电路基础第十章

1、10.1 非正弦周期电流和电压非正弦周期电流和电压10.2 非正弦周期信号的傅里叶展开式非正弦周期信号的傅里叶展开式10.3 非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路10.4 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析10.5 非正弦周期电流电路的非正弦周期电流电路的应用应用第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院沈阳工学院唐朝仁沈阳工学院唐朝仁 1、非正弦周期电流和电压非正弦周期电流和电压 2、非正弦周期信号的傅里叶展开非正弦周期信号的傅里叶展开 3、非正弦周期量的有效值

2、、平均非正弦周期量的有效值、平均 值和平均功率值和平均功率 4 4、非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析 1、非正弦周期信号的傅里叶展开、非正弦周期信号的傅里叶展开 2、非正弦周期电流电路的分析、非正弦周期电流电路的分析重重 点点难难 点点第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 【应用导入应用导入】 交流电经过整流能获得多大的直流电压？交流电经过整流能获得多大的直流电压？ 各种电子设备都需要直流电各种电子设备都需要直流电源为其供电，直流电源最经济源为其供电，直流电源最经济的获得方法是将交流电经过整的获得方法是将交流电经过整流、滤波和稳压得到。交流电流

3、、滤波和稳压得到。交流电经过整流后，转变成为非正弦经过整流后，转变成为非正弦周期电压，能够提供多大的直周期电压，能够提供多大的直流电压，能否满足我们的需求？只要采用谐波分析流电压，能否满足我们的需求？只要采用谐波分析法很容易会得到答案。下面我们就学习对非正弦周法很容易会得到答案。下面我们就学习对非正弦周期量的分析。期量的分析。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院1、非正弦周期电流和电压、非正弦周期电流和电压 如果激励是按非正弦规律周期变化，由它们在如果激励是按非正弦规律周期变化，由它们在线性电路中产生的电流和电压也将是按非正弦规线性电路中产生的电流和电压也将是

4、按非正弦规律周期变化的量，称为非正弦周期电流和电压。律周期变化的量，称为非正弦周期电流和电压。10.1 非正弦周期电流和电压非正弦周期电流和电压 当电路中的非正弦电压、电流随时间做周期性变当电路中的非正弦电压、电流随时间做周期性变化时，称为非正弦周期电流电路。化时，称为非正弦周期电流电路。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院2、非正弦周期量产生的原因、非正弦周期量产生的原因 (1) 正弦电源经过非线性元件时，产生的电流将正弦电源经过非线性元件时，产生的电流将是非正弦周期量。是非正弦周期量。 (2) 发电机由于内部结构不可能完全对称的原因，发电机由于内部结构不可

5、能完全对称的原因，产生的电压不是理想的正弦量，是非正弦周期量。产生的电压不是理想的正弦量，是非正弦周期量。 (3) 在几个不同频率正弦激励的作用下，线性电在几个不同频率正弦激励的作用下，线性电路中的响应是非正弦周期量。路中的响应是非正弦周期量。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院10.2.1 谐波分析法谐波分析法10.2 非正弦周期信号的傅里叶展开式非正弦周期信号的傅里叶展开式 对于非正弦周期信号激励的稳态电路的分析采对于非正弦周期信号激励的稳态电路的分析采用谐波分析法。用谐波分析法。 首先利用数学中的傅里叶级数展开法将非正弦首先利用数学中的傅里叶级数展开法将

6、非正弦周期信号变换为一系列不同频率的正弦信号之和，周期信号变换为一系列不同频率的正弦信号之和，然后应用相量法计算每一个频率分量单独作用下然后应用相量法计算每一个频率分量单独作用下电路的响应，最后依据叠加定理将各个响应的时电路的响应，最后依据叠加定理将各个响应的时域形式进行叠加，即求出相应的响应。域形式进行叠加，即求出相应的响应。 谐波分析法中最关键的是求出非正弦周期信号谐波分析法中最关键的是求出非正弦周期信号的傅里叶级数。的傅里叶级数。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院1、傅里叶级数、傅里叶级数 设一个非正弦周期函数为设一个非正弦周期函数为f(t)，它可以表

