2021年1月高三学业水平考试数学试卷及答案

1、2021年1月高三学业水平考试数学试卷及答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）L函数/（x） = J匚3的定义域为（）A. 1,+co)C.（D.(-1)解析：选C由1xNO可得xWl,所以函数的定义域为（p,1 .故选C.2,若数列q是等比数列，且4=3,%=-6,则4 =（）A. 12B. -12C. 2D. -2解析：选A因为数列%是等比数列，且a2=3,%=6,所以可知q = &_ = 2,所以a4 =a3q = 2.3,直线2x-y + 2 = 0的斜率为（）A-1B.C. 2D.A

2、解析：选C k= = 2.B4 .己知角。满足sing = L,则cos2,=(A- 42B. 12C.D.解析：选B因为sin9 = 1,所以cos2e = l 2sin2g = l 2x-2)5 .若平面向量£ = (-L0)出= (3,2),则£.0-坂)=()A. 2B. 一3解析：选D因为 £ = (-1,0)4= (3,2),2*1aa (一)=a -a- = 1 + 3 = 4 正视图D. 4侧视图6 .如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（）俯视图A.九B.2兀C. 3乃D. 4万解析：

3、选B 由三视图可知该几何体是一个底而半径的1,高为2的圆柱，所以该圆柱的体 积为丫 = 2期.1 47 .若正数。/满足必=1,则上 +2的最小值为() a bA. 1B. 2C. 3D. 4解析:选D 因为他=1,所以！ + 222,口金=2 = 4.当且仅当1 = ±, =,/=2 a b la ba b 2时取等号.8 .下列函数中是奇函数且在(。，)上单调递增的是()A. y = x2B. y = -x3C. y = -D. y = log. xx解析：选C 由题可得，函数)，= /是偶函数，且在(0,+8)上单调递增，所以排除A：函数V = -F是奇函数，且在(0,+8)上

4、单调递减，所以排除B：函数是奇函数，且在 X(0,+8)上单调递增，所以C满足条件：函数)，= log2X是非奇非偶函数，且在(0,+s)上单调递增，所以排除D.故选c.x > 1,9.实数X,)，满足约束:条件3x + 4y <15,若该约束条件满足的可行域的面积为15 ,则实数 y>aa的值为(10.在AA3C中，角A,8,C所对的边分别为,若 = 3,c = 3jJ,3 = 30 ,则。=()A. 6B. 3C. 6 或3D. 6 或4解析：选C因为 = 3,c = 3j5,3 = 3（y ,由余弦定理/22=42+,2一2a858可知，a2-9 + 18 = 0,解得

5、。=6或。=3.故选C.21L双曲线/ 一二=1的两条渐近线的夹角为（）3A. 30B. 60C. 90D. 120解析：选B由题可得，双曲线的渐近线方程为），=±底，其与x轴的夹角为60 ,所以由夹角的定义可知，这两条渐近线的夹角为60 .故选B.12.已知函数/（x） = 3sin（2x +二），则下列说法正确的是（）6A.图象关于点（£,0）对称B.图象关于点（£,0）对称63C.图象关于直线x = £对称D.图象关于直线x = £对称63解析：选C 由题可得，设2工+工=攵乃，解得工="一工，所以可知函数的对称中心 6212为

6、（匕一£.0）/eZ）.设2 +巳=%4+三，解得工=匕+工，所以可知函数的对称中2126226心为x = 十三（kwZ）,通过对比选项可知，图象关于直线工=巳对称成立,故选C. 26613 .已知：,一2|3, q:x>5 ,则9是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A由卜一2|>3可得太<一1或x>5,所以夕是的充分不必要条件.故选A.14 .己知直线/平而a,动直线?与直线/所成角的大小为£,则平而a截动直线/运动所 3成的轨迹得到的图形是（）A.圆B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析：选C由题可

7、得，动直线按条件运动所得轨迹被平面。截得的图形是双曲线.故选C.15 .已知点41,2,5）,8（3,-4,1）,若点。在X轴上，且满足|4。|=怛。|,则点。的横坐标A. -2B. 2解析：选 D设 C(a,0,0)，因为 |AC| = |BC| ,所以& +1）2 + 2。+ 5? = 3）2 + （7）2 + 1 ,化简得=一；.故选D.16 .曲线），=1 + >/二7与直线），=攵。-2） + 4有两个交点，则实数我的取值范围是（B(舒c, (rl)D.（0,不） 1乙解析：选A 由题可得，曲线y = l + J匚9对应的图象是如图的半圆，要使曲线y = l + j4x

8、2与直线y = k（x-2） + 4有两个交点，则直线y = k（x-2） + 43过点（一2,1）,代入可得攵=二，且处于切线的临界点，455 3此时女=二，所以实数k的取值范围是（二.故选 1212 4A.17.若向量力I满足二=2Z +坂=2,则"在B方向上投影的最大值是（）A. 1B.-1C. x/3D. -x/33 +产2B解析:选D 设.= (2,0),石= (x,y).由2a+ b = 2可得(x + 4f+ y? = 4 .所以Z在3方向t c a , b 2xx_上的投影为 a cos£ = - = =.令/ = J2x 3,则1=b ，厂 +厂 v-2x

9、-3以原式为一二L 4 一.故选D.It18.如图，在棱长为1的正四而体£）_A3。中，O为AABC的中心，过点0作做直线分别与线段4及AC交于M,N （可以是线段的端点），连接DM >点尸为。W的中点，则以下说法正确的是（）A.存在某一位置，使得加_1面。4。B. Sum,的最大值为半4C. tanZNDWN + tanZ/DMW 的最小值为 12D. 的取值范围是V".mnbaL 5 J解析：选D 本题考查空间几何体的综合问题.由题可得，选项A中，当线段MN变化时,MN 手 DN ,所以排除：S=-MN-DO = MN<x- = ,所以排除 B： 26624

