2021届山东省济宁市高三上学期期末数学试题

1、2020届山东省济宁市高三上学期期末数学试题学校;姓名:班级:考号:一、单选题1.设集合 =xl-lKxKl, N = xllv214,则 MflN =A.xl-l<x<0) B. xl0<x<l)C. x 1 <x<2)2.若 a = 2" = ln2,c = log2：MJ(A.b>c>aB. h>a>cC. c>a>bD.a >b>c3.在 AA3C 中，A3 = 1, AC = 3,而- 3C = -1,则 MBC 的面积为(A.B. 1C. 72D.4.已知A, 8, C为不共线的三点，则砺

2、+衣| = |丽-亚|”是“AA8C为直角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数 y = -2cos2x + cosx + 1,一!，£的图象大致为（2 2B.D.6.已知奇函数/"）在R上单调，若正实数。力满足4。）+ /（。-9） = 0,则，+ - a b的最小值是（）A. 19 B.-2C. 9D. 18，27.已知"，F）是双曲线二-二=1（0力0）的左、右焦点，若点F）关于双曲线渐近 a If线的对称点A满足 AO = AAOFX （ 0为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. y =

3、77;2xB. y = ±yj3x C. y = ±& D. y = ±x8 .已知函数”力=111工+ （1-。卜+。（。），若有且只有两个整数小大使得且/（）0,则。的取值范围是（）(3 +In 3/八 c ,3 +In 3cleA. I 0, -B. (0,2 +In2)C. -,2 + ln221n2 + 4 3 + ln3)D. ；一一-32 )9 .下列命题中的假命题是（）B. PxeN： (x-1) >0C.上eR, IgxvlD.上eR, tanx = 2A. VxeA, 2r"1 0二、多选题jr10 .将函数/（&quo

4、t; = sin2x的图象向右平移-个单位后得到函数g（工）的图象,则函数g（x）具有性质（）A.在上单调递增，为偶函数B.最大值为1,图象关于直线x =-对2上单调递增，为奇函数D.周期为江图象关于点, 彳'°1对称H.已知?、为两条不重合的直线，2、/为两个不重合的平而,则下列说法正确的是（）A.若72,/尸且C/7,则?“B.若tn/,m工a,n工0,则al 10C.若 ml In, n ua,ct /10, in c C 则 ml I pD.若】/，八则，/?12.设等比数列att的公比为q,其前项和为S，前项积为7；,并满足条件% > 1M加9，。，0 >

5、; 1, J二< ° ,下列结论正确的是（） 2020 _ 1A. S2O19<S2O2OB . 20】9。2021 - 1 <。C. 72020是数列中的最大值D.数列1无最大值三、填空题13 .在（X-0），丫的展开式中，含X4y4项的系数是.14 .已知抛物线C：V=8x的焦点为产，准线为/,2是/上一点，。是直线尸尸与C 的一个交点，若而=3也，则1。/1=.15 .下图是两个腰长均为10c机的等腰直角三角形拼成的一个四边形A8C。，现将四边 形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A - BCD的外接球的体积为 （77/3 四、双空题16 . 2

6、019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明 史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文 明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规 律.己知样本中碳14的质量N随时间f （单位：年）的衰变规律满足汽=乂,-2-盛（"0 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的：经过测13定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的万至二，据此推测良渚古城存在的 时期距今约在 年到5730年之间.（参考数据：1%346,叫2522.3） 五、解答题17 .已知等差数列满足。2

7、+ % = 6,前7项和£ = 28.（1）求数列也的通项公式；2n设a =1)(而+1),求数列也，的前项和U -18.已知 / (x)=让sin(;r-x)sin + x -cos2 x.若/ y =记，求8s10在aABC中，角A,民C所对应的边分别小4c,若有Qc)cos8 =0cosC,求角8 的大小以及/(A)的取值范闱.19.如图,在平行四边形ABCD中，AB = 1,8C = 2,乙BAD = 120 ,四边形ACEF为正方形,且平而ABCD L平面ACEF.证明：A3_LB;求平面BEF与平面5CF所成锐二面角的余弦值.20.如图，某市三地4瓦C有直道互通.现甲交警

