由递推公式求通项的方法大全

1、学习必备欢迎下载由递推式求数列通项法专题对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型 1 递推公式为 an 1 an f (n)累加法 ( 逐差相加法 )例. 已知数列an满足 a11an1，求 an 。31， an 1n2nann22类型 2（ 1）递推公式为 an 1f ( n) an累乘法 ( 逐商相乘法 )an满足 a12nan ，求 an 。an2例： 已知数列， an1n13n3练习 :已知 a13， an 13n1(n1) ，求 an 。an 63nan123n类型 3递推公式为 an1pan

2、q （其中 p， q 均为常数， ( pq( p1) 0) ）。 转化法例： 已知数列an中， a1 1， an 12an3，求 an .an2n 13练习：（ 1）数列 a n 满足 a1 =1， a n = 1 an1 +1（ n2），求数列 a n 的通项公式。 a n =2（ 1 ） n 122（ 2 ） 数 列 a n 满 足 a 1 =1 ， 3an 1an7 0 , 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 。an73 (1)n 1443类型 4递推式为 an 1pa nq n 1 （ p、q 为常数）可同除 qn 1 ，再转化为类型3例 已知数列an满足 a11， an3n2an

3、1(n2) ， 求 an an3n12n 2练习： 已知数列511 n11 n1 nan 中，a16 , an 13 an( 2)，求 an 。an3( 2)2(3)类型 5递推式为 anman1k (an 1b)例： anan 1, a11，求 anan13 an 13n 21类型 6递推式为 an 2pan1qan待定系数法与分解系数法设 an2kan 1h(an1kan ) ，比较系数得 hkp, hk q ，可解得 h, k 。学习必备欢迎下载例 、 数 列an满 足 a12, a25,an 23an 12 an =0 ， 求 数 列 a n 的 通 项 公 式 。an32n 11（已

4、知数列an 满足 a11,a23, an 23an 12an (nN* ).（ I ）证明：数列an1an是等比数列；（ II）求数列an 的通项公式；例 .已知数列an中， a11, a22 ,an 22 an11 an ，求 an 。 an73 (1) n 12 an 11 an 可转化为 an33443解：由 an22san 1t(an1san )33st2s1s13即 an 2( st )an 1stan1 或3st1tt133s1s1这里不妨选用1 （当然也可选用3试一试），则tt13例、数列an中 ， a11,a22,3an22an 1an ， 求 数 列 an的通项公式。73(1

5、)n 14431 , h1 an 11 an 即 得 an 11 an 为 常 数若 本 题 中 取 k1 ， 则 有 an 2an 131 an 1333列, an 11 anana21 a121 733333例：已知数列an满足 a1a, a2b,3an25an 12an0( n0, nN ) ，求数列 an的通项公式。an2an 12 ( an 1an ) 则数列 an 1an是以 ba 为首项，2 为公比的等比数列33类型 7an1pank1例设正项数列，a2a22n 1 1an满足a11nn 1n 2 .an的通项公式.an2（ ）求数列类型 8 递推式： an 1panf n法一：

6、待定系数法；法二：两递推式相减学习必备欢迎下载例 an满足 a11， an3an 12n1，求数列an 的通项公式。, an 13an 22( n 1)1 （ n3）两式相减得an an 1 3(an 1 an 2 ) 2 转化为bnpbn 1 q 求之 .类型 9归纳、猜想、证明例 9：在数列 an 中， a12, an 1an2na 1 ，求 an 的表达式。a23, a3 4, a4 5ann 1数学归纳法证明之已知 a1 和递推式，直接逐项求出 a2 a3 a4 。通过观察发现规律，求出 an已知形如 Snf (n)采取手段利用： anSnSn1 注意检验： a1S1已知形如 Snf

7、( an )采取手段利用： Sn 1f ( an 1 ) 再用 anSnSn 1已知形如 anan 1 f (n)采取手段是 a2a1f (1)a3a2 f (2)。的逐差累加法已知形如 anf (n) ，ananan 1an 2的逐商累乘法采取手段是an 2an 3an 11 an 1已知形如 an待定系数法qan 1c （ q,c为常数）采取手段是：构造以q 为公比的等比数列，利用已知式中含有anan1 或 snsn 1 采取手段等式左右同除anan 1 或 snsn 1 ，构造等差Ban数列已知式中形如: a1 A, an 1 ( A, B,C , D ) 为常数 , 且 B C ) 求

8、数列的通项公式 Can D时, 用左右同取倒数法。已知式中含有 an2ca n 1da n ，可变形为 a n 2 pa n 1 q( a n 1pan ) 的待定系数法，其中 qpc, qp d, ，构造等比数列。已知式中含有an1kanf ( n) （ K 为常数）如果 f (n) 是指数式则 的处理手段是：同除 k n 1如 f (n) 是线性式则可对照待定系数法，设an 1k(n1)p2( anknp)学习必备欢迎下载求通项练习 :（ 1） 已知数列an 中，首项 a11,an 12ann ，求通项：（ an32n 1n 1）（ 2） 已知数列an 中，首项 a11,an 12an2n

9、 ，求通项：（ ann2n1）1、已知数列an中， a11,an 1an，求通项 an1nan2已知数列an的前 n 项和为 sn ，且满足 a14, ansn 12n2(n2) ，求 an的表达式。3 数列 an满足 a13 , a22, 且 n2时 sn13sn2sn 110 ，求通项 an24数列 a中，若 sn1nan ，求通项 ann5数列 a中， an, 且 an2 =2s，求通项 ann>02n6已知数列a中， a9,且 满足 an13an6.3n ,求通项 ann17已知函数f (x) 2x2x , 且 数列 an满足 f (log 2 an )2n ，求通项 an8数列

10、 an满足 a12a23a34a4.nann(n1)(n2) ，求通项 an9数列 a中，已知 a0 ， an13an2n ，求通项 ann151 an1n 110 数列 a中，已知 a1， an 1，求 ann63211 数列 an中，已知 a11 ，且 an2an91an，求通项 an412 数列 an中,sn4an1，求通项 ann22答案：（ 1）2（ 2）an32n2（ 3）2n21（ 4）1ann2n 2anann( n 1)学习必备欢迎下载（5） an4n 2 （ 6） an(2 n 1) 3n（ 7）an2 1 n （ 8）an3n 3n（9） an2(3n12n 1 )（ 10） an6( 1 )n1(1) n123（11） an6n5( 观察法与特征根法 )（12） ann2n12n 113. 已知数列 an中， a1 1