杭电概率论08期中卷与解析

1、杭州电子科技大学学生考试卷( 期中)卷与解析考试课程概率论与数理统计考试日期2008 年11月 日成绩课程号A0702140教师号任课教师姓名考生姓名参考答案学号(8位)年级专业、选择题(每小题 3分，共12分)1 .设A ,B是两个互不相容的事件，P (B)0，则下列各式中一定成立的是( C )A. P(AB)=1B. P(A)=1P(B)C. P(A B) =0D. P(不=0解析：知识点：1)若A , B是两个互不相容的事件，贝U AB =巾，可推P(AB ) = 02)本题还用到 条件概率公式 P(A B) = P(AB)P(B)2.设随机事件 A , B满足P(B)=P(BA),则下

2、列结论中正确的是A. P(A B) = P(A)P(B)B. P( A u B) = P(A) + P(B)C. A , B互不相容D . P(A) = P(B A)3.解析：由P(B)=P(BA)得A , B相互独立，则A , B也相互独立。而若 A , B是相互独立，贝U P (AB ) = P (A) P(B)2(x -3)1随机变重 X的概率笞度为 f(x)= e 42 二,xW (q，七C)，则 Y = ( B ) N (0,1)X 3A.2X 32X 3C.2解析：正态分布的概率密度函数与参数卜和d2的关系；及与标准正态分布的关系(转八、 X二化)Y =N (0,1)4.设随机变量

3、X和Y相互独立，其分布函数分别为FX (x)与Fy ( y),则随机变量= max( X ,Y)的分布函数FZ等于A.max( Fx (z), Fy (z)1B. Fx (z) +Fy(z)2C.Fx (Z) Fy (Z)D. Fx(z) +Fy(z) Fx (z)，Fy(z)12解析：1)二维随机变量函数的分布FZ (z) = PZ苴z = PG(X ,Y)壬z;2) 若为二维离散型 随机变量，则Fz (z) = PZ % z =PG(X ,Y) % zZ PX = xi ,Y = yj；G( x, y»3) 若为二维连续型随机变量，则f (x, y)dxdy 。G ( x , y

4、)Fz(z) =PZ 北 =PG(X,Y)三 z二、填空题(每小题 4分，共20分)1 .从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中没有2只配成一双的概率是2142C 4C 10214C.解析：古典概率p =工A和B传递出去，接收站收到时，A被误作B的概率为0.04 ,而2:1,若接收站收到的2.将两信息分别编码为B被误作A的概率为0.03 ,信息是A，贝U原发信息是 A信息A与信息B传递的频繁程度为 的概率为 64/65.解析：知识点贝叶斯公式的应用2(1 .0.4)P=32 1一(1 0.04)0.033 36465现投了 3次，则此人投中2次的概率为0.432(注：还要掌握全概率公式)3

5、.某人投篮，投中的概率为 0.6 ,解析：知识点二项公式的应用:2_2,_ 一p = C3 0.6 (1 0.6) = 0.4324.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1 一 ，一 -,则三人中至少有4一人能将此密码译出的概率是3/5111P =1 _(1 )(1 )(1 一)534(以小时记)具有以下的概率密度f (x)=大于2500小时的概率为 2/5.1000 松 22500=x5解析：知识点：一维连续型随机变量的概率密度的性质得：p=PX 2500 =；、0炒 =oo 1000-'-2500- 2500 yX(注：作业做过的题型)三、(本题 8 分)设事件 A

6、 , B ,满足 P(A)=0.6,P(B)=0.4 , P(AB)=0.5 ,求P(B A = B).解：由条件概率：P (B AB) = P(Bc(AyB),2分又由加法公式:P(AuB) = P(A) + P(B) P(AB)由题意 P(A B) =0.6 - (1 0.4) 一0.5 =0.7而 P(B - (A B) = P(AB )P(AB) =P(A) P(AB) =0.6 0.5 =0.1 (“减法公式”)曲、1一 P(BC(A = B)0.11所以：P(BAuB)= =P (A u B) 0.77四.(本题10分)设随机变量 X的分布律为：X-101P0.20.30.5求(1

7、) X的分布函数F (x) ; (2)Y=X2的分布律；(3)概率PX <10 ,x < -10.2 , 1 苴 x <0解：(1) X的分布函数F (x)= <0.5 , 0 M x <1、1 , x 芝1(2) Y的分布律为Y01P0.30.7,4 分(3)概率 P X <1 = 0.5,2分解析：知识点已知一维离散型随机变量的题型。1）此题已知分布律，求分布函数、函数的分布律、概率等;2）反过来，若已知分布函数，如何求分布律、率）等3） 一般：一维离散型随机变量分布律的求法函数的分布律、概率（包括条件概（1） X的取值；（2）取对应值的概率kx, 0

8、壬 x : 1五.（本题12分）设连续型随机变量X的密度函数为f（x）=«2x, 1<x<2,0,其它1(1)确定常数k ; (2)求X的分布函数F (x) ; (3)求P < X 2.2解：(1)因为址f (x)dx =12分12所以 J。kxdx + 匚(2 x)dx = 1 得 k = 12 分 X的分布函数F (x) = f (t) dt.2分0 ,x <0 xf tdt , 0x < 1=1、o xxdx + j(2-t)dt ,1'x<21 , x 芝 2.2分0 ,x <02x，0 <x <1K22x2x -