8、沿路线A8、乙交警沿路线AC8同时从A地出发,匀速前往8地进行巡逻,并在5地会合后再去执行其他任务.已知AB=0km,AC=6km9 BC=Skm9甲的巡逻速度为5包】/儿乙的巡逻速度为10k”瓦求乙到达。地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；21 .已知椭圆E:二十二a2 b2(2)己知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达。地这一时刻算起,求经过 多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系.=1( > > 0)的一个焦点为(0,、8)，长轴与短轴的比为2:1.直线/: y =辰+ 7与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线/的斜率.(1)求椭圆上的方程；若以线段PQ为直径的圆过

9、坐标原点问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆0,不论直线/的斜率k取何值,定圆。恒与直线/相切?如果存在,求出圆0的方程及实 数，的取值范围；如果不存在,请说明理由.22.已知函数f(x) = x-sinx,g(x) = x+71nx.求证:当同4 1时,对任意x (0, -K0), f (%)> 0恒成立；求函数g(x)的极值；(3)当=；时，若存在了2 £(°，一)且玉。士，满足/(玉)+8&) = /()+ 8(%)，求证：, V，参考答案1. B【解析】因为M =xl-l«xKl, N = .vll2, <4 = xl0vxv2,所

10、以McN = xlO<xKl,故选 B.2. D【解析】【分析】计算得到>1： 0</?<1： cvO得到答案.【详解】a = 2(U >2° = 1 ： O = lnl<Z? = ln2<ln6> = l： c = log2<log, 1 = 0,即"故选：D【点睛】本题考查了比较数值的大小，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.3. C【分析】根据福亚=一1得到cosA = 2,即sinA = 3，再利用而积公式计算得到答案. 33【详解】AB = 1, AC = 3, AB - AC = |ab|-|ac| cos

11、A = 3cos A = 1 cos A =-故 sinA = , .S' = AB - AC sin A = -jl 32故选：C【点睛】本题考查了向量的运算，而积的计算，意在考查学生的计算能力.4. A【分析】分别判断充分性和必要性：平方得到而*=0,充分性：当N5或NC为直角时，|ab+ac|ab-ac|,不必要：得到答案.【详解】若I丽+衣卜I丽一衣两边平方得到+AC +2AB AC = AB +AC -2AB AC :.AB AC = O 即而_L/故AABC为直角三角形，充分性：若AABC为直角三角形，当或NC为直角时，口石+卜而一不q,不必要: 故选：A【点睛】本题考查了

12、充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.5. B【分析】先根据函数为偶函数排除A, D,再根据/(式)的最值可得正确的选项.【详解】：/(一幻= -2cos2(-x) + cos(-x) + l =-2cos+ cosx + l = fx),.函数"X)为偶函数.故排除选项A, D., «/、 c )1/1、)97t 7t/ (x) = -2cos+ cosx +1 = -2(cosx )h, a, g ,一 ,'48 L 2 2j,: 0 < COSA < 1 ,19,当COSX = :时,/*)取得最大值二；当cosx = 1时，/(x)取得最小值0

13、.故排除c. 48故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，注意根据函数的奇偶性、单调性、最值以及特殊点处函数的大小来判断，本题为中档题.6. A【分析】根据f(4a)+/(/?-9) = 0,得到7+8 = 9,变换，+，=+ 利用a b 9 a b),均值不等式计算得到答案.【详解】奇函数/(X)在R上单调，/(4。)+/(-9) = 0,则/()= /(/?-9) = /(9一)故 4, = 9 一即 4a+b = 9111 1 1". 1 b 4 1、1+ = - + (4a + b = - + + 5 > - 2a/4 + 5) = 1a bb)'9a b J

14、 9 v )当9 = W即"=/=3时等号成立a b 2故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，均值不等式，变换，+ : =1 + ! 1(4 +a b 9 a b)v解题的关键.7. B【分析】先利用对称得AM,根据N£AO = NAO可得力"=c,由几何性质可得ZAf；(9 = 60 ,即心=6(T,从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M为4F2的中点，且因为/写40 =乙40月，所以4后=耳。=小 故而由几何性质可得ZAFO = 60 ,即入=60 ,故渐近线方程为)，=±居，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识

