2020年高三数学下期末模拟试题(附答案)(2)

1、2020年高三数学下期末模拟试题（附答案）（2）一、选择题1 .己知= b + i , a,beR ,其中i为虚数单位，则a+b=（）A. -1B. 1C. 2D. 32 .在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序 为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙3 .生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3 只，则恰有2只测量过该指标的概率为4 .己知函数f（x） = Asin（5+&#

2、176;） （4>0,3>0）的图象与直线> =。（0< A）的三个相邻交点的横坐标分别是2, 4, 8,则/（x）的单调递减区间是（）A. 6攵乃,6攵乃+3, k eZB. 回乃一3,6%乃,k eZC. 6k,6A + 3, k eZD. 6k-3,6k, keZ5 .若 i（x+M） = 3 + 4i,x,y£R,则更数 x+N 的模是（）A. 2B. 3C. 4D. 56 .设i为虚数单位，更数z满足二=1-"则复数z的共挽兔数等于（） ZA. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i7 .若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元

3、，月退休金各种用途占比统计图如下面 的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如卜.面的折 线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.8 .己知i为虚数单位,复数z满足（I + i）z = i,则岗=（）D. y2A. 1B. 1C.巫422AB AC A69 .已知非零向量而与/满足=+ *6C = 0且0AB AC的形状是（）B.等腰直角三角形D.以上均有可能A.三边均不相等的三角形C.等边三角形 10. 一个容量为80的样本中数据的最大值是110,最小值是51,组距是10,则应将样本数据 分为（）A. 10 组B. 9 组C.

4、 8 组D. 7 组11 .已知双曲线C： * 今=1（。0力0）的焦距为2c,焦点到双曲线C的渐近线的距离为立c,则双曲线的渐近线方程为（） 2A. y = ±y/3x B. ）, = 土点工 c. y = ±xD. y = ±2x12 .若奇函数/*）在1,3上为增函数，且有最小值0,则它在3, 1上（）A.是减函数，有最小值0B,是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值0二、填空题13 .曲线）=/+工在点（1, 2）处的切线方程为. X14 .在AA5C中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若A = C, a = 5

5、 b=l,则 315 . ABC的内角4 B,。的对边分别为a, b, 0,已知b = 2, c = 3, C = 2B,则 46C的面积为.16 . (f+'y的展开式中炉的系数是 (用数字填写答案) X17 .等边三角形A6C与正方形A6E陀有一公共边A3,二面角C的余弦值为巫，M, N分别是4G 6C的中点，则EM, AN所成角的余弦值等于.318 .己知直线I：«3y + 6 = 0与圆/ + / = 12交于A,"两点，过48分别作的勺垂线与x轴交于两点则IC0 =.19 .已知集合尸中含有0, 2, 5三个元素,集合0中含有1, 2, 6三个元素,定义集

6、合尸也中的 元素为a+b,其中aWP, be Q,则集合尸+。中元素的个数是.20 .如图，己知P是半径为2,圆心角为|的一段圆弧AB上一点，AB = iBC，则定用的最小值为三、解答题21 .已知数列q满足。产2MM = 2/ + 2叫(1)设”啜，求数列也的通项公式；(2)求数列q的前项和S“；(-l)n (w2 +4n + 2)2n()(3)记c = -3，求数列%的前项和22 .已知圆01和圆02的极坐标方程分别为p=2zp2-2V2pcos(64r)=2-4把圆01和圆02的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23 .十九大以来，某贫困地区扶贫办枳极贯

7、彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农 村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也 逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早口脱贫的工作计划，该 地扶贫办统计了 2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式J航 2.63，若X吟,则P（p -<y <X+ a） = 0.6827 ； P（一 2cr < Xq/ + 2b） = 0.9545 ；P（3b < XQ + 3b） = 0.9973.（l）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入工（单位：千元）（同一组数据用 该组数据区

8、间的中点值表示）：（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N.,6,其 中近似为年平均收入7,b?近似为样本方差一 ,经计算得：52 = 6.92 ,利用该正态分 布，求： 在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入 高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？5）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000位农 民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数 最有可能是多少？24 .如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，NAB

9、E = 60。，G为BE的 中点.（I）求证：AGJ_平面ADF；（II）求AB = JT, BC = 1,求二面角D CA-G的余弦值.25 .某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式 一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0），并据此判断 哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训