7、示为，它可以表示为式中，式中，T为非正弦周期函数为非正弦周期函数f(t)的周期，的周期，k=0,1,2。式中，式中，=2/T，k为正整数，为正整数，a0、ak、bk、A0、Akm为傅里叶系数。为傅里叶系数。或或 如果非正弦周期函数如果非正弦周期函数f(t)满足狄里赫利条件，即满足狄里赫利条件，即在一个周期内函数在一个周期内函数f(t)满足：满足：(1) 连续或只有有限个连续或只有有限个断点；断点；(2) 有有限个极值点；有有限个极值点；(3) 绝对收敛。那么，绝对收敛。那么，它就可以展开为傅里叶级数，其展开式为它就可以展开为傅里叶级数，其展开式为)()(kTtftf )sin()cos()(1

8、0kkktkbtkaatf10)cos()(kkkmtkAAtf第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 傅里叶级数的两种形式中系数间的关系为傅里叶级数的两种形式中系数间的关系为00aA 22kkkmbaA)arctan(kkkabkkmkAacoskkmkAbsin 系数间满足系数间满足直角三角形。直角三角形。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院常用名词常用名词(1) 直流分量：常数项直流分量：常数项A0(2) 一次谐波或基波分量：与函数一次谐波或基波分量：与函数f(t)的周期相同的周期相同的分量的分量Akmcos(t+1)(3

9、) k次谐波分量：频率是一次谐波频率次谐波分量：频率是一次谐波频率k倍的分量倍的分量(4) 高次谐波：二次和二次以上的谐波高次谐波：二次和二次以上的谐波(5) 奇次谐波：奇次谐波： k为奇数的谐波为奇数的谐波(6) 偶次谐波：偶次谐波： k为偶数的谐波为偶数的谐波(7) 余弦分量：余弦分量： akcoskt(8) 正弦分量：正弦分量： bksinkt第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 由于傅里叶级数是收敛的，谐波的次数越高，谐由于傅里叶级数是收敛的，谐波的次数越高，谐波的幅值越小。虽然傅里叶级数是无穷级数，在实波的幅值越小。虽然傅里叶级数是无穷级数，在实际工

10、程中只取前几项就足够了，际工程中只取前几项就足够了，5次以上的谐波一次以上的谐波一般可以忽略。般可以忽略。 系数计算公式系数计算公式 2200)(1)(1TTTdttfTdttfTa220)cos()(2)cos()(2TTTkdttktfTdttktfTa220)sin()(22)sin()(2TTTkdttktfTdttktfTb第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例1： 图示的方波信号周期图示的方波信号周期T=2s，幅值为，幅值为Um=1V。试求该方波信号的傅里叶级数。试求该方波信号的傅里叶级数。解：分段表示方波信号解：分段表示方波信号u(t)，为，为

11、 )21 ( 1) 10( 1 )(tttu由方波信号的周期，得到角频率为由方波信号的周期，得到角频率为sradT/ 2220) 1(121)(1211000dtdtdttuTaT0)cos()cos(22)cos()(221100dttkdttkdttktuTaTk第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例1： 图示的方波信号周期图示的方波信号周期T=2s，幅值为，幅值为Um=1V。试求该方波信号的傅里叶级数。试求该方波信号的傅里叶级数。 得到方波信号的傅里叶级数为得到方波信号的傅里叶级数为TkdttktuTb0)sin()(22110)sin()sin(22

12、dttkdttk)6 4 2( 0 )5 3 1( 4 ，kkk2110| )cos(1| )cos(1tkktkk)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4)(tttttu第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院2常用非正弦周期函数的傅里叶级数常用非正弦周期函数的傅里叶级数 函数函数傅里叶级数傅里叶级数) 12sin(1214)(1tkkAtfkktkkAAtfk)sin(1212)(1) 12cos() 12(142)(122tkkAAtfk)cos()sin(122)(1tkTtkkATAtfk第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流

13、电路沈阳工学沈阳工学院院2常用非正弦周期函数的傅里叶级数常用非正弦周期函数的傅里叶级数 函数函数傅里叶级数傅里叶级数)2cos(1412)sin(2)(12tkkAtAAtfk)cos(14142)(12tkkAAtfk第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院10.2.2 非正弦周期函数的频谱非正弦周期函数的频谱 周期函数中各次谐波分量的振幅和初相位可用长周期函数中各次谐波分量的振幅和初相位可用长度与振幅和初相位大小相对应的线段，按照频率的度与振幅和初相位大小相对应的线段，按照频率的高低顺序依次排列起来所构成的图形来表示，这种高低顺序依次排列起来所构成的图形来表示