15、，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出%=60 是解题的关键，属于中档题.8. C【分析】求导得到/'(x) = L + (l a)，计算= 讨论。41,两种情况，得到函数单调区间，得到2)>0且/(3)<0,计算得到答案.【详解】/(x) = lnx+(l-4)x+(a>0), /*(.) = - + (1-6/), /= lnl+(l-a) + = l X当。<1时，函数单调递增，不成立：当4>1时，函数在10,一二上单调递增，在(一上单调递减： k a-)有且只有两个整数.&使得且)>0,故2)>。且"3)4。即 1。2

16、+ 2 2，+。>0,1<11】2 + 2： ln3 + 3-3a + aKO.a-n3 + 32故选：C.【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，意在考查学生对于函数性质的综合应用.9. B【详解】试题分析：当x=l时，(x-1) 2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B.考点：特称命题与存在命题的真假判断.10. ABD【分析】化简得至Ig(x) = -cos2x,分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】/ 冗、 / 冗、e(x) = sin2 x- =sin 2x- =-cos2xV 7 I 4J I 2)/ 0,J则2xe 0,1

17、；, g(x) = cos2x单调递增，为偶函数，A正确C错误;4 72 J最大值为1,当工=一二时2工=一3乃，为对称轴，4正确: 2c7/ Q 、7 =-=4，2x = - + k.x = - + ykeZ,当女=1时满足，图像关于点 手,02242I 4 J对称，。正确：故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性，奇偶性，对称，意在考查学生对于三 角函数知识的综合应用.11. BC【分析】根据直线和直线，直线和平而，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若 ?/&,/尸且&/月,则可以?，?，异而，或7"相交，故4错误

18、：B.若?”,/_La,则_La，又_L故。夕，5正确;C.若""，"ua,则闭|a或"qa,又a/7,故"/7, C正确;D.若则团_La , a _L/7,则/n4或夕,D错误;故选：BC【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平而，平而和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能 力.12. AB【分析】 计算排除4<0和4之1的情况得到0<夕<1，故42019>1，0<。2。20<1，得到答案.【详解】当 q <。时,。2019,2020 =。2019 4 <。9 不成立;a 7nic>

19、1 八当 g 时，«2019 > 12020 > 1, 不成立；“2020 1故 ° <。< 1 ,且 “2019 > 1，0 <。2020 V 1，故 $2020 > 2019 * A 正确;。2019a2021 1 =%020 1 < 0 ,故 8 正确;/。19是数列中的最大值，错误：故选：AB【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.13. 280【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】卜_心，了的展开式中：7；7=C；x8f(_"y)',取r= 4得到/y项的系数为C

20、： (-V2)4 = 280故答案为：280【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14. 3【分析】首先利用相似，求出线段LWQI长度，然后利用抛物线定义，化|。门为IMQI,【详解】设。到抛物线准线的垂线段为|M2|,贝|J|M0| = |QF|.抛物线焦点到准线的距离为4,如图,由抛物线定义及而=3%133故答案为：g【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于简单题.15. 500信【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球, 由于正方体的对角线长为/ = 2R = 10jJ,即球的半径R = 5jJ，该球的

21、体积 卜=（笈/?3=500信，应填答案500后.点睛：解答本题的关键是依据题设条件，构造符合题设条件的正方体，借助三棱锥的外接球 与正方体的外接球是同一个球的事实，求出正方体的对角线长，即三棱锥的外接球的直径, 进而求得外接球的半径使得问题获解.16. 140112【分析】（1）根据衰变规律，令，=5730,代入求得=：乂；3（2）令N =，N0,解方程求得/即可.【详解】当1 = 5730时，N = No2'=、No，经过5730年后，碳14的质量变为原来的;223q/3令N =1N0,则2-标=二.= log、二= log,3 log,50.7555730.5'-:.t=