10、后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.26 .在AA6C中，内角A, B, C的对边a, b, c,且。，已知而.血=2,cosB = " , b = 3 ,求： 3(1) a和c的值：(2) cos(6 C)的值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. B解析：B【解析】【分析】利用更数除法运算法则化简原式可得2-出= 6 + i ,再利用更数相等列方程求出凡的 值，从而可得结果.【详解】eu a + 2i cii 2z 丁 . .； D因为=；=2 ai = b +1 , a,b g R ,i-r(2

11、 = b(b = 2所以，=H则a+ = l,故选B.-a = 1。= -1【点睛】更数是高考中的必考知识，主要考查里数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理 解，掌握纯虚数、共枕复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通 过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题 出错，造成不必要的失分.2. . A解析：A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到 低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则 甲必预测错误，丙比乙

12、的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正 确，不符合题意，故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目布.一定难度，注重了基础知 识、逻辑推理能力的考查.3. B解析：B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的 计算公式求解.【详解】设其中做过测试的3只兔子为见仇C,剩余的2只为A,6,则从这5只中任取3只的所有 取法有。也 c, a, b, A ,a,b,B,a, c, A, a, c, B ,a, A, B,b,c,a,b,c,8,b,46,c,46共10种.其中恰有2只做过测试的取法有a,b,

13、A,a9b,B,a,c, A,a,c, 5,也,c, 4,c,阴共 6 种，所以恰有2只做过测试的概率为二=2,选B.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.应用 列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重更，将兔子标注字母，利用“树图 法”，可最大限度的避免出错.4. D解析：D【解析】【详解】由题设可知该函数的最小正周期丁 = 8 2 = 6,结合函数的图象可知单调递减区间是+ 6k, + 6k(k e Z),即3 + 6,6 + 6k(kwZ),等价于6k 3,69，应选答22案D.点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数/(x)=

14、Asin(3Y+°)(A>0、g> 0)的图象与直线y = (0 < a < A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”.结合图像很容易观察出最小正周期是丁 = 8 2 = 6,进而数形结合写出函数的 单调递减区间，从而使得问题获解.5. D解析：D【解析】y = -3试题分析：根据题意可知x，-y = 3 + 4i,所以有),故所给的兔数的模该为5,故x = 4选D.考点：好数相等，复数的模.6. B解析：B【解析】【分析】利用更数的运算法则解得Z = 1 + 1，结合共规狂数的概念即可得结果.【详解】复数Z满足& = 1一"2i _ 2

15、i(l + i) 1_厂(17)(1 + ,)-'，复数Z的共挽复数等于T-i,故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共挽狂数的定义，考杳了推理能力与计算能力，属于基础 题.7. D解析：D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000x15%-xxl0%=100.解得x=8000.故选D.【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.8. C解析：C1 1 .= -+-12 2(1+,故选c 乙乙乙【解析】由题得z=: 1 + i9. C解析：C【解析】【分析】A

16、B府和AC分别表示向量福和向量比方向上的单位向量,示NA平分线所在的直线与5c垂直可知4A6c为等腰三角形再由词.而=5可 求出NA，即得三角形形状。【详解】由题的，: 翼 + 丝 sen。，NA平分线所在的直线与5c垂直，A6C为 AB AC /AB AC 11兀等腰三角形.又日.|i = 5，cosA = 5，人=,故6c为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档 难度的综合题。10. B解析：B【解析】由题意知,（140-51）-10 = 8.9,所以分为9组较为恰当，故选B.11. A解析：A【解析】【分析】利用双曲线C

17、： * 今=1（。0,60）的焦点到渐近线的距离为当。，求出。，的 关系式，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线C：二1 = 1（。0力0）的焦点（。,0）到渐近线以+=0的距离为立°, 6T /r2可得：=%,可得，=#, * = 3 则C的渐近线方程为y = ±JJx.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出。力的关系是解题的关键，考杳计算能力，属 于中档题.12. D解析：D【解析】【分析】【详解】因为AM为奇函数，且在L3上为增函数，且有最小值0, 所以在3,-1上为增函数，且有最大值0,选D.二、填空题13 .【解析】设则所以所以曲线在点处的切

