6年级奥数不定方程

1、龍腾学科教师辅导讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号： LTJY001年 级：六年级课时数： 3学员姓名 : 王窈瑾辅导科目：数学学科教师：孙仁龙学科组长签名及日期2015.01.14教务长签名及日期课题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间： 2015.01.15备课时间： 2015.01.02教学目标1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法重点、难点重点：不定方程定理的理解 难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用考点及考试要求不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出 现.教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论

2、中的一个重要课题， 不仅是数学竞赛， 甚至在中考试卷中也常常出现 . 对于不定方程 （组）， 我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题 .二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组） ，其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定 . 重要定理：设 a、b、c、d 为整数，则不定方程 ax by c 有：定理 1 若 （a,b） d,且 d 不能整除 c，则不定方程 ax

3、 by c没有整数解；定理 2 若（x0,y0）是不定方程 ax by c且的一组整数解（称为特解） ，则 x x0 bt,（t 为整数）是方程的全部y y0 at整数解（称为通解） . （其中 （a,b） d ,且 d 能整除 c） .定理 3 若 （x0 , y0 ）是不定方程 ax by 1， （a,b） 1的特解，则 （cx0,cy0）是方程 ax by c的一个特解 . （其中 （a,b） d ,且 d 能整除 c）求整系数不定方程 ax by c 的正整数解，通常有以下步骤：（ 1） 判断有无整数解；（ 2） 求出一个特解；（ 3） 写出通解；（ 4） 有整数 t 同时要满足的条件

4、（不等式组） ，代入命题（ 2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.解不定方程（组） ，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（ 1）分离整系数法；（2）穷举法；（ 3）因式分解法；（ 4）配方法；（ 5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（ 7）不等式分析；（ 8）乘法公式 .【学法指导】【例 1】求下列不定方程的整数解（ 1） 2x 6y 8 ； （2） 5x 10y 13.【分析】 根据定理 1、定理 2 确定方程的整数解 .x 1,【解答】（1）原方程变形为： x 3y 4， 观察得到 x 1,是 x 3y 4的一组整数解（特解） ，y1根据定理 2 ， x 1 3t,（t是

5、整数 ） 是原方程的所有整数解 .y 1 t（2）（ 5， 10） =5，但 5 不能整除 13，根据定理 1，原方程的无整数解 .【点评】 先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解 . 求出的特解不同，同一个不定方 程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的 .【实践】 求下列不定方程的整数解（ 1）7x 14y 211 ； （2） 5x 14y 11.例 2】求方程 7x 19y 213的所有正整数解 .分析】 此方程的系数较大，不易用观察法得出特解 .根据方程用 y来表示 x ,再将含 y的代数式分离出整系数部分，然y0，然后再求 x0，写出通解，后对分数

6、系数部分进行讨论，赋予 y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的 再解不等式组确定方程的正整数解 .解答】 （ 7， 19）=1，根据定理 2，原方程有整数解 .由原方程可得 x213 19y 210 14y 3 5y 30 2y3 5y ，7，由此可观察出一组特解为x0=25 ， y0=2.方程的通解为2519t,19t,（t是整数 ） .其中 25 19t2 7t 00,2519272519t1,0代入通解可得原方程的正整数解为6,9.或xy25,2. 这样就容易找出一组整数解来点评】 根据定理 2 解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一

7、个未 知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法实践】 求方程 31 47y 265 的正整数解 .【例 3】大客车能容纳 54 人，小客车能容纳 36 人，现有 378 人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能 上车且各车都正好坐满 .【分析】 本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可 .【解答】 设需要大客车 x 辆，小客车 y辆，根据题意可列方程 54x 36y 378，即 3x 2y 21.又（ 3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解 . 易知 x1,是一个特解，通解为x 1 2t,x 1 2t,（t 是整数 ）y9y 9 9

8、t由题意可知12t 0,x 1,解得 t 0,1,2,3. 相应地 x 1,x3, x5, x7,99t 0y9y6. y3. y0.答：需要大客 1 车辆，小客车 9辆；或需要大客车 3 辆，小客车 6辆；或需要大客车 5辆，小客车 3 辆；也 可以只要大客车 7 辆，不要小客车 .【点评】 一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解 .【实践】 某次考试共需做 20道小题，对 1道得 8分，错一道扣 5分，不做不得分 .某生共得 13分，他没做的题目有几道？例 4】 某人的生日月份数乘以 31，生日的日期数乘以 12，相加后得 347，求此人的生日分析】 本题的隐含条件是：月份的取值 1

9、，12，日期的取值 1， 31.解答】设此人生日的月份数为 x ,日期数 y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.特解：x5通解：x512t12t (t是整数 )y 16y 1631t1x121512t 121y311 1631t31解得t0x5是符合题意解y16方法一方法二12y 347 31x 12|(347 31x)347 31x(mod12)11 7x(mod12) x 12t 5(t是整数 )1 x 12 1 12t 5 12 t 0 x5把 x 5代入原方程得： y 16答：此人的生日为 5 月 16 日.【点评】 求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解 . 其中方法二

10、是利用了同余的知识 .1【实践】 已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的1 ，求一切这样三位3 数的和 .例 5】（新加坡数学竞赛题 ）设正整数 m,n 满足 8m 9n mn 6，则 m 的最大值为分析】把 m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值 .解答】 8m 9nmn 6， 8m mn 6 9n， (8 n)m9n由题意可得，n8， m 6 9n 9n 6 9n 72 668 n n 8n866 ， n 8 ，点评】 m,n 为正整数， 当 n=9 时， m 有最大值为 75.实践】此题是求最值的问题，利用分离

