第四章 拉普拉斯变换1

1、第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.1引言引言l本章分为两部分。本章分为两部分。l首先由傅里叶变换变换首先由傅里叶变换变换引出引出拉普拉斯变换，然拉普拉斯变换，然后对拉普拉斯后对拉普拉斯正变换正变换、逆变换逆变换及拉普拉斯变换及拉普拉斯变换的的性质性质进行讨论。进行讨论。l 其次介绍系统函数其次介绍系统函数H(s)及其及其零极点零极点概念，并概念，并根据它们的分布研究根据它们的分布研究系统特性系统特性，频率响应频率响应，及，及系统稳定性系统稳定性问题。问题。l本章重点在于，以拉普拉斯变换为工具对系统本章重点在于，以拉普拉斯变换为工具对系统进行进行复频域分析复频域分析。l在具体学习过程中要

2、注意与傅里叶变换的在具体学习过程中要注意与傅里叶变换的对比对比， 便于理解与记忆。便于理解与记忆。 l傅里叶变换傅里叶变换l优点优点: 具有明确的物理意义具有明确的物理意义l缺点：缺点：l只能处理符合只能处理符合狄利赫力条件狄利赫力条件的信号，信号的分析受到限的信号，信号的分析受到限制；制；l逆变换对频率进行的无穷积分计算困难逆变换对频率进行的无穷积分计算困难l拉普拉斯变换拉普拉斯变换l优点：优点：l扩大可变换的信号范围扩大可变换的信号范围l求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍；初始条件被自动计入，

3、因此应用更为普遍；l缺点：物理概念不如傅里叶变换那样清楚。缺点：物理概念不如傅里叶变换那样清楚。 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域l本节内容主要包括本节内容主要包括l从傅里叶变换到拉普拉斯变换l拉氏变换的物理意义l拉氏变换的收敛域l一些常用函数的拉氏变换 l重点：拉氏变换的定义及收敛域 拉氏变换的定义拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄里赫利条件：lu(t)l增长信号l周期信号) 0( aeatl若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于是满足狄里赫利条件tetetf).(tetu)()(.aeetattet1cost1cos一、从

4、傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换l1正变换正变换 对一般信号对一般信号 ，乘以衰减因子，乘以衰减因子 ，即，即 在在 的一定的取值范围内如的一定的取值范围内如 ，依据傅里叶变换的，依据傅里叶变换的定义，得定义，得( )f tte( )tf te()( )( )d ( )d ()ttjtjtFf tef t eetf tetFjs具有频率的量纲，故被称为复频率。 ds tF sf t et令s= +j拉普拉斯正变换2逆变换逆变换 1d2tjtf t eFje d21tjejFtfdjdssj其中( )d( )ds所以 jj1d2js tf tF s es tf t eFjF

5、T拉普拉斯反变换)()(sFtfLT3拉普拉斯变换对拉普拉斯变换对 j1jd1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 记作 f tF s逆变换的积分沿着平行于逆变换的积分沿着平行于j轴的一条直线进行轴的一条直线进行 jjs:采用采用0-系统，得到相应的系统，得到相应的单边拉普拉斯变换：单边拉普拉斯变换： j1j0d1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换 积分下限定义为积分下限定义为零的左极限零的左极限，目的在于分析，目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的和计算时可以直接利用起始给定的0

6、0- -状态。状态。拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT: 时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数)(jF变量变量 t变量变量 LT: 时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数)(sF（变量（变量 t、 都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s (复频率）复频率） t（实数）（实数）(复数）复数） js即：即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。(实频率实频率)控制衰减速度控制衰减速度二、拉普拉斯变换的物理意义二、拉普拉斯变换的物理

7、意义 jj1d2js tf tF s es F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。 0dcostF set 0jj011d()jd22ttttf tFjeeFeejj01jd2tttFeFjee 012cosd2teF st 0dcostF set连续和连续和 振幅振幅 余弦余弦 jjFF s ejjjtteee jjtsdsesFjtf21deejFtjt21002121deejFdeejFtjttjt三、拉普拉斯变换的收敛域三、拉普拉斯变换的收敛域 Cttftd| )(|e收敛轴收敛坐标收敛区收敛区收敛域：收敛域：使信号的拉普拉斯变换存在的