18、线方程为即点睛:求曲线的切线方程 是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是 曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：y = x+i【解析】设y = f（x），则广（x） = 2x，所以（1） = 2 1 = 1, 厂所以曲线 = /+在点（L2）处的切线方程为），-2 = lx（x1）,即产x+1. x点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率， 其求法为：设尸（小，.%）是曲线），= /（#上的一点，则以o为切点的切线方程是y-Vo = /U）（-v-Ao）.若曲线y = /（x）在点PC%J（x

19、。）处的切线平行于）'轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x = x0.14 . 2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于C的方程即可解出C 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用 余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2【解析】【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理标=尸+一2权cosA得3 = 1 + / c,即一。2 = 0,解得c = 2或C = -l （舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15 .【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式

20、可求的值根 据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正 弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定 解析:整【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos6的值，根据同角三角函数基本关 系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC, cosC的值，根据两角和的正弦函数公式 可求siiM的值，即可利用三角形的面枳公式计算得解.【详解】Z? = 2, c = 3 , C = 2B，/G，J由正弦定理/一=J ,可得：=，可得： sii止 sinCsiiiB sinC2 _ 3 _3= , sii 止 sin25 2sinBc

21、os6可得：cosB = ?,可得：su止=Jl一cos?6 =,44可得：sinC = siii2B = 2sin5cos6 =, cosC = cos28 = 2cos25 1 =,884 /r e r 厂 . " 1 3 3" 5a siilA = sin（D + C） = sniDCOsC + cosnsinC =x- + -x=，v 74 8 4816s i. . i 。2 5a 15a :.S = - bcsinA = -x2x3x=.221616故答案为：U巫.16【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公 式，三角

22、形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础 题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方 便、简捷一般来说，当条件中同时出现。及尸、/时，往往用余弦定理，而题设中如果 边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍 角的正余弦公式进行解答.16 .【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的 展开式应用解析：35【解析】由题意，二项式（炉+白）7展开的通项，+1 =仁（丁广'2）=Gx""，令214r=5, xx得 =4,则/的系数是C； = 35.考点：

23、1.二项式定理的展开式应用.17 .【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO_L面ABDEOH_LAB则CH±ABZ CHO为二面角C-AB-D的平面角CH=3VOH=CHcosZ CHO=1结合等边三 角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为解析:O【解析】【分析】【详解】设 AB=2,作 C。，面 ABOE集合P+Q中的元素有8个点睛：求元素（个数）的方法根据题目一一列举可能取 值（应用列举法和分类讨论思想）然后根据集合元素的解析：8【解析】【详解】由题意知aS匕bW Q,则a+b的取值分别为1, 2, 3,4, 6, 7, 8, 11.故集合尸中的元素有8个. 点睛：求元素（个

24、数）的方法，根据题目一一列举可能取值（应用列举法和分类讨论思想）， 然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重更出现只算作一个元素，判断出该集合 的所有元素，即得该集合元素的个数.20. 5-【解析】【分析】设圆心为0AB中点为D先求出再求PM的最小值得解 【详解】设圆心为OAB中点为D由题得取AC中点M由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最解析：5 - 2713【解析】【分析】设圆心为CXAB中点为D,先求出PC PA = PM2-AC2 = PM2-,再求PM的最小 44值得解.【详解】设圆心为OAB中点为D,由题得A6 = 22sin2 =

25、2,.AC = 3. 6取AC中点M,由题得PA + PC = 2PMPC-PA = AC >>>1 r, Q两方程平方相减得PC= PM - - - AC =PM 一 一, 44要使PC1./%取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小. 此时 DM=i,/. DM =+ 疗=半， 所以PM有最小值为2 -史，2代入求得pG/M的最小值为5- 2Ji?故答案为5 - 2jn【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21. (1) bn = n (2) S”=(

26、T)2"* + 2 (3)二+ 4)(-1)” ' J3 3(n + l).2,+1【解析】【分析】【详解】(1)由。“+ = 2q + 21得以+="+1,得"=；(2)易得=2”，S” =1x21 + 2x2? +x2”,2S =1x2? + 2x23 +x2"-Tl错位相减得一S' = 21+ 2? + + 2 一 x 2n+1 = 2 xnx 27,+1“1-2所以其前项和s 二 (- 1)2鹏+ 2 ；(一1)” (? +4 + 2)2" (-1) (/ +4 + 2)(-1)” (2 + + 2( + 1) + )+

