九年级数学一元二次方程(带答案)

1、第二章一元二次方程第 1 讲 一元二次方程概念及解法【知识要点 】一 . 知识结构网络直接开平方法配方法解公式法一因式分解法元法分式方程的解法二二元二次方程组的解法次方性判别式程质根与系数的关系应二次三项式的因式分解用列方程或方程组解应用题二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1.直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x 2b b0或xa2b 的形式的方程求解。当b0 时，可两边开平方求得方程的解；当b0 时，方程无实数根。2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；

2、（ 3）令每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （ 1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（ 3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为( xm)2n 的形式（ 5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（ 1）将方程化为一般形式 ax 2bx c0 ，确定 a、 b、 c 的值；（2）计算b 24ac 的 值 并 判 别其 符 号 ；（ 3 ） 若 b24ac 0 ， 则 利用 公 式 xb b 24ac 求

3、 方程 的 解 ，若2ab 24ac 0 ，则方程无实数解。【典型例题】（ 1） 6x 27x30 （用因式分解法）解： ( 3x1)( 2x3)0 3x10或2x30 x 11 ， x 2332（ 2） 3x 24x1（用公式法）解： 3x 24x10( 4)24×3×( 1)28 0 x(4)± 282 ±72 × 33 x 127， x27323（3） 2x 22x30 0 （用配方法）解： x 22x152x 22 x (2) 215 (2 )2244( x2 )21 2 148 x2± 11244 x13 2，x 2522【

4、经典练习】一、直接开方法（ 1） ( x1)2(12x)2（ 2） ( xa) 2 b二、配方法注：（1） 2x22x30 0（ 2） 3x24x 1二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x22x20 ；解：( 2)2 y28 y10 ；解：(3)2x23x10 ；8解：(4)3y 22 y1；解：(5) 2x25x10；解：(6) x225x30 ；解：( 7)3x24 x50 ；解： (7) 方程无实数根；(8) 2 x24 3x 2 2 0 ；解：(9) 0.02 x 20.03x0.35 ；解： (9) 先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，(10)(123)

5、 xx 23(13)解：。三、因式分解1. 用因式分解法解下列各方程：（ 1） x2 5x24 0；解：；（ 2） 12x2 x 6 0；解：；（ 3） x2 4x165 0解：；（ 4） 2x2 23x 56 0；解： ( 2x7)( x8)0， x 17 ， x 28 ；2（5）9224164 12；xxx解：（ 6）333 3x)2；( x)(解：（ 7） x2( 32 ) x6 0解：；（ 8） ( x 2) 25x 106 ；解：(x 2)2 5(x 2) 6 0，(x 2 2)(x 23) 0， x1 4，x25；（ 9） t(t 3) 28；解： （ 9） t2 3t 28 0，

6、 (t7)(t 4) 0， t1 7，t2 4；（ 10） (x 1)(x 3)15。解： x2 4x 315， (x 6)(x 2) 0，x1 6， x222. 用因式分解法解下列方程：（ 1） (y 1)2 2y(y 1) 0；解：；（ 2） (3x 2)2 4(x 3) 2；解： ( 3x2)2( x 3)(3x2)2( x3)0( 5x4)( x8)0， x 148， x 25（ 3） 9(2x 3)2 4(2x 5) 20；解： 3(2x 3) 2(2x 5)3(2x 3) 2(2x 5) 0，( 101)( 2x19)0，x 11，x 219x102（ 4） (2y 1)2 3(2

7、y 1) 2 0。解： (2y 1) 1(2y 1) 2 0，三、综合练习1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（B ）A. 7x 2 x 1 0B. 9x 2 4(3x 1)C. x27 x 15 0D.3 x22 x 1 0222. 若 a， b， c 互不相等，则方程(a2 b c2)x2 2(a b c)x 3 0（ C）A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.没有实数根D. 根的情况不确定解析 :因为 4(ab c)2 12(a2 b2 c2) 4( 2a22b2 2c2 2ab2ac 2bc)222 4(a b) (b c) (c a) 03. 若方程 m2 x 2

8、(2m3)x10的两个实根的倒数和是S，求： S 的取值范围。分析： 本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0 ，求出 m 的取值范围，再用S 的代数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出S 的取值范围。解： 设方程的两个实根为x， x ，则 x1x22m3 ， xx112m212m2方程有两个实根( 2m 3) 24m20，且 m2 0 m3 且 m 04x 1x2m3 S11m22m3x 1x 2x 1x 21m2S3 m2 S 33 且 S3 0242 S33 。且 S 24. 已知关于 x 的方程 x2 (2m 1)x (m 2)2 0。 m 取什么值时，（ 1）方程有两个不相等的实数根？（ 2）方程有两个相等的实数根？（ 3）方程没有实数根？解析 : (2m 1)2 4(m 2)2 5(4m 3)。（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，原方程没有实数根。5.