2021届云南省师大附中高三适应性月考八理科数学试卷

1、2021年云南省师大附中高三适应性月考八理科数学试卷学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知集合4 = 口|/x2<0, 5 = x|<1,则Ac5=() x-1A. (-1,1B. (-1,1)C.。D. -1,22 .已知兔数Z =，rl + (7 + l)i (其中相£尺，是虚数单位)是纯虚数，则更数次+， 的共扰复数是()A. 1 + /B. 1 /C. 1 /D. -/3 .已知46,0三点不共线，若|A月|=|。4 +。可，则向量与。片的夹角为()A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角4 .己知凡则下列结论正确的是()1A. a2 >b2B. a2

2、>b2C. <Z?"3i iD. a3 > b55 .已知圆C过坐标原点，面积为2乃，且与直线/:xy + 2 = 0相切，则圆C的方程 是()A. (x + l)2+(y + l)2 =2B. (/_1)2+。，1)2 = 2或(> + 1+。，_1)2=2C. * -1)2 + (y 1)2 = 2 或(x +1)2+()' +1)2 = 2D. (x-l)2+(y-l)2 = 26 .已知某正四面体的内切球体积是1,则该正四面体的外接球的体枳是()A. 27B. 16C. 9D. 37 . 一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是

3、()正视图 假视图24+8 .运行如图所示的程序框图，如果在区间0,e内任意输入一个x的值，则输出的/（x）值不小于常数e的概率是（）懒出，（Q/血B. 1-C. 1He + 1充分不必要条件B.必要不充分条件9 .己知。力为正实数，则>1“是“4/>b/（e = 2.7182）”的（）C. 572xx.C.既不充分也不必要条件D,充分必要条件710 .在AA6C中，角46,C的对边分别为出4C,若6 = 5m = 3,cos（8 A） = §,则AA3C的面积为（）5ai-D. 2无11 .已知函数/（x） = ”77,则J（3）-/（工）的取值范围A. 0,+OD）B

4、. 0,1c. （M）D.0,1）12 .己知数列qj满足4”+ +。“ =4 + 3,且VeN*, an + 2ir > 0,则%的取值范 围是（）A. -2,15B. -18,7C. -18,19D. 2,19二、填空题13 .二项式（3x-广/展开式各项系数和为4（714 .已知sina =，且。为锐角，则cos =52x+y-3>015.则里二上的取值范围是 x+ y己知实数X, y满足条件L-y-3<0, y«216 .已知抛物线C：V=4x上一点M（4,4）,点人,5是抛物线。上的两动点，且MA MB = 0,则点M到直线A3的距离的最大值是.三、解答题

5、17 .已知数列“满足：+ 32+ 32 + +3"-%” = ，n TV*.（1）求数列凡的通项；（2）设数列4满足3"=3,求数列的前项和S”.18 .国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据 性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单 位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是0,3,若规定平均每天运动 的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.根 据调查的数据按性别与“是否为运动达人进行统计，得到如下2x2列联表：时间性别运动达人非运动达人合计男生36

6、女生26合计100（1）请根据题目信息，将2x2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为运动达人有关；（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X ,求X的分布列和数学期望E（X）及方差O（X）.19 .如图，在底面为菱形的四棱锥PA5c。中，平面A5CQ, E为尸。的中点，AB = 2, ZABC = -. 3（1）求证：PB/平面AEC；（2）若三棱锥产一 AEC的体枳为L求二面角A -PC5的余弦值.20 .已知椭圆C:二十三=1（。>/?>0）的左、右焦点分别为

7、且|片£|=2,点P（2,竺）在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，圆。：/ + ），2=标，4（O,-与，5式0力），E为椭圆。上异于顶点的任意一点，点尸在圆。上，且EFJLx轴，E与尸在工轴两侧，直线分别与X轴交于点G,，记直线尸G,尸”的斜率分别为人，太，问：k4是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21 .如图，。是A46C边A6上的一点，AAC。内接于圆。，且NC4O=/5C。，E是CO的中点，BE的延长线交AC于点尸，证明：（1）5C是圆。的切线;(2)AB2 AFx = a cos（D22 .在平面直角坐标系xOv中，曲线G：, .（0为参数

