相似三角形六大证明技巧

1、相似三角形六大证明技巧第2讲相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结：1 .平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似.2 .三边成比例的两个三角形相似.(SS93 .两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS)4 .两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5 .斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法总结： “反A型与“反X”型.示意图结论CB反A型：如图，已知 ABC, /ADE = /C,则AADEs ACB (AA),.AE AC=AD AB.若连CD、BE,进而能证明 ACDsABE(SAS)反X型

2、：如图，已知角/ BAO=ZCDO,则AOBs”OC(AA),. OA OC=OD OB.若连AD, BC,进而能证明AODsBOC.“类射影”与射影模型示意图结论类射影: 如图，已知 ABC, /ABD=/C,则AABDs ACB (AA),. ab2=AD AC.射影定理 如图，已知/ ACB=90°, CH LAB 于 H,则_22_2_AC =AH AB, BC = BH BA,HC = HA HB171示意图结论A4C旋转相似：如图，已知 ABCAa ab ab rj AB AD/ AADE,则 AC - AE :/ BAC-/DAE, ./BAD=/CAE, .BADsC

3、AE(SAS；)DJE一线三等角：如图，已知/ A=/C=/DBE 冏 ADABsABCEABCDBE d 贝U AA DABBCE(AA)“旋转相似”与“一线三等角”类射影如图）已知AB2=ACAD,求证：BC嚼A射影定理已知 ABC, /ACB=90 ,CH工AB于H,求证:_ 222AC =AH AB , BC =BH BA , HC =HA HB模块二比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明， 离不开“平行线模型" （A型，X型，线束型）， 也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老 师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎 样使用工具，怎样用好工具，取决于

4、我们如何思 考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的 利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常 用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算.三点定型【例1】如图）平行四边形ABCD中）E是AB延长 线上的一点）DE交BC于F,求证：DC =CF .AE ADDC一tE【例2】 如图）MB。中）/BAC=90 M为BC的中点， DM，BC交CA的延长线于D,交AB于E.求证：AM2 =MD MEDBC【例3】 如图，在R-ABC中，AD是斜边BC上的高,2ABe的平分线BE交AC于E,

5、交AD于F.求证:BF ABBE -BC -1710.寸 J4LU 大悄悄地替换比例式中的某条线段【例4】 如图，在 ABC AD平分/ BAC AD的 垂直平分线交AD于E,交BC的延长线 于 F）求证：FD2=FB FC【例5】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在/ECA=/D 求AB=AC）朋是中线）p是AD上一点，过。作/池,延长Bp交AC于E ,边BA的延长线上）CE交AD于F 证： AC BE =CE .AD .【例6】 如图，ZAC时等腰直角三角形，AB=AC/ BAC=90 ） / DAE=45 ）求证：_ 2AB =BE CD【例7】如图， ABC中,CF T F .

6、求证:BP2 = PE PF.技巧三：等比代换【例8】 如图，平行四边形ABCD中，过B作直线ac、AD于O, E、交CD的延长线于F,求证：2 OB =OE OF例9如图）在MB。中）已知4=90 =时）AD，BC于D, E为直角边AC的中点）过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB AF =AC df【例10如图，在 ABC中（AB>AC）的边AB上取一点D ,在边AC上取一点E ,使AD=AE ,直线DE和BC的延长线交于点P.求证:BP CE =CP BDAP等积代换【例11如图）MBC中）BD、CE是高）EH，BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M .求证：一 2 一HE

7、 二HG MH【例12如图）在ABC中）AD,BC于D, DhAB于E,DF，AC于f ,连 EF,求证：/ AEF = /C【例13如图，在小眈中，血。=90 D为AC中点,. CBD =/ECDae，bd, e为垂足）求证:【例14】在RtUBC中，ADLBC, P为AD中点）MN ±BC,求证 mn2=annc证等量先证等比【例15】已知，平行四边形ABCD中，E、F分 另I在直线AD、CD上，EF/ZAC, BE、 BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.【例 16】已知如图 AB=AC, BDZZAC, ABZZCE, 过A点的直线分别交BD、CE于D、 E.求证:AM

8、=NC, MNZZDE.【例17如图，ZXABC为等腰直角三角形，点P 为 AB 上任意一点，PF±BC,PE±AC, AF交PE于N, BE交PF于M.，求证：iiiiPM = PN, MN/AB.A1718【例18如图，正方形BFDE内接于 ABC,CE与DF交于点N , AF交ED于点M ,CE与AF交于点P.求证：（1）MN/AC;（2） EM = DN.【例19】（X）设E、F分别为AC、AB的中点，D 为 BC 上一点，P 在 BF 上，DP/CF, Q 在 CE 上，DQ/BE, PQ 交 BE 于 R, 交CF于S,求证：Rs、pQ3【例20(X)如图，梯形ABCD的底边AB上 任取一点M,过M作MK/BD, MN/AC,分别交 AD、BC 于 K、N, 连KN,分别交对角线AC、BD于P、 Q,求证：KP=QN.一技巧八.儿小I分【例21】(2016年四月调考)如图，在 ABC 中，AC>AB, AD是角平分线，AE是 中线，BFLAD于G,交AC于点M, EG的延长线交AB于点H. (1)求