14、，这种图形称为周期函数的频谱图。频谱图分为幅值频谱图形称为周期函数的频谱图。频谱图分为幅值频谱和相位频谱。和相位频谱。 以谐波角频率以谐波角频率k为横坐标，在横坐标轴的各谐波为横坐标，在横坐标轴的各谐波角频率所对应的点上，做出一条条的垂直线，称为角频率所对应的点上，做出一条条的垂直线，称为谱线，一系列不连续的谱线构成频谱图。如果每一谱线，一系列不连续的谱线构成频谱图。如果每一条谱线的高度表示该频率谐波的幅值，则该频谱图条谱线的高度表示该频率谐波的幅值，则该频谱图称为幅值频谱；如果每一条谱线的高度表示该频率称为幅值频谱；如果每一条谱线的高度表示该频率谐波的初相角，则该频谱图称为相位频谱。谐波的初

15、相角，则该频谱图称为相位频谱。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例2：设非正弦周期电流函数：设非正弦周期电流函数i(t)的傅里叶级数为的傅里叶级数为解：根据解：根据i(t)的傅里叶级数画出的傅里叶级数画出i(t)的幅值频谱和相的幅值频谱和相位频谱位频谱试画出其频谱图。试画出其频谱图。)25sin(51)23sin(31)2sin(4)(tttti)A( )27sin(71t第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 1、非正弦周期电流和电压、非正弦周期电流和电压 按非正弦规律周期变化的电流和电压。按非正弦规律周期变化的电流和电压

16、。 2、谐波分析法、谐波分析法 (1) 将非正弦周期信号进行傅里叶级数展开；将非正弦周期信号进行傅里叶级数展开； (2) 应用相量法计算每一个频率分量单独作用下应用相量法计算每一个频率分量单独作用下电路的响应；电路的响应； (3) 用叠加定理将各个响应的时域形式叠加。用叠加定理将各个响应的时域形式叠加。 3、傅里叶级数、傅里叶级数 4、非正弦周期函数的频谱、非正弦周期函数的频谱 幅值频谱和相位频谱幅值频谱和相位频谱小小 结结第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 任意周期量的有效值是它们的均方根值，周期电任意周期量的有效值是它们的均方根值，周期电流流i的有效值的

17、有效值I定义为定义为 若若i为非正弦周期量，设非正弦周期电流为非正弦周期量，设非正弦周期电流i的傅里的傅里叶级数为叶级数为10.3.1 非正弦周期量的有效值非正弦周期量的有效值10.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率dtiTIT021)cos()(10kkkmtkIIti有效值公式有效值公式dttkIITITkkkm0210)cos(1第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院将被积分函数展开，积分结果将被积分函数展开，积分结果 12202222120kkkIIIIIII 式中，式中，I0是是i的直流分量；的直流分量；Ik

18、是是i的的k次谐波分量的次谐波分量的有效值。有效值。 非正弦周期电压非正弦周期电压u的有效值为的有效值为12202222120kkkUUUUUUU第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例3：非正弦周期电流函数：非正弦周期电流函数i(t)为为 试计算电流试计算电流i的有效值（高次谐波计算到的有效值（高次谐波计算到7次谐波）。次谐波）。解：电流解：电流i的有效值为的有效值为)25sin(51)23sin(31)2sin(4)(tttti)A( )27sin(71t1220122021kkmkkIIIII)A( 097. 1)71()51()31(1 21)4(22

19、222第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 非正弦周期量非正弦周期量f(t)的平均值定义为的平均值定义为f(t)的绝对值的的绝对值的平均值，定义式为平均值，定义式为10.3.2 非正弦周期量的平均值非正弦周期量的平均值 非正弦周期电流非正弦周期电流i的平均值为的平均值为例例4：试计算正弦周期电流：试计算正弦周期电流 的平均值。的平均值。TavdttfTF0)(1TavdttiTI0)(1tItisin2)(解：正弦电流的平均值为解：正弦电流的平均值为2000sin22sin21)(1TTTavtdtITdttITdttiTIItITT9 . 0| )cos(2