8、），其中y = bsm（p以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线g：P= 2cosd,射线 /:8=a（2之0）,设射线/与曲线G交于点P ,当a = 0时，射线/与曲线G交于点。，0, |尸。11；当时，射线/与曲线G交于点O, |OP|=J?.（1）求曲线C的普通方程：X = IJT（2）设直线/'：L （f为参数，。0）与曲线C,交于点H,若。=,求OPR y = ®.3的面枳.23 .己知/（x）=|2x + l| + | x| （x g R）.2（1）关于x的不等式/（x）之2标-。恒成立，求实数。的取值范围;(inp + nq)2 < mp1 +

9、nq2.（2）设为正实数，且7 + =/（一，求证:参考答案1. B【解析】试题分析：由题意得A = "|-l<x<2, B = xx>2x<l, :.Ar>B = (-lA),故 选B.考点：1、二次不等式；2、分式不等式；3集合的运算.【易错点晴】本题主要考杳二次不等式、分式不等式和集合的运算，属于容易题.本题在求 集合6时容易犯两个错：1.没有限制分母不为02不等式方向没有定好，即没有将最高次系 数化为正数.解分式不等式时一定要注意把握这两点.最终在求集合的交并补时，不熟练的 考生最后做一下数轴，利用数轴解法可以避免无谓的失误，小心才能驶得高考船.

10、2. B【解析】试题分析：由题意得加一 1 = 0且/+ 1工0,? = 1,故更数?+ 1的共腕复数是1一1，故选B. 考点：复数及其运算.3. B【解析】试题分析：由向量的加法知，以。4为邻边的四边形为矩形，故向量04与。月的夹角 为直角，故选B.考点：1、向量加法的平行四边形法则；2、向量的模；3、向量的夹角.4. D【解析】试题分析：当。=0, = -1时，A, B, C选项均不符，故选D.考点：不等式的基本性质.5. C【解析】试题分析：依题设知圆C的半径为应，圆心在直线)，=x上，圆心为(1, 1)或(-1，-1),故 选C.考点：圆的方程及其性质.6. A【解析】74 -试题分析

11、：设正四面体的外接球、内切球半径分别为风，则7=3.由题意；兀尸=1，则外接球的体积是必：=27 ?" =27,故选A.考点：1、内切球；2、外接球；3、球的体积公式.7. A【解析】 试题分析：该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为故选A.考点：1、三视图；2、体积公式.8. B【解析】试题分析：由题意得=如图所示，当时，/(刈/，故/(刈lnx + e, 1< xWe,值不小于常数e的概率是匚=1-故选B.考点：1、几何概型；2、分段函数及其图象.9. D【解析】 试题分析：令/(乃=1./(%>0),则/'(x) = (x + l)e”O,工/a)在(

12、0, +oo)上为增函数，则a > b Q ae" > be",故选 D.考点：1、充要条件；2、利用导数判断单调性.10. C【解析】试题分析：在边4。上取点使/4=4的，则cos/O8C = cos(B A) = ：,设AO = O8 = x, 则(5 刈2=9 + 丁2x3xx = x = 3.在等腰三角形6co中，ZT边上的高为20， S/s”='x5x2应=5&，故选 C.考点：1、余弦定理：2、三角形面枳公式.11. D【解析】试题分析：V>' = >/4 + x: , Ay2 - x2 = 4(y > 0)

13、,:.函数/(x) = J4 + x，的图象表示焦点在y轴 上的双曲线的上支，由于双曲线的渐近线为y = ±x,所以函数/*)的图象上不同的两点连 线的斜率范围为(-1，1)，故一”二)；0, 1),故选D.1内一七1考点：1、函数的定义：2、函数的斜率；3、双曲线的图象及其性质.【思路点睛】本题主要考查函数的定义、函数的斜率和双曲线的图象及其性质，属于难题.解决本题的关键是懂得将函数工)转化为y2-x2 = 4(y > 0),并迅速发现函数八工)的图象是焦点在y轴上的双曲线的上支，还需懂得("一"工)就是函数/(x)的割线斜率的 区-占1绝时值，还需发现割