9、1 ,1 5 <221 ,x _ 21 117(3) P ：: X _2 =F (2) - F ()=1 一一 = 一2 288解析：知识点已知一维连续型随机变量的题型。.2分1） 此题已知概率密度（有未知常数），求分布函数、概率等;2）反过来，若已知分布函数，如何求概率密度等；六.（本题12分）设随机变量（X,Y ）的概率分布律为:没012-10.30.10.210.10.30求：（1）关于X , Y的边缘分布律；（2）关于Z =XY的分布律;（3）条件概率PX芝1Y =1.解：（1）关于X的边缘分布律为X012P0.40.40.22分关于Y的边缘分布律为Y-11P0.60.42分 因

10、(X ,Y )的取值为(0, 1), (0,1), (1, -1), (1,1), (2, 1), (2,1)故Z = X Y的取值为：0 0-11-22所以Z = X Y的分布律为Z = X Y-2-101P0.20.10.40.3_ , , _P X N1 Y = 1,(3)条件概率 PX 芝1Y =1 = .2 分0.33P X =1,Y =1 P X = 2,Y =10.44（知识点：1）二维离散型随机变量（X ,Y）的边缘分布律、条件概率（条件分布律）2）二维离散型随机变量（X ,Y）的函数的分布律：取值，概率）加其他题型（知识点）：1）求二维离散型随机变量（X ,Y）的分布律;2）

11、某点处的分布函数的值，如 F（1,2）=?；3） 落在某区域内的概率如P X +Y <1；4）二维离散型随机变量X与Y的独立性的 条件.J 2 一，, ，一一，Cxy,0<y<x<1七.（本题16分）设二维随机变重（X ,Y ）的概率笞度为f（x, y）=*、0 ,其它（1）求常数C ；（2） 求关于X和关于Y的边缘概率密度；并问X与Y是否相互独立？（3）求概率 P X +Y <1.解：（1）二| dx J f（x, y）dy =1.2 分 |*"0*0即 f dx Cx 2 ydy =1，得 C = 10 0- 0(2)关于X的边缘概率密度fx (x)

12、 = f(x,y)dy.2分.1分r xf 10x?ydy , 0 <x <1 =j j°i 0,其它关于Y的边缘概率密度5x4, 0 < x < 10,其它.2分七8.1分1210 x ydx , 0 ： y : 1-y0,其它10y(133、一 y ） , 0 ： y ： 10,其它qQ fY(y) = f(X,y)dx P( X Y : 1) = Il f (x, y)dxdyx：fy ：11-1 -y= .02dy.y210x ydx.2分1x(或=2 dx 10x? ydy-0- 01 dx 10 x2 ydy ="096显然当 0 <

13、; y < x < 1 时 f (x, y) # fx (x) fY (y).2分所以X与Y不相互独立（这也是一个基本题型；知识点：1）求二维连续型随机变量的概率密度中含的未知参数方法：用 f dx f （x, y）dy =1;2）二维连续型随机变量（X,Y）的边缘概率密度，独立性的说明;3）随机变量（X,Y）落在平面区域G上的概率的求法 （转化为求二重积分）即 P（ X ,Y） G） = f （x, y）dxdyG加）二维 连续型随机变量（X ,Y）的条件概率密度及条件概率 的求法） -x. ，一 一，一、e , x > 0、一八.（本题5分）设随机变量X具有概率密度fX

14、（x）= 其他 ，求随机变量Y = X 的 概率密度。解：因y=x2在x0上单调增加，且x = Jj故丫的概率密度fY(y) = *f x (. y)(., y), y oo，其他-y e ,y o2, yo ,其他(知识点：一维连续型随机变量 X的函数丫 =g(X)的分布)，一般求法:1)求一维连续型随机变量的函数的分布函数FY(y) = P丫土 y =Pg(X) £y=ggfx(X)dX2)对分布函数求导，得概率密度。说明：若函数y =g(x)是单调函数，可直接用书上公式)；若不是单调函数，则用一般方法求如书上59页37题y = sin x在(0,兀)上不单调。九.(本题5分)设

15、随机变量(X ,Y)在矩形G =(x,y)0<x<2,0 <y <1上服从均匀分1_布，试证：随机变量Z = X 丫的概率密度为fz(z) = f；(ln 2 ln z) , 0 < z < 21证：由题意：(X,Y)的概率密度为f(x, y)=2 i0 : x : 2,0 ：: y : 10 ,其它设Z的分布函数为Fz(z)，则Fz(z)=PXY< z ： II f (x, y)dxdyxy :Z易知：当 z <0 时 Fz (z) =0 ；当 z 芝2 时 Fz (z) =1 ;当0 <z <2时,Fz (z) = P XY £ z = 1 P XY z2=1 一 dx-z1 1z dy二 21=(1 Tn 2 - In z) z21求导：得 z 的概率密度为 fz (z) = J；(ln 2 in ：)，0 <z <2.3 分解析：这是 二维连续型随机变量的函数的概率密度的一般求法：1) 先求分布函数Fz (z) = PG (X ,Y)z = f (x, y)dxdy ; 2)求导后的概率密度G (x,y)矣注：1)若函数为z = X +Y , z = XY ; z = Y/X ,求概率密度也可用书上的公式；2) 最大、最小情形：(1) F