8、使信号的拉普拉斯变换存在的S区域。记为区域。记为 ROC (region of convergence)。收敛域实际上就是信号存在拉普拉斯变换的条件。收敛域实际上就是信号存在拉普拉斯变换的条件。对任意信号对任意信号f(t) ，若满足上式，则，若满足上式，则 f(t)应满足应满足0e )(limtttf(0)0称收敛条件0称绝对收敛坐标0S平面左半平面右半平面1双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域信号l从时域看，只要 乘以收敛因子后，在 时，乘积函数皆为零即可，也就是为实数）,(00teteetttpptet 0limtttee0:则 0limtttee0:则显然 双边拉氏变换不存在双边拉氏

9、变换存在若则收敛带为因为js为一复平面（s Plane），则收敛域为 sRe2. 单边拉氏变换的收敛域单边拉氏变换的收敛域l例1： 02tetft解答： ttetflimttttteee22limlim002 02收敛坐标:0Cttftde| )(|0e )(limtttf或求收敛域即找出满足的取值范围。-22. 单边拉氏变换的收敛域单边拉氏变换的收敛域l例2： tutf解答：tte1lim0000 ttetu )(lim2. 单边拉氏变换的收敛域单边拉氏变换的收敛域l例3： 0)(tuetft000limlimttttteee2. 单边拉氏变换的收敛域单边拉氏变换的收敛域l例4： 2)(te

10、tf0limlim22ttttteee拉氏变换不存在拉氏变换不存在 三、拉普拉斯变换的收敛域三、拉普拉斯变换的收敛域3说明说明l不但要求出 ，还要标出使得拉氏变换存在的收敛域l 增加了收敛的可能性，但不一定保证收敛, 在一定范围内可能使得 存在l前面的例1例3均满足条件 ，称 为指数阶信号l实际中可能涉及的信号分为三大类： ,其中 在全s域存在拉普拉斯变换。 ( )F s tf teRe s( )BF s lim0ttf te f tpte nt u t nt nt三、拉普拉斯变换的收敛域三、拉普拉斯变换的收敛域4一般情况轴的带状区域所组成；平面内由平行于在的jssF ROC)(. 12.对所

11、有拉普拉斯变换来说;ROC , ,)(平面就是整个那么并且是绝对可积的是有限长信号如果stf;: 敛轴右即右边信号的收敛域在收;: 敛轴左即左边信号的收敛域在收;: 即状双边信号的收敛域为带 ;),( ,. 3向唯一性即拉氏变换具有双对应相同的及收敛域相同tfsF4. 收敛域包含虚轴，FT和LT均存在。 )(0)(lim0ttetf收敛域收敛域 l有始有终信号和能量有限有始有终信号和能量有限信号信号l 或或等幅振荡信号和增长信号等幅振荡信号和增长信号 l不收敛信号不收敛信号除非除非00a0a0)0(,22 tteettjj整个平面以 为界0)0(Tt )()(tutu)(tu)(e3tutst

12、tuLsttt1dee)(e 0stuLt1)(e0jj1)(e0stuLt)j(1)(e00)j(00stuLt同理：00)(2ee)(cos00jj0tututtt20200)j1j1(21ssssL)(j2ee)(sin00jj0tututtt202000)j1j1(j21sssL00stuLtuLt1)(e lim)(00)Re(0s或) 0(1)(00ssedtetustst)(),()(ttntttLstde )()(01)Re(stttLstde )( )(00)e (ddtstsstttLstnnde )()(0)()(0)e (dd) 1(tstnnnsns)(0limsFs

13、ettt收敛域内全可取任意值，令)0()()(00000tedtettttststttsnsttttutLstnstnstnnde)e (de )()(0100ttsnstnde01)(1tutLsnn根据以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssnsnsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1 )(esstuLt)Re( 1)(esstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( )( cos202 0ssstutLRe(s) 1 )(Lt0)Re( )( sin

14、20200sstutLRe(s) )()(nLnst0)Re( 1 )(sstuL0Re(s) 1 )(2 sttuL0Re(s) ! )(1 nLnsntutRe(s) )(1 )(e2stutLt0202000Re(s) )( )( cose0sstutLt0202000Re(s) )(s )(sine0Ltttu0Re(s) )( )(cos22022020ssttutL0Re(s) )(2 )(sin220200ssttutL常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换S1)(tuetas 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste)(tu拉氏变换的几点说明拉氏变换的几点说明l考虑到信号f(

15、t)有起因，引出单边拉氏变换。有起因，起因点却不一定非要在t=0处，这是两个不同的概念。l单边拉氏变换和信号有起因也是两个不同的概念。t0t00t)()()(tueLtfLtft拉氏变换实际上只对正边信号做换，但它可以做单边拉氏变本身是双边信号，t0 tf( )teu t()te utssF1)(10tf1(t)( )teu tf2(t)10tte10tf3(t)( )teu t()te ut0拉氏变换的几点说明拉氏变换的几点说明单边拉氏变换是从零点开始积分的，因此t0区间的函数值与变换结果无关。如下三个函数可以有相同的单边拉氏变换，但并不影响系统的分析。拉氏变换的几点说明拉氏变换的几点说明l

16、单边拉氏变换的下限为0-，可以直接使用初始状态，并且不漏掉冲激类函数。l拉氏变换是独立的数学变换，物理意义由拉氏变换分析系统的物理意义而确定，用途很广泛。l注意傅氏变换和拉氏变换的实际差别。 例： 1d0tettLst Letft 广义傅氏变换的推广函数要求很严格古典傅氏变换运算规律直线上积分限在平行于虚轴的轴积分，沿反变换无差别正变换运算关系:L : 11jF4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质l主要内容主要内容l线性 l时移性l频移特性l尺度变换特性l卷积定理 l时域微分性质 l时域积分性质l复频域微分 l复频域积分l初始值定理 l终值定理 l重点重点 l卷积定理l时域微分特性l时

17、间积分性质l难点难点l时移性l初始值定理4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1111),()(sFtf2222),()(sFtf若 则 )()()()(22112211sFCsFCtfCtfC2121,min,max（21,CC为任意常数）如：正弦余弦信号的拉氏变换如：正弦余弦信号的拉氏变换4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质0)Re()()(ssFtfL0)Re()0()(d)(dsfssFttfL0ded)(dd)(dtttfttfLsttstftfststd)e)(e )(000de )()0(ttfsfst)0()(fssF4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质重

18、复应用微分性质，求得：)0( )0()(d)(d222fsfsFsttfL)0(.)0( )0()(d)(d121nnnnLnnffsfssFsttf101)0()(nrrrnnfssFs若f(t) = 0, t 0矩形周期信号拉氏变换)2()()(1Ttututf)1(11)()(21STSTSTeSeesFsF)1 (1)(21STeSsF第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs0)()(nSnTsenTfsF抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换)0(

19、 )0()(d)(d222xsxsXsttxL)(2sXsss2ee2122ee21)(ssXss)Re(s试求如图所示信号的单边Laplace变换。利用拉氏变换的微分特性,可得试求如图所示信号的单边Laplace变换。)()()(11txtxtx211)e1()()()(ssXsXsXs)Re(s对x(t)表达为) 1()()(1tututxssXse1)(1)Re(s利用拉氏变换的卷积特性,可得stuL/1)(拉氏变换位移特性拉氏变换位移特性22ee21)(ssXss)Re(s试求如图所示信号的单边Laplace变换。)2() 1(2)()(trtrtrtx 1 )(2 strL将x(t)

20、用基本信号表达为利用拉氏变换的位移特性和线性特性,可得0)Re(s已知求x(t)的初值和终值。1,1)(sssX1)(lim)0(1ssXxs0)(lim)(0ssXxsX(s)不是真分式，x(t)在t=0包含冲激，不能直接应用初值定理sX(s)的收敛域包含j轴，直接应用终值定理可得1111)(ssssX对X1(s) 应用初值定理可得将X(s) 改写为X1(s)4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换l主要方法:l(1)部分分式法l(2)留数法回线积分法l(3)数值计算方法利用计算机l着重介绍部分分式法求拉氏逆变换的过程以及一种特殊情况的处理l重点 部分分式法求拉氏逆变换的过程l难点 部分分式展开

21、法情况之三：高阶极点 jjde )(j21)(ssFtfst一、一、 拉普拉斯逆变换的一般过程拉普拉斯逆变换的一般过程1. F(s)的一般形式的一般形式 a,b为实数，m,n为正整数。01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm当 sFnm , 为有理真分式当拉普拉斯变换为有理函数时，可以利用当拉普拉斯变换为有理函数时，可以利用部分分式部分分式将其展开。将其展开。)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsFmzzzz321, 0sA sF是的根，称为的零点0)(0)(sFsAnpppp321, 0sB sF是的根，

22、称为的极点)(0)(sFsB sF将将 分子分母分别进行因式分解：分子分母分别进行因式分解：01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm2拉氏逆变换的过程拉氏逆变换的过程l找到找到 的极点的极点l将将 展成部分分式展成部分分式l查拉氏变换求查拉氏变换求 sF sF tf1 tes 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。0)Re(342)(23ssssssXX(s)为有理真分式，极点为一阶极点。) 3)(1(2)(sssssX31321sksksk31) 3)(1(2)(321ssksskksssssX将上式两端同时乘以s可得32) 3)(1(2)(001

23、sssssssXk令s=0，上式右端只有k1项不等于零，所以采用部分分式展开法求X(s)的反变换。0)Re(342)(23ssssssX同理可求出) 3)(1(2)(sssssX36/112/13/2sss21) 3(2)() 1(112ssssssXsk61) 1(2)() 3(333ssssssXsk)(e61)(e21)(32)(3tutututxtt由此可得对上式进行拉氏反变换可得采用部分分式展开法求X(s)的反变换。1)1()1()(423321sksksksksX2) 1(2)(0301ssssssXk32)() 1(1132sssssXsk0)Re() 1(2)(3sssssXX

24、(s)有1个3阶重极点将式两端同时乘以(s+1)3可得令s= 1， 式右端只有k2项不等于零，所以2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs采用部分分式展开法求X(s)的反变换。2)2(d)() 1(d1133ssssssXsk2)2(21d)() 1(d211 12324ssssssXsk)()e2e2e232()()(21tuttsXLtxttt0)Re() 1(2)(3sssssX对式求一阶导数，再令s= 1可得2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs对式求二阶导数，再令s= 1可得12) 1(2) 1(32)(23sssssX采用部分分式展

25、开法求下列X(s)的反变换。X(s)为有理假分式，将其化为有理真分式0)Re(3421113)(2324ssssssssXssssssX3424)(23)(4)( )(tttx)(e61)(e21)(323tutututt利用例1计算结果，以及1)(,)( LLtst可得01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm F(s)为( m n)，极点为)()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpskpskpsk2211nisFpskipsii, 2 , 1)()()()eee()(2121tukkktftpntptpn特殊：包含共轭复数极点特殊

26、：包含共轭复数极点)()()(22ssDsAsF设：设： )()()(21mpspspssD其中：其中： mmpsKpsKpsKsBAssF221122)()(则则 其中：其中：()( ),iiispKsp F s1,2,im,A B 由待定系数法求出。由待定系数法求出。00220sin()tets 22)(cosasasteat同理： F(s)为( m n)，极点为)()()()()()()(11nrrpspspssAsBsAsFnnrrrrrpskpskpskpskpsk11111211)()(risFpssikpsriii,2, 1)()(dd)!1(11111)(e)(e)!()(11

27、11tuktutirktftpnriitpirrii01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm F(s)为( m n)()()()()(110sBsNsBsBBsBsAsFnmnm)()(1sBsN为，根据极点情况按或展开。)(00tBBL)(11tBsBL)()(tBsBnmnmLnm01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm例例4-8：求下列函数的逆变换求下列函数的逆变换)3)(1()5)(2(10)(ssssssF解：解：将将F(s)展开成展开成部分分式形式部分分式形式312( )13KKKF ssss分别求分别

28、求K1,K2,K33100)(01sssFK21(1) ( )20sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s ) 3( 3101203100)(ssssF)()310203100()(3tueetftt32597( )(1)(2)sssF sss例：212)2)(1(32)(21sKsKssssssF1, 221KK)()2()(2)()(2tueetttftt对于对于m n的情况的情况21122)(,ssssF所以例4-9 sF tf t注意注意：为非真分式时，含及其导数项。 例例4-10：求函数的逆变换求函数的逆变换)2)(52(3)(22sssssF解解：4) 1(24) 1)(

29、2(3)(2122sBAssKssssF57)()2(21ssFsK4) 1)(2()(2()52(574) 1(257)(222ssBAsssssBAsssF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF)2)(52(3)(22sssssF上两式的分子应相等，即上两式的分子应相等，即22714()(2 )72355A sBA sBs71514205723ABAB2,52BA解之得：解之得：)()2sin542cos5257)(2tuteteetfttt4) 1(2522574) 1(257)(22sss

30、sBAsssF4) 1(254) 1(522572sssF(s)特殊情况特殊情况含含 的非有理式的非有理式l 项不参加部分分式运算，求解时利用时移性质sese【例】 已知 ssesFssse2122)(52，求其逆变换。解解： 4) 1(14) 1(14) 1()(2221ssssssF)(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt)(2sin2cos221tuttet0)()(0stesFttfsesFLtf211)()( )2()2(2sin)2(2cos221)2(tuttetft方法二方法二(适于计算机求解）适于计算机求解）nnpskpskpsksBsAsF2211)

31、()()(ips ips sB当时，及均为零， 的不定式将成为00)()()(sBsApsi)()()(limsBsApskipsii由罗必塔法则，得iipsipsisBsAsBsAsApsk)()()()()()(limipsnistjjstesFdsesFjtf1)(Res)(21)(iipsstkikkpsstesFpsdsdkesF)()()!1(1)(Res11若 为 k 阶极点，则ip若 为 一 阶极点，则ipiipsstipsstesFpsesF)()()(Res方法三：方法三：留数法留数法信号的复频域分析实质是将信号分解为。信号的复频域分析使用的数学工具是。利用基本信号的复频谱

32、和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。复频域分析主要用于的分析。求下列X(s)的反变换。)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1 (sssX)(e24)(e8)()(44tututttxtt(1)X(s)不是真分式，且有1个2阶重极点(2)X(s) 有1个2阶重极点和一对共轭极点，为计算简便令s2=q, )4(31)(qqsX则)4(3121qkqk)4(4141(3122ss)()2sin21(121)(tutttx(3)X(s)不是有理分式，将其表示为)4(e)4(1)(222sssssXs)()2cos1 (41)(1tuttx)2

33、()2(2cos1 41)(2tuttx4.5用拉普拉斯变换法分析电路用拉普拉斯变换法分析电路l步骤步骤1.列列s域方程域方程（可以从两方面入手可以从两方面入手）；）；l列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；l直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程；域模型建立代数方程；1.求解求解s域方程域方程 得到时域解答。得到时域解答。l两种方法两种方法l微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换l元件的元件的 s 域模型域模型 ( )( )F sf t一、微分方程的拉氏变换一、微分方程的拉氏变换时域微分方程时域微分方程时域响应时域响应y(t)s域响应域响应Y(s

34、)单边拉氏变单边拉氏变换换拉氏反变换拉氏反变换解微分方程解微分方程解代数方程解代数方程s域代数方程域代数方程例：例：已知已知22( )( )( )56 ( )28 ( )d y tdy tdx ty tx tdtdtdt( )( ),tx te u t起始条件为：起始条件为：(0 )3,(0 )2,yy求求 y(t)解：解： 对微分方程两边取拉氏变换：对微分方程两边取拉氏变换：)()82()(6)0()( 5)0()0()(2sXssYyssYysysYs22( )( )28(5) (0 )(0 )( )( )5656zsziYsYsssyyY sX sssss 22( )( )28(5) (

35、0 )(0 )( )( )5656zsziYsYsssyyY sX sssss 116582)(6582)(22sssssXssssYzs28341(1)(2)(3)123sssssss)()43()(32tueeetytttzs22(5) (0 )(0 )317118( )235656zisyysYsssssss118( )23ziYsss23( )118ttziytee)0( t23( )( )( )(377)tttzsziy tytyteee)0( t例例4-13：下图所示电路，当下图所示电路，当t0时，开关时，开关S位于位于“1”端，电路的状态端，电路的状态已稳定，已稳定，t = 0时

36、时S从从“1”端打到端打到“2”端，分别求端，分别求vC(t)与与vR(t)。2+- E+-E1v1(t)+-+-Cvc(t)R+-vR(t)S解：解：EvvCC)0()0(0)0(RvEvR2)0(一、求一、求vC(t)（1）列写微分方程）列写微分方程EtvdttdvRCCC)()(（2）取拉氏变换）取拉氏变换sEsVvssVRCCCC)()0()(（3）求）求VC(s)的逆变换的逆变换)121()1()1()(RCssERCsssRCEsVC)()21 ()(tueEtvRCtCvc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2EvvCC)0()0(二、求二、求vR(t)系统）系统）0(00()(2)(1tEdttdvtv1(t)E-Evc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S20)0(RvEvR2)0(（1）11( )( )( )RRvdvtvtRCdttdvtv