14、线斜率的最值就是双曲线渐进性的斜率，才能规避繁琐的计算.12. D【解析】试题分析：<% + an = 4 + 3 ,，4巾+ 4-1 = 4 + 7 ,两式相减得一a = 4 ,故数列an的通项公式为中二:曹:滥当为奇数时,小可化为、（1152一 2 + % + 2/20 ,2 + 2 = 21 + q + -,当 =1时，-2/?2 一2 + 2 有最 大值一2, 吗一2；当为偶数时，4+2/20可化为2 + 3- + 2/20,（ 5ci W15,+ 2 + 3 = 2 + - +-，当 =2 时，2?+ 2+ 3 有最小值 15I2） 2，- 2WqW15, 吗=4+4£

15、;2, 19,故选 D.考点：1、递推公式：2、等差数列的通项公式；3、二次函数的性质.【方法点晴】本题主要考查递推公式、等差数列的通项公式和二次函数的性质，综合性较高, 属于难题.通过递推公式推出明的通项公式是本题难点，这要求学生要熟练掌握递推公式的 精髓，并熟悉分类讨论思想.对q+ 2r之0这只拦路虎，要求学生要懂得从 的奇偶数进行分类讨论，要掌握最值在恒成立中的应用技巧当.13. 32【解析】试题分析：令x = l，则展开式中各项系数和为展=32.考点：二项式定理.【解析】试题分析：sina = ±，且。为锐角，cosa = 2 = 2cos2 4-1, cos2- = - f

16、 Acos = 5522 525考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.15. 1,3【解析】x x-0i+工X试题分析：如图，可行域为三角形，2="可看作可行域内的点与原点连线的斜率，则一，3” )e0, 2,= 一二 xf i+2【方法点晴】本题主要考查线性规划、直线的斜率和函数的值域，本题综合程度高，属于难题.要求至1.的取值范围，必需将它转化为一 1+'_,接下来就只需求上的取值范围x+>1 + 2XX了，而在可行域里求上的取值范围是常见问题考生比较熟悉，也就是构造斜率A ,先定直 X线的倾斜角，再利用斜率图像定斜率A的范闱.本题对考生的转化能力和数学

17、素养由较高的要求.16. 475【解析】试题分析：设A*;, K),户)，白=4孙=, ：JAB：一一 打=4M， 玉一毛 y 1 + y2 444, yX =网).I点M在抛物线上，如人=，k“B =.=')1+ K)；-4巨-444 MA _L MB， Zjm - k”B =- = - 1，)'i% 4() + y?) + 32 = 0， /八8：y4 4-4444 v?4y =x-x + Vj =-V-+ Vj =x+ .)1 + >2%)?1 + >2 M +兄见 + %51 + >2=一工+ 45 + *)_ 32 =(. 8)+ 4 ,工直线A6恒

18、过点N(8, 4),则点M到直线 M + )?2)1 + >2 M + )?2AB 的距离的最大值为|= 7(8-4)2+(4 + 4)2 = 475 .考点：1、直线与圆锥曲线；2、向量的数量积；3、点到直线的距离.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线、向量的数量积和点到直线的距离，综合性较强， 属于难题.解决本题的三个精彩之处在于：1.将问题转化为求直线恒过定点问题：2、利用点 差法巧求直线A8的斜率；3、/加耐二0转化为所在直线互相垂直.本题还有一个难点就 是求直线AB的方程时计算量比较大，需要考生耐心计算.17. (1)2=_1T(eN*)； (2) s =-3n-A.y+24

19、4【解析】试题分析：(1)当心2时由+ 3/+32+3"-& =得 + 3+ 32a3 +-+y2an_i = n-1,进而联立两式解得巩=二，检验当 =1时,=1 3也满足上式.(2)由得=与3办=9得=，可得% = n - 3n-1, 3八7ana.*.S,1=1x3°+2x31+3x32+-+h. 3鹏，再用错位相减法可得正解.试题解析：解：(1)当时，%+3/+ 32 + +3"% =，% + 3% + 3,3 + += - 1,由得：3"-&=1,. 1可 =尹当 =1时，q=l也满足上式，""=F"