27、成+ 1)2+】叩 + 1)2出J.2(T)11(可33 ( + 1)222 (h + 4 (-1) 或写成' 八7 + 1边(明定+(i + 1)*2"+(T)(“ + 14(£2+1HTL3 + 62)点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“SJ与" qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S-qS”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22. (1) x2+y2-2x-2y-2=0 (2) psi

28、n(0+-)=y【解析】"=4,即 x2+y2=4."Ampcos(叼)=2,:.p2-2v,42p (cosQcos+sin6sin)=2./. x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=l.化为极坐标方程为pcos0+psin6=l,gp psin(0+-)=y.23. (1) 17.4： (2) (?) 14.77 千元(/) 978 位【解析】【分析】(1)用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数：0.6827(2) (i)根据正态分布可得：P(X b) = 0.5 + -%0.8414即可得解：

29、(/7)根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,利用独立重灾 试验概率计算法则求得概率最大值的k的取值即可得解.【详解】(1)由频率分布直方图可得： x = 12x0.04+14x0.124-16x0.28 + 18x0.36 + 20x0.1+22x0.06+24x0.04 = 17.4：(2) 由题 X N(17.4,6.92), P(X > /-o*) = 0.5+0 6127 « 0.8414, 所以b = 17.4 2.63 = 14.77满足题意，即最低年收入大约14.77千元；0 9545(ii) P(X > 12.14)

30、 = P(X >/-2b) = 0.5 + y芯 0.9773 ,每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773,记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X, X6(1000,0.9773)恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率P(X =k) = C：000c).9973" (1-0.9973)1(xk>-AP(X =k) _ (1001-)x0.9773P(X=I) "(1-0.9773)> 1 得 A <1001x0.9773 = 978.2773 ,所以当 0K/K978 时,尸(X=k 1)尸(X=k),

31、当 979 Kk K1000 时,P(X=k -1)>尸(X = k),所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有 可能是978位.【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重更试验计算概率 公式求解具体问题，综合性强.24. ( I )详见解析(II)一叵7【解析】【分析】(I)由矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD_LAB,进而证得AD_L 平面ABEF,证得AD _LAG,再根菱形ABEF的性质，证得AG_LAF，利用线面垂直的 判定定理，即可证得AG_L平面ADF.(II)由(I)可知AD, AF, AG两两垂直，以A为

32、原点，AG为x轴，AF为y轴， AD为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量 的夹角公式，即可求解.【详解】（I ）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，AD±AB,矩形ABCDc菱形ABEF = AB，AD_L平面ABEF，.”GU平面ABEF, AD_LAG, 菱形 ABEF 中，NABE = 60。，G 为BE 的中点，A AG1BE, A AG1AF， ADcAF = A, AG_L平面ADF.（II）由（I）可知AD，AF，AG两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为丫轴, AD为z轴，建立空间直角坐标系，3 .AB =

33、JJ，BC = 1,则AD = 1，AG = 一 ,2故A（0,0,0）, C, D（O,O,1）, A（g,O,O、，则Ad =一,，JL22 /,AO = (0,0,1), AG = (g,0,01设平面ACD的法向量i =（&,zj,则，AC = X _ y 4-=0ADi = = 0取 x=,得 i = (i,"o 卜设平面ACG的法向量% =（公,zj,则，3JTAC以=-V<)+= 0-2 -2 - 3AG> =一工=0-2 -取 = 2 ,得n2 =(0,2,5/3 j,设二面角D CAG的平面角为。，则|cose|由图可知。为钝角，所以二面角DCA

34、-G的余弦值为-叵7【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在 考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与 平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.325. （1）方式一（2）-【解析】【分析】（1）用总的受训时间除以60,得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用 分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽 取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”【详解

35、】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为乙、r,则（小时）20x5 + 25x10+10x15 + 5x20608x4 + 16x8 + 20x12 + 16x16 1A n , 、10.9 (小时)60据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10 <10.9,据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：9x10 = 2, 30来自乙组的人数为：x20 = 4,30记来自甲组的2人为：久b；来自乙组的4人为：c、d、e、于，则从这6人中随机抽取2 人的不同方法数有：(a,b),®c),(a,d),(a,e),(a J) ,(c,d),(c,e),(cj) , (d,e),(d,共 15 种,其中至少有1人来自甲组的有：(a,),(a,c),(a,d),(a,e),(aj),9 3共9种，故所求的概率P = E =【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查占典概型的计算方法，属于中档题.2326. （1）。= 3,。