22、 0.7x5730 = 4011,良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为：；4011【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.17. % = （2）7； =1-一!一'，3 2n+I +1【分析】（1）利用等差数列公式计算得到答案.1T11（2）裂项得到a =（ 7十）（赤十）=ft?一5匚7 代入数据计算得到答案【详解】 设等差数列4 的公差为d,由2 + 4 = 6可知“3 = 3,前7项和s7 = 28 .,4 =4,解得q =1,4 = 1. . =1 + 1(-1)=比2(2也=2(2 册 +1)(2% +1

23、)(2 +1乂2叫1) 2" +1 2n+, +1,4 前项和1 = 4 + 3 +bn(11 W 11 、11 A=+ + + -U1 +1 22+) l22+l 23+1J 12+1 2n+I +1)_ 1 1二二 2用+【点睛】本题考查了等差数列通项公式，裂项相消法求前项和，意在考查学生对于数列公式方法的 综合应用.18. (1)25(2) 8 =工，取值范围是一1,； 32【分析】sin 2x -6)于根据/仁卜而得到可1210用二倍角公式”算得到答案.(2 )利用正弦定理得到(2sin A-sin C)cosB = sin 8cosC,化简 cos 8 = g, /. B

24、= 1,it,计算得到答案.【详解】(1) f (x) = >/3sinxcosx-cos2 x =因为/ y =sin)7T a6=二，所以sin a- -1。k 610=3=5716J 2所以cos 2a+ I 3= -cos 2aI 3 J=2sin2a6)-1 = 2x35>1 = 25(2)因为(2ac)cos8 = cosC,由正弦定理得: (2sin A - sin C)cos B = sin Bcos C,所以 2sin AcosB-sinCcosB = sin8cosC,即 2sin Acos3 = sin(3 + C) = sin A,因为 sin A >

25、0, cos 8 = ,：.B =2,所以4 +。二三 2332Ae66' 6,所以 sin(2A-),所以/(A)的取值范围是【点睛】本题考查了三角函数化简，二倍角公式，正弦定理，取值范围，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.见解析(2)空.5【分析】(1)利用余弦定理得到AC =证明A3_LAC, AF±AC, A/_L A8得到从8_1平面ACEF得到答案.(2)分别以AB, AC, AF所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平而 BEF的一个法向量方=(6,0/)，平面3CF的一个法向量为云=(6，1)，计算夹角得到 答案.【详解】在平行四边形A5

26、CD中，ZABC = 180 -120 =603,在 AABC中，由余弦定理得：AC2 =AB2+BC2-2AB BCcos60 =3,即 AC = C，由 BC2 = AC2 + AB2ZBAC = 90 ,所以AB_LAC又四边形ACEF为正方形,所以A/ _L AC,又平而ABCD _L平面ACEF,平而ABCD 0平而ACEF-AC所以A/_L平而ABCQ,所以AF _L A3,又AEcACM,所以AB_L平而ACEF, bu平而ACEF所以 A5_LCF.由AB, AC, AF两两垂直,分别以AB, AC, AF所在直线为乂 F Z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则 A(。，。，

27、。)，B( 1,0,0), C(0,75,0),尸(0,0,4),E8小， 设平面 3EF 的一个法向量3 = (x,y,Z), BF = (-1,0,75),EF =(0,-73,0),n - BF = x + J5z = 0 则 一 _ '取z = l，.Ji-EF = -y3y = 0同理可得平面BCF的一个法向量为荷= 设平而8EF与平面8CF所成锐二面角的平面角为6,则 COs6 = =Tr m 4 _2675x25，平而BEF与平而3c厂所成锐二面角的余弦值为生. 5Z,【点睛】本题考查了通过线而垂直证明线线垂直，二而角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20. （1）