20、;?eN')(2)由(1)及3% =之得，3"=3", ”=， 册匕= 3"T,册：.Sn =1x3°+2x31+3x3:+ -+7?-3,-3SW =1x31 + 2x32+3x35+ +/z.3n .以上两式相减得：-2S“ = 1 + 3 + 3? + + 3”】一 - 3"1-3s“=-才+L244考点：1、数列的递推公式；2、数列的通项公式；3、数列的前n项和公式；4、错位相减 法.18. （1）列联表见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为运Q 1 Q动达人”有关；（2）分布列见解析，.5 25【

21、解析】试题分析：（1）通过计算易得其它数据，并可判定有关；（2）先判断随机变量X服从二项 分布，根据二项分布求出分布列、数学期望及方差.试题解析：解：（1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人 为男生，40人为女生，据此2x2列联表中的数据补充如下.运动时间 性别运动达人非运动达人合计男生3S2460女生142640合计5050100由表中数据丽的观测值人吧爰怒# 3 53 ,所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为'运动达人'”有关.（2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为史=?,故工、8b，口, 60 5I 5）X

22、可取的值为0, 1, 2, 3,P(X = 2) = C；54 "125P(X = 3) = C；27 "125X的分布列为:£0123P8125361255412?271253 93 718AE(X) = 3x- = -, D(X) = 3x-x- = 考点：1、列联表；2、独立性检验；3、随机变量的分布列；4、数学期望与方差.19. （1）证明见解析；（2）正.5【解析】 试题分析：（1）试题分析：（1）连接8。交AC于点O,连接QE,易得QE08,根据线面 平行的判定即可得证.（2）由等枳法易得三棱锥尸一4EC的体积为三棱锥尸一月09体积的 一半，可求得44

23、 = 2旧,同理可得L.棱制一咏=咚极细-ASC =匕淞雄P-ACD =2，再求P3、PC和Susc，进而求得正解.试题解析：（1）证明：如图，连接8。交AC于点O,连接QE.点01分别为夕。,8。的中点，.。石心.（2）由等积法易得三棱锥PAXC的体积为三棱锥产一 477体积的一半，可求得PA = 2也,即可建系求出各点坐标，进而求得两个半平面的法向量，从而求出二面角A PC6的余弦值.试题解析：（1）证明：如图3,连接3。交AC于点O,连接QE.点01分别为夕。,8。的中点，.。石心.又平面AEC, OEu平面AEC,平面AEC.（2 ）解：/梭推p_AEC =匕淞俳尸-ACD 一咚楼徘E

24、-ACD =万匕淞惟P-ACD = ' * § - AACD= -x-x x2x2xsin PA = l, PA = 2G .2 3 23:底面四边形为菱形，AB = 2» ZABC =,3；OA = OC = I, 0B = 0D = 6, OB工OC.如图，以0为原点建立空间直角坐标系，PAZ轴,p则 0(0, 0, 0), A(0, 1, 0), B(3, 0, 0), C(0, L 0), P(0, 一 1, 2部).设平面PBC的法向量为方= (x, y, Z),VBC = (-6 L 0), PC = (0, 2, - 2我,BC n = -yfx+ y

25、 = 0, PC n = 2y- 2yfz = 0,/./； = Q, B 1).RLL平面ABC。，QBu平面ABC。，：.OB±PA .又TOBUC, ACCPA = A, AC, PAu平面“AC,O反L平面PAC ,工平面PAC的法向量为丽=(60, 0),cos，OB)=n OB V3 下 |n|OB|=73xV5 =T由图可知二面角A-PC-B的平面角是锐角，二面角A-PC-B的余弦值为立. 5考点：1、线面平行的判定；2、锥体的体积；3、法向量；4、二面角.2220. (1) + - = 1； (2) -1. 54【解析】试题分析：(1)由题意知可得耳(T, 0), E