20、220第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院10.3.3 非正弦周期量的平均功率非正弦周期量的平均功率 1、平均功率、平均功率 线性二端网络线性二端网络N，设端口的周期电压，设端口的周期电压为为u，周期电流为，周期电流为i，两者为关联参考方，两者为关联参考方向，且它们的傅里叶级数的展开式为向，且它们的傅里叶级数的展开式为则二端网络任一时刻吸收的瞬时功率为则二端网络任一时刻吸收的瞬时功率为)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti)cos()cos(1010ikkkmukkkmtkIItkUUuip第十章第十章 非正弦周期电流

21、电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 平均功率定义为瞬时功率在一个周期内的平均值，平均功率定义为瞬时功率在一个周期内的平均值，也称为有功功率。也称为有功功率。 非正弦电路的平均功率为非正弦电路的平均功率为TpdtTP0122211100coscosIUIUIUP0100coskkkkkkPIUIU 式中，式中，k为为k次谐波电压与电流的相位差。次谐波电压与电流的相位差。 平均功率等于直流分量的功率与各次谐波的有功平均功率等于直流分量的功率与各次谐波的有功功率的代数和。由于功率的代数和。由于k的值可能小于的值可能小于90，也可能，也可能大于大于90，因此，因此Pk可能为正值，也可能为负值。

22、可能为正值，也可能为负值。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 非正弦电路中的视在功率定义为非正弦电路中的视在功率定义为3、功率因数、功率因数2、视在功率、视在功率 非正弦电路的等效功率因数定义为非正弦电路的等效功率因数定义为1122kkkkIUUIS11221coskkkkkkIUPSP 在电路中出现高次谐波后，将使电路的等效功在电路中出现高次谐波后，将使电路的等效功率因数下降。率因数下降。第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 1、非正弦周期量的有效值、非正弦周期量的有效值小小 结结12202222120kkkIIIIIII

23、12202222120kkkUUUUUUU2、非正弦周期电流的平均值、非正弦周期电流的平均值TavdttiTI0)(13、非正弦周期量的平均功率、非正弦周期量的平均功率0100coskkkkkkPIUIUP第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 对非正弦电路使用谐波分析法进行分析。对非正弦电路使用谐波分析法进行分析。 分析步骤分析步骤 (1) 首先将给定的非正弦周期激励展开为傅里叶首先将给定的非正弦周期激励展开为傅里叶级数，根据允许误差的要求，确定取级数的前几项；级数，根据允许误差的要求，确定取级数的前几项； (2) 然后分别分析和求解直流分量和各次谐波分然后分

24、别分析和求解直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。对于直流分量，电容相当于量单独作用时的响应。对于直流分量，电容相当于断路，电感相当于短路；对于谐波分量，电感和电断路，电感相当于短路；对于谐波分量，电感和电容的电抗随频率而变化，对于不同的谐波，它们的容的电抗随频率而变化，对于不同的谐波，它们的电抗也不同；电抗也不同； (3) 最后应用叠加定理，将不同频率的谐波分量最后应用叠加定理，将不同频率的谐波分量产生的响应相加。注意，是各个不同频率激励产生产生的响应相加。注意，是各个不同频率激励产生响应的瞬时值相叠加。响应的瞬时值相叠加。10.4 非正弦周期电流电路的分析非正弦周期电流电路的分析第十章第

25、十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例5：电路如图，：电路如图， ，基波频率基波频率f=50Hz，R=10，C=200F，L=0.1H。试。试求：求：(1) 电流电流i和输出电压和输出电压uO；(2) 电压源电压源uS和电流和电流i的有效值；的有效值；(3)电压源发出的平均功率电压源发出的平均功率PS。解：解：(1) uS的直流分量的直流分量US0=20V单独单独作用时的等效电路作用时的等效电路(2) 谐波分量谐波分量uSk作用时的等效电路作用时的等效电路VtttuS )903cos(10cos2020)(；)V( 20)A( 0000SOUUI当当k=1时，基波分

26、量时，基波分量 。电路阻抗为。电路阻抗为CjLjRZ11)W( 0200RIPS61020050211 . 050210jj第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例5：电路如图，：电路如图， ，基波频率基波频率f=50Hz，R=10，C=200F，L=0.1H。试。试求：求：(1) 电流电流i和输出电压和输出电压uO；(2) 电压源电压源uS和电流和电流i的有效值；的有效值；(3)电压源发出的平均功率电压源发出的平均功率PS。电容的阻抗为电容的阻抗为VtttuS )903cos(10cos2020)()( 2 .5744.185 .1510j)( 9092.1