11、整系数法是一种典型的常用方法（北京市数学竞赛题 ）有 8 个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能 3 个连续的正整数的和，那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是例 6】我国古代数学家张建丘所著算经中的“百钱买百鸡 ”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】 分析：用 x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：15x 3y z 1003x y z 100 如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程 .【解答】 解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为 x,y,z.x y z 1001z35x 3y100方

12、法一特解：4，18.(1)(2)通解：(2)×3(1)得： 14x+8y=200 ，即 7x+4y=100.4184t4t (t是整数 )7tx0y04184t7t解得t1187t 0,1,2.相应地 , 原方程有三组解：124418811788184方法二令7x 4y 1, 其特解为300 是7x5004y 100的特解 .4t4t (t为整数). y 500 7t通解：x 300下面的方法同方法方法三4y 100 7x (3)4 |(100 7x)，1007x(mod 4)，x 4 4t (t是整数 ).把 x 44t代入(3)得： y 18 7t即 :0 3x(mod 4)，4

13、xy 184t7t（t 是整数 ）.面方法同一点评】 充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解实践】 如果 1 只兔可换 2 只鸡， 2 只兔可换 3 只鸭， 5 只兔可换7只鹅.某人用 20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30 只 .问：6， 3， 21）其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（ 2，21， 7）、（4，12，14）、【例 7】求方程 2x 3y 7z 23 的整数解 .【分析】 对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解 .【解答】 设 2x 3y t ，则原方程可看作 2x 3y t, （1） 对于方程（ 1）x=-t,y

14、=t 是一个特解， t 7z 23. （2）从而（ 1）的整数解是 x t -3u, （3） （u是整数 ）y t 2u. （4）又 t=2,z=3 是方程（ 2）的一个特解，于是（ 2）的整数解是 z 3 v, （5） （v是整数 ） t 2 7v. （6）将（ 6）代入（ 3）、（4）消去 t 得到原方程的所有整数解为：x 2 7v 3u,y 2 7v 2u, （u、 v是整数 ） z 3 v.【点评】 一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的 形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式 .【

15、实践】 求方程 39x 24y 9z 78 的整数解 .【例 8】（海峡两岸友谊赛试题 ）甲组同学每人有 28个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学没人有 31 个核桃， 三组共有核桃总数是 365 个 .问：三个小组共有多少名同学？【分析】 设甲组同学 a人，乙组同学 b人，丙组同学 c人，由题意得 28a 30b 31c 365. 要求 a b c，可以运 用放缩法从确定 a b c 的取值范围入手 .【解答】 设甲组同学 a人，乙组同学 b 人，丙组同学 c人，则 28a 30b 31c 365. 28（a b c） 28a 30b 31c 365 31（a b c） ， 365

16、 a b c 365 .31 28 a b c是整数， a b c=12 或 13.但当 a b c=13 时，得 2b 3c 1，无正整数解 . 答：三个小组共有 12 名同学 .【点评】 整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法 .【实践】 Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay302. If she buy￥s 5radios,11 pens,3 bags,she will pay 508. Questi￥on: How much will Ali

17、ce pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例 9】 一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2，蓝球上标有数字3. 小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标的数字和等于 21.（ 1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（ 2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】 由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（ 2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】（1）设小明摸的红球有 x 个，黄球有 y 个，蓝球有 （10 x y）个，则 x 2y 3（10 x y） 21，整理，得 y 9 2

18、x，因为 x、y 均为正整数，可知 x 的最大值为 4.即红球最多不超过 4 个.2)由( 1)知蓝球的个数是 z 10 x y 10 x (9 2x) x 1，x 0, x 0,又 9 又 y 0, 9 2x 0, 解得 0 x .2 z 0, x 1 0.因此共有 4 种不同的摸法，如下： (1， 7， x 1,2,3,4.2)，(2，5，3)，(3，3，4)，(4，1，5)【点评】 此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利 用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数 .【实践】 已知有两堆水泥，若从第一堆中取出 100 袋放进第

19、二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取 出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5 倍 .问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数 .例 10】 设非负整数 n，满足方程 x y 2z n 的非负整数( x,y,z)的组数记为 an .1)求 a 3的值；( 2)求 a2001 的值 .分析】 审清题中 an 的 n 与方程 x y 2z n 是同一个非负整数， a3的含义是方程 x y 2z 3的非负整数解的 x,y,z)的组数 .解答】( 1)当 n=3 时，原方程为 x y 2z 3，由于 x 0,y 0,得0 z 1.当 z=1 时，方程为 x+y

20、=1 ，其解( x,y) =(0,1),(1,0) 有 2 组；当 z=0 时，方程为 x+y=3 ，其解( x,y)=(0,3),(1,2) ，(2,1),(3,0) 有 4 组. 综上， a3=6.(2)当 n=2001 时，原方程为 x y 2z 2001，由于 x 0,y 0,得0 z 1000.当 z=1000 时，方程为 x+y=1 ，其解有 2 组；当 z=999 时，方程为 x+y=3 ，其解有 4 组；当 z=998时，方程为 x+y=5 ，其解( x,y) =(0,5),(1,4) ， (2,3),(3,2) ， (4,1),(5,0)有 6组；当 z=0 时，方程为 x+y=2001 ，其解( x,y)=(0,2001),(1,2000)，(2001,0) 有 2002组. 综上， a2001 =2+4+6+ +20