26、(L 0),根据椭圆的定义可求得a =非，得b = 2.即可求椭圆方程；(2)设E*o，稣)，F(x0, %),由已知可得，,4 ,好=4一内./ ，“珥升=5 - .二色工工一2, lEB ：)，=包二x+2,从而求出0, H 二0),可得%" 见1),。+ 2 )"。2 )试题解析：解：(1)由题意知，£(-1, 0, 点/2,芷在椭圆上， 5 由椭圆的定义，得|Pg| + |PK|=2o = / ci = y/5 9 h = 2 9故椭圆c的方程为二+二=1. 54(2)如图所示,设E(%, %), F(x0, yF 由题意，得圆0： W + )，2=5.

27、点E在椭圆C上，点F在圆0上，.+ 5尤=20,即)，：=4 瓦(0, -2), B2(0, 2), 1、,- 1 o + 2 _) J £ - 2,匾 3A ，储.% %直线七片与X轴的交点oj, k -k -一 一" _卜0'。+ 2) k .2% _工小儿%+ 2 °LL 一 %(比+ 2)孙(%-2)_ $(>-4) -.“为Ao Vo法稣故女人为定值一1.,E（L 0） , -=/?- +1.卜+ 1尸+（2，| +-炉+巾）=2有,）,且线工0，九工0X + 2 ,直线E纥与x轴的交点三0、，L 一 f _*（肾一2）KFH”，-2% 7

28、%Vo-2°（5一片）一白）_ 1,石（4 广FG,FH的斜率分别为人人，进而计算女人=-1考点：1、椭圆的定义：2、椭圆的方程；3、直线与圆锥曲线；4、直线的斜率.21. （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）作出辅助角NCG。，易得/CG0=/C4O, NCOG = 90°,从而得=，再由切割线定理，得DH DEZCGD = ZCBD+ ZDCG = ZCAD+ ZDCG = ZCGD+ ZDCG = 90° ； (2)先证AABFADBH, MCFs&DH ,：.-= BD DHBC? = AB - BD ,.竺= A&quo

29、t; = =正.BC2 AB BD BD CF试题解析：证明：（1）如图，连接CO与。0交于点G,连接GD.TCG是。的直径, N8G = 90。，：.ZCGD+ZGCD = 90°. ：ZCAD = ZBCD = ZCGD,:ZBCD+/GCD = 9Q。,即 CG_LBC, ,.BC是。0的切线.(2)如图，过点D作AC的平行线交BF于H. ：DH/AC, ：.AABFZDBH, AECFZEDH , .AB _AF CF _ CE 丽=丽'丽=诙 :E 是 CD 的中点，：.CE=DE, ：.CF = DH .VBC与。0切于点C, BDA为。0的割线,，由切割线定理,

30、得BC'AB BD, AB2 _ AB2 _ AB _AFBCt = BBD = BD = CF 考点：1、同弧所对的圆周角相等；2、直角的判定；3、切割弦定理；4、三角形相似比.X2 V2373022. (1) + - = 1 ； (2).9 320【解析】试题分析：(I)先求曲线C1的普通方程，再极坐标方程，分别令。=0、代入极坐标 方程，得夕=，即点/的极坐标为(30)、b9 -,将8 = 0代入曲线P= 2cos6,得 k 2)p=2,即点0的极坐标为(2, 0),进而求a,人的值；(2)先求直线/'的普通方程，可得斜率为由。=-三求得|ORbl,由8 =(代求得|。尸|=孚，再代入面积公式即可求解.试题解析：解：曲线C】的参数方程为，= ：cosq,(为参数)，且八0, )? = t?sin °,工曲线C1的普通方程为二十1=1,a- b-而其极坐标方程为+臂邙=1.a- b- 将射线1： 8=0代入曲线。户.8/夕+ 产=, a b得°=a ,即点P的极坐标为(a, 0):将射线1： 8=0代入曲线G： p = 2cosd,得0=2,即点Q的极坐标为(2, 0).又尸0|=