10、YD-MNC _ ''D-MNBA对于选项D,因为工乎，9sMyc釜，又因为Sm=S»slS 所以曰±1.故选D.S MNBA Susc - SaWNC 5二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)19 .设全集为R,若集合尸= (0,2,则尸UQ=，(解加。=.解析：1,2： -1,0 因为夕= (0,2, C = -l,l, PUQ = 1,2,又因为 qp=(s,ou(2,+oo),所以(qp)no=T,。.20 .已知等差数列q的前项和为S“，若S, = 72,则 =. 解析：8因为数列是等差数列，所以§9 =9% =72,解得巴=8

11、.21 .已知直线/过圆(工一1)2+。-2)2=4的圆心,当原点到直线，距离最大时,该直线/的 方程为.解析：x + 2y-5 = O设圆心为A(l,2),要使原点到直线/距离最大时，则O4_L/,所以匕=一一匚=1.所以直线/的方程为y 2 = *一1),即x + 2y 5=0.降 2222 .若至少存在一个x0,使得关于x的不等式f <2-卜一可成立，则实数。的取值范围 是.解析：(25) 要使不等式成立，即x-a<2-x2成立，令/W = |x-rt|,（x） = 2-x2,函数/。）=卜一可与工轴交于点（4,0）,与y轴交于点 （0,同）.当函数/。）=卜一的左支与），轴

12、交于点（0,|），此时有<0,若同之2,解得 。之2或。<一2,则当。工一2时，在y轴右侧，函数/（外=k一可的图象在函数 g（x） = 2 V的上方，不合题意：在y轴右侧，当函数/。）=卜4的左支与曲线 g（x） = 2-x2相切时，函数/（工）=卜一可左支图象对应的解析式为y = ax,将y = 一x 代入），=2-丁，得一x = 2 V,即/一工+ （-2） = 0,由判别式为零可得9一47 = 0,OO解得 =1，则当时，如图（一）所示，在y轴右侧，函数/5）=卜一|的图象在 函数g（X）= 2-W的上方或相切，则不等式,一偿2-犬在（0,+s）上恒成立，不合于题 O意：当

13、一2<4<*时，如图（二）所示，在），轴右侧，函数/ （大）=|工一同的图象的左支或 右支与函数g（x） = 2V相交，在），轴右侧，函数/（x）的图象中必有一部分图象在函数 g（x） = 2r的下方，即存在.丫>0,使得不等式卜一卜2-12成立，故实数的取值范三、解答题（本大题共3小题，共31分）23 .（本小题满分10分）在等差数列”中，q =3,其前项和为S”，等比数列"的各项均为正数，4=1,公比为人且用+S?=12,S?q = bj(II)证明:解：（I）设q的公差为d,因为h2 + S2 =12,S) q =;仇q+ 6 +cl = 12,6 + J q

14、 =q解得9 = 3或q = -4 （舍去），d = 3.所以% =3 + 3(，- 1) = 3，仇=3-1（II）因为。=3，所以S =(3 + 3)），所以L = Sn所以亨-=如11111 -J - + - 1- +24.（本小题满分10分）已知椭圆（7:二十;=1（。>8>0）短轴的一个端点与椭圆。的两 cr b'个焦点构成面枳为3的直角三角形.（I）求椭圆C的方程:（II）过圆£/ + 丁=2上任意一点。作圆£：的切线/,若/与椭圆。相交于48两点.求 证：以A8为直径的圆恒过坐标原点。.解：（I）设椭圆。的焦距为2c,b = c, a2 =

15、3,解得/ =6,b? =c2 = 3.2a2 =b2 +c2所以椭圆C的方程为三十二=1. 63(II)圆石的方程为/ + 丁=2,设。为坐标原点，当直线/的斜率不存在时，不妨设直线48方程为x =应，则 A(应,JI), 8( -&)，所以 N4O8 =巳.2此时，以A8为直径的圆过坐标原点.当直线/的斜率存在时,设其方程设为y =丘+ /，设4石,片),5(%2，%)-因为直线/与圆E相切，所以4=/川 =日 解得/=2 + 2公.V1+F联立方程组 ":"消元化简得(1 + 2k?)x2 + 4kntx + 2/ -6 = 0 厂+2)广=6 = 16k2m

16、2-4(1 + 2攵 2 )(2 6 2-6) = 8(44 + 1)>0,由韦达定理得玉+=一二竺 1 + 2k2nr -6- 1 + 2G所以 OA OB =玉4 + )',2 = (1 + 攵 2+ km(x1 + x2) + m2 =(.*；)；”4k2m2)3/一6/一6 八- + nr =；=0. + 2k2 + 2k2所以。4_LO8,此时，以48为直径的圆恒过坐标原点0.综上可知，以A8为直径的圆恒过坐标原点0.25.(本小题满分11分)已知函数/。)=卜2 +回(a e R).(I)若/(x)在0,1上单调递增，求实数”的取值范围；(II)记”(a)为"X)在0,1上的最大值,求M(a)的最小值.解：因为xe0,l.当。2 0时，f(x) = "2 +一在区间0,1上单调递增:当。<0时,/(x) = x2+ax =-(x2 + ax).0<x< -a,x2 + ax, x > 一。所以要使/(x)在0,1上单调递增，则需一21,即。工一2.2所以满足条件的实数的取值范围是(-s,2UO+s).(II)由(I)知，当。工一2或 20时，/(X)在0,1上单调递增,当一2<a<0时，M(a) = max( /(一9,/(1) , = m