28、浮.（2）二小时 5【分析】（1）计算cos4 = 1, AD = 3kni,利用余弦定理计算得到答案.当;$一:时，/(f) = 7 - 5/K3k，（2）当时，得到/。） = 3/5/一61 + ?计算得到答案.【详解】3 由 AB = 10km, AC = 6km, BC = 8km,：, ZACB = 90，.二 cos A =-.设当乙到达。地时，甲处在。点,则题=M = 3痴C所以在根。中，由余弦定理得：CD2=AC2+AZ)2-2ACAD-cosA = 62+32-2x3x6x- = :.cd .冷55即此时甲、乙两交警之间的距离为孚5(2)设乙到达C地后,经过7小时，甲、乙两交

29、警之间的距离为川刖，4在 ABCD 中，BC = 8%, BD = 7km. cos ZABC =-4n乙从。地到达B地用时/ =三小时，甲从。处到达8地，用时=5小时，4所以当乙从。地到达B地,此时，甲从。处行进到七点处，且。E =x5 = 4k/n, BE = 3km4所以当不时，/(r) = (8-10r)2+(7-5/)2-2(8-10/)(7-5r)| = 35r2-6r + yI13294令/“)>3,，小5/ 一61+-6/ + ->0,，。<，<二或，>二(舍去)i3335又当。4,4g时，甲、乙两交警间的距离f(f) = 7-5t< 3km

30、因为甲、乙间的距离不大于时方可通过对讲机取得联系2所以,从乙到达。地这一时刻算起,经过=小时，甲、乙可通过对讲机取得联系.【点睛】本题考查了函数，余弦定理的应用，意在考查学生的应用能力.21. (1)? + /=1(2)存在，/+),2=机的取值范围是(_0。,一手)=手,+6【分析】（1）根据题意直接计算出。=2力=1得到答案.（2）设直线op的方程为：y = tx, P点的坐标为（, y°）,则尤=%,联立方程组 4V2 2，解得：xi=,一-设坐标原点。到直线/的距离为4则有+ X- =14 + 广4PQd = OPOQ t得到4 = 管，计算得到答案.【详解】由已知得：C =

31、 >/3a = 2bcr =/r+L解得：4 = 2,。= 1二椭圆E的方程为tY = 14（2）假设存在定圆。,不论直线/的斜率左取何值时,定圆。恒与直线/相切.这时只需证明坐标原点。到直线/的距离为定值即可.设直线0P的方程为：丁 = X P点的坐标为（/，Jo）,则%=区）,联立方程组y = txy1 ,，解得：片=丁二+ x2=l4 + 广、4 |O 可=玉；+ 4 = (1 + ")焉=I；? ®,以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,OPLOQ,直线。的方程为：y = -x4在式中以一;换/，得=-同=防十|。域=4+H)1+4广4(l + r) 40+产)2

32、0(1+r)2r+41 + 4 /(l + 4r2)(r2 +4)设坐标原点。到直线/的距离为4则有|PQ|d =|。4|。|4（1 +/）4（l + r）.屋。尸门。匚 KF RF _ 42有PQ-20（1 + 严 55（1+4 -产 +4）又当直线0P与轴重合时，P（O,±2）,0（±1,O）此时d = 当由坐标原点o到直线/的距离"=土 为定值知,所以存在定圆0,不论直线/的斜率k取何 5值时，定圆。恒与直线/相切,定圆。的方程为：x2 + y2=p直线/与轴交点为（0,?），且点（0,加）不可能在圆。内，又当右。时,直线/与定圆。切于点26所以阳的取值范围

33、是【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能 力.22.见解析（2）极小值T + ?ln（f ）无极大值.见解析【分析】求导得到f'（x） = l-COSX,即r（x）N。，函数单调递增，得到证明.（2）8（'=1 +丝=二'（%>0）,讨论后0和 7co两种情况，分别计算极值得到答 A X案.（3） /（x） = x Jsinx在（。,+ 8）上为增函数，当?N0时不成立，不防设0<M</ /（玉）+ 8（、） = /（）+ 8（犬2），计算得到一，（卜/一心为）>（/_玉）>。，号<：， 即证，2>2再入），设，=包>，只需证上1>，计算最值得到证明.4%Inr【详解】(1) f(x) = x-asinx,:.ff(<x) = -acosxv-l<cosx<l, /'(x) = l-ocosxNO, /(x) = x-si