拉盖尔多项式_第1页
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文档简介

1、拉盖尔多项式常微分方程xy "+(1 _ x V + 兀y = 0(0v xs= = )( 1)叫作拉盖尔方程.X0 =0是拉盖尔方程的正则奇点.在 X0 = 0及其邻域上为有限的级数解是-/ i J |T - 2y x = a0 1 x x ：；-_1!2!+(一 WVp一禹)x 1(k!) 一级数的收敛半径为无限大.如入为整数，解y (x)退化为入次多项式.用适当的常数乘这些多项式，使最高次藉项成为(_x n,就叫作拉盖尔多项式，记作Ln (x).于入=0,有 L0(x )=1入=1 , L1 x = -x 12入=2, L2 x =x -4x¥入=3, L3x -x3

2、 9x2-18x6一 .432入=4, L4 x = x 16 x 72 x -96 x 245432入=5, L5 x 二-x25 x 200 x - 600 x 600 x - 120e顼1上函数 甲(t,x)=在t0 = 0的邻域上是解析的，可在t0 = 0的邻域上展为泰勒级1 - t数十 n枣(t, x )= W Ln (x )(3)1I现在来证明(3)式里的Ln(x )正是拉盖尔多项式.既然(3)式里的一Ln(x )是甲(t, x) n!的泰勒展开的系数，那就有nLn x = n；：t二et _0nd n xx e. dx上式利用了 § 2.4习题2.我们只需证明（4）式正

3、是拉盖尔多项式就行了.n_xz = x e ，容易验证,z满足上式对x求导n+1次,xz n 2 x 1 z n 1n+1 p ( )= 0xu '，x 1 u n 1 u = 0 .参照（4）式，作函数变换u（x） = eUL（x）,得L （x）所满足的方程xL " + (1 - x 尸 + nL = 0 ,这正是拉盖尔方程（1）.拉盖尔方程的多项式解只能是拉盖尔多项式，最多相差某个常数因子.经具体验算，得知并不差常因子.（3）和（4）里的Ln（x ）的确是拉盖尔多项式.函数因而称为拉盖尔多项式的母函数 .而（4）式是拉盖尔多项式的微分表示式.拉盖尔方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型d |_x dyxedx dx(0V x<8=)(5)作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交性关系的特例，拉盖尔多项式在区间0 V xV8上带权重e "正交,oO(Lm (x Ln(x 户栅=0(6)拉