）求抛物线的解析式；（ 3）将直线CD 绕点 C 逆时针方向旋转45°所得

33、直线与抛物线相交于另一点E，求证： CEQ CDO ；（ 4）在（ 3）的条件下，若点P 是线段 QE 上的动点，点F 是线段 OD 上的动点，问：在P点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题分析：（ 1）利用待定系数法求出直线解析式；（ 2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 3）关键是证明 CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形；（ 4）如答图 所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长

34、最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时 PCF 的周长最小如答图 所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即 PCF 周长的最小值解答：解：（1） C（ 0， 1）， OD=OC ， D 点坐标为（ 1， 0）设直线 CD 的解析式为y=kx+b （ k0），将 C（ 0，1）， D（ 1， 0）代入得：，解得： b=1 ， k= 1，直线 CD 的解析式为：y= x+1 2（ 2）设抛物线的解析式为y=a（x 2） +3，将 C（ 0，1）代入得： 1=a×（ 2）2，解得 a=+3 y=（ x 2） 2+3=

35、x2+2x+1 （ 3）证明：由题意可知，ECD=45 °， OC=OD ，且 OCOD ， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45 °， ECD= ODC ， CE x 轴，则点 C、 E 关于对称轴（直线x=2）对称，点 E 的坐标为（ 4，1）如答图 所示，设对称轴（直线x=2）与 CE 交于点 F，则 F（ 2， 1）， ME=CM=QM=2， QME 与 QMC 均为等腰直角三角形，QEC= QCE=45 °又 OCD 为等腰直角三角形，ODC= OCD=45 °， QEC= QCE= ODC= OCD=45 °， CEQ CDO （ 4）存在如答图 所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段CC的长度（证明如下： 不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接 FC， FP， PC由轴对称的性质可知，PCF的周长 =FC+F P+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知： FC+FP+PCC