大学微积分公式大全整理

1、有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）、limxnn 1a0xa1xLanbmbo0（系数不为0的情况）二、重要公式（1） limsinx limarccot x 0x11(2) lim 1 xx 0(5) limarctan x 一x2(8) lim arccot x x(3) lim n/a(a o) 1 n(6) lim arctanx 一x2x(9) lim e 0x(10) lim exx(11) lim xx 1x 0三、下列常用等价无穷小关系（x 0）arctanx : x 1 cosx : - x2 2sinx : x tanx: x arcsinx : x xxln

2、 1 x : x e 1: x a 1 : x ln a四、导数的四则运算法则u v u vuv五、基本导数公式c 0x x(4) cosx sin x tanxu u v uvu v uv-2-v v sin x cosx22sec x (6) cot x csc x secx secx tan x cscx cscx cot xx xe ev1 logax ln axx -(io) a a ln a (n) ln x 一 x1(13) arcsin x ,(W arccosx1 x2(15) arctan x11 x2(16) arccot x1 x 1 (18) Vx 1x212% xn

3、(2) cu xn cu六、高阶导数的运算法则n n n1）uxvx u x v x(3) u ax bn n.a u ax b(4)七、基本初等函数的阶导数公式(1)n!(2)ax b e(4)sinax_ n _ .a sinaxcos axna cos ax(6)lnMd(15) dk n kcnuk 0(k) x vax bnax bax b ex na ln(nan n!1nax bn1 a n 1 !nax b微分公式与微分运算法则cosx1dxsin xcosxdxsin xdx dsecx secx tanxdxxx Ie e dx(io) dtanxse(2 xdx(6) d

4、cotxcsc xdxcscxcscxcot xdxln adx(ii) dln x1 dxxlog ax- dxxln a(13) d arcsin x1,、, dx (14)d1 x2arccosx一1dx1 x2arctanx1 dx1 x2(16) darccotx九、微分运算法则 d u v du dvcucdu d uv vdu udvvdu十、基本积分公式 kdx kx cx dxudv2 vdx . ln x1xx，、x .a，一、y .y，小. a dx c e dx e c cosxdx sin x cIn a，一 ，12., sin xdx cosx c2dxsec xd

5、x tanx ccos xc12,an1, csc xdx cotx c(io) 2 dx arctanx csin2x1 x21(11) .“ dx arcsin x cJ1 x2广、下列常用凑微分公式积分型换兀公式，1，fax b dx-fax b dax bau ax br1.1rAf x x dx - f x d xu x一1 .一 ，f In x -dxf In x d In xxu In xXX工xxfe e dx f e d exu e1x _x _x1£ _x _xfa a dxf a d aIn axu af sin x cosxdx f sin x d sin x

6、u sin xf cosx sin xdxf cosx d cosxu cosx2f tanx sec xdx f tanx d tanxu tanx2f cotx csc xdx f cotx d cotxu cotx，1.，f arctan x2 dx f arcta n x d arcta n x1 xu arctanx，.1，f arcsin x jdx f arcsin x d arcsin x1u arcsinxH卜二、补允卜面几个积分公式tan xdx ln cosx ccot xdx In sin x csecxdx Insecx tanxccscxdx Incscx cot

7、x c11x2 dx - arctan - c a x a adx-in x2 a2 2a1-22a xdx一一 xarcsin 一 a一 dx in x Jx2 a2 c vxv十三、分部积分法公式形如 xneaxdx，令 u xn, dv eaxdx形如 xn sin xdx令 u xn, dv sinxdx形如 xn cosxdx 令 u xn, dv cosxdx形如xn arctanxdx ,令 uarctanx, dv xndx形如 xn in xdx,令 u In x , dv xndx形如 eaxsin xdx,eax cosxdx令 u eax,sin x,cos x均可。十

8、四、第二换元积分法中的三角换元公式（1） , a2 x2 x asint（2）、a2 x2 x atant（3） x2 a2 x asect【特殊角的三角函数值】(1) sin0 0 sin 61 (3) sin-屿 232(4) sin 1) 2(5) sin 0(1) cos0 1 cos (3) cos 623-(4) cos 0)22(5) cos(1) tan0 0(2) tan 63(3) tan 33 (4) tan 不存在(5) tan(1) cot0不存在 (2) cot 336(3) cot- (4) cot 0 (5) cot 不存332卜五、三角函数公式1.两角和公式s

9、in(A B) sin AcosB cos Asin Bsin( A B) sin AcosB cos Asin Bcos(A B) cos A cos B sin Asin Bcos(A B) cos A cos B sin Asin Btan(A B)cot(A B)tan A tanB1 tan Atan B cot A cot B 1cot B cot Atan(A B)cot(A B)tan A tanB1 tan AtanBcot A cotB 1cot B cot A2 .二倍角公式sin2A 2sin AcosAcos2Acos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos

10、2 A 1tan2A2 tan A21 tan A3 .半角公式,A 1 cos A sin ：2.2A 1 cosAcos .，2，2A 1 cos A sin A tan 21 cosA 1 cos AA 1 cos A sin A cot-2 I 1 cos A 1 cos A4 .和差化积公式a b _ a bsin a sinb 2sin cos22a b a bcosa cosb 2cos cos22a b a bsina sinb 2cos sin 22cosa cosba b ._a b2sin sin22sin a btana tanb cosa cosb5 .积化和差公式s

11、inasinb cos a b cos a b 2,1 .,.,sin acosb - sin a b sin a b2cosacosbcosasin b1 cos a21.sin a2cos a bsin a b6.万能公式 a 2tan . _2sin a J2 a1 tan 一 22 aa1 tan2tan-2.2cosa 区 tanaJ2 a2 a1 tan -1 tan 一227.平方关系.22/sin x cos x 12,2,sec x ta n x 12,2/csc x cot x 18 .倒数关系tanx cotx 19 .商数关系sin xtanx cosxsecx cos

12、x 1cosxcotx sin xcscx sin x 1f1 x g1y dx f2 x g2 ydy 0十六、几种常见的微分方程1 .可分离变量的微分方程：f x g y , dx2 .齐次微分方程：dy f y dx x3 .一阶线性非齐次微分方程 dy p x y Q x 解为: dxp x dxy ep x dxQ x e dx c三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan

13、(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tanA2 A)Sin2A=2SinA?CosACos2A = CosA2 A-SinA2 A=2CosA2 A 1=1 2sinA2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)A3; cos3A = 4(cosA43 -3cosAtan3a = tan a ? ta

14、n( 兀 /3+a)? tan(兀 /3-a)半角公式sin(A/2) =，(1 -cosA)/2 cos(A/2) =，(1+cosA)/2tan(A/2) =V(1 -cosA)/(1+cosA) cot(A/2)=，(1+cosA)/(1-cosA)tan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2sin(a)-sin(b)2cos(a+b)/2sin(a-b)/2cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2cos(a)-cos(b)-2sin(a+b)/2s

15、in(a-b)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB积化和差sin(a)sin(b)= -1/2*cos(a+b)-cos(a-b) cos(a)cos(b)= 1/2*cos(a+b)+cos(a-b)sin(a)cos(b)= 1/2*sin(a+b)+sin(a-b)cos(a)sin(b)= 1/2*sin(a+b)-sin(a-b)诱导公式sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a)sin(兀 /2 -a) = cos(a)cos(兀 /2-a) = sin(a)sin(兀 /2+a) = cos(a) cos(兀 /2+a) = -sin

16、(a)sin(兀-a) = sin(a) cos(兀-a) = -cos(a)sin(兀 +a) = -sin(a)cos(兀 +a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA 万能公式sin(a) = 2tan(a/2)/ 1+tan(a/2)A2cos(a) = 1-tan(a/2)A2/1+tan(a/2)A2tan(a) = 2tan(a/2)/1-tan(a/2)A2其它公式a?sin(a)+b?cos(a) = V (aA2+bA2)*sin(a+c)其中，tan(c尸b/aa?sin(a)- b?cos(a) = V(aA2+bA2)*cos(a -c) 其中

17、，tan(c尸a/b1+sin(a) = sin(a/2)+cos(a/2)F2; 1-sin(a) = sin(a/2)-cos(a/2)A2;其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)双曲函数sinh(a) = eAa-eA(-a)/2 cosh(a) = eAa+eA(-a)/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2kTt + a) = sin a cos (2kTt + a) = cos atan (2kTt + a) = tan a cot (2kTt

18、+ a) = cot a公式二：设a为任意角，兀+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (兀 + a )= - sin a cos (兀 + a ) = - cos a tan (兀 + a ) = tan a cot(兀 + a ) = cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin (- a ) = - sin a cos (- a ) = cos a tan ( - a ) = -tan a cot (- a )= -cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到兀-a与a的三角函数值之间的关系：sin (兀-a ) = sin a cos (兀-a ) = -

19、 cos a tan (兀-a ) = -tan a cot (兀-a ) =-cot a公式五：利用公式-和公式三可以得到2兀-a与a的三角函数值之间的关系：sin ( 2 兀-a ) = - sin a cos ( 2 兀-a ) = cos a tan ( 2 兀-a ) = -tan a cot (2 兀-a ) =-cot a公式六:兀/2 土 a及3兀/2 土 a与f a的三角函数值之间的关系：sin(兀 /2+ a ) = COS acos (兀 /2+ a )=:-sin atan(兀 /2+ a )=-cot acot（兀/2+ a )=-tan asin(兀 /2 -a) = COS acos (兀 /2 - a )=:sin atan(兀 /2 -a ):=cot acot（兀/2 - a)=