27、5102005021161jCjZC)A( 57.2-1.0852 .5744.18020111ZUImSm9092.152 .57085. 1111CmmOZIU)V( 147.2-27. 71)W( 89. 510085. 121212211RIPmS第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例5：电路如图，：电路如图， ，基波频率基波频率f=50Hz，R=10，C=200F，L=0.1H。试。试求：求：(1) 电流电流i和输出电压和输出电压uO；(2) 电压源电压源uS和电流和电流i的有效值；的有效值；(3)电压源发出的平均功率电压源发出的平均功率PS。当当

28、k=3时，三次谐波分量时，三次谐波分量 。电路阻抗为电路阻抗为VtttuS )903cos(10cos2020)()V( 90103mSUCjLjRZ313361020050611 . 050610jj)( 6 .8350.8994.8810j)( 9031. 51020050613163jCjZC第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例5：电路如图，：电路如图， ，基波频率基波频率f=50Hz，R=10，C=200F，L=0.1H。试。试求：求：(1) 电流电流i和输出电压和输出电压uO；(2) 电压源电压源uS和电流和电流i的有效值；的有效值；(3)电压源

29、发出的平均功率电压源发出的平均功率PS。VtttuS )903cos(10cos2020)()A( .460.1126 .8350.899010333ZUImSm)V( 83.6-59. 09031. 54 . 6112. 0333CmmOZIU)W( 06. 010112. 021212233RIPmS(3) 电流为电流为)A( )6.40.112cos()2 .57cos(085. 1)(310ttiiIti)2 .147cos(26.1720)(310tuuUtu)V( )83.60.59cos(t第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院例例5：电路如图，：

30、电路如图， ，基波频率基波频率f=50Hz，R=10，C=200F，L=0.1H。试。试求：求：(1) 电流电流i和输出电压和输出电压uO；(2) 电压源电压源uS和电流和电流i的有效值；的有效值；(3)电压源发出的平均功率电压源发出的平均功率PS。VtttuS )903cos(10cos2020)( 电压源发出的平均功率等于分别作用时平均功率电压源发出的平均功率等于分别作用时平均功率的代数和的代数和)V( 5 .25)210()220(20222232120SSSSUUUU)A( 77. 0)2112. 0()2085. 1 (0222232120IIII)W( 94. 506. 088.

31、50310SSSSPPPP第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院10.5 非正弦周期电流电路的应非正弦周期电流电路的应用用 直流稳压电源需要提供直流稳压电源需要提供12V的直流电压，使用的直流电压，使用220V的交流电，直流稳压电源的作用就是把的交流电，直流稳压电源的作用就是把220V的交流电转变成的交流电转变成12V的直流电。直流稳压电源由变的直流电。直流稳压电源由变压器、整流电路、滤波电路和稳压电路组成。图为压器、整流电路、滤波电路和稳压电路组成。图为桥式整流电路和滤波电路。桥式整流电路和滤波电路。 直流电源的要求是将交流电直流电源的要求是将交流电变换为直流

32、电的过程中，直流变换为直流电的过程中，直流分量保持不变，各种频率的交分量保持不变，各种频率的交流分量越小越好。流分量越小越好。 交流电经过整流电路，变换成单向脉动电交流电经过整流电路，变换成单向脉动电uI，uI为非正弦周期电压，对其进行傅里叶展开为非正弦周期电压，对其进行傅里叶展开第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院设设滤波电路选取滤波电路选取L=1H，C=220F)6cos3514cos1512cos31(42)(tttAAtuIV 220Arad/s 100， )600cos351400cos151200cos31(280240)(ttttuIIIOULCUCjLjCjU21111tttuO400cos41.3471151200cos85.86131(280240)()600cos67.7811351t第十章第十章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路沈阳工学沈阳工学院院 由由uO表达式可以看出，经过滤波后，输出电压中表达式可以看出，经过滤波后，输出电压中直流分量保持不变，其余各谐波分量都大幅度减小，直流分量保持不变，其余各谐波分量都大幅度减小，频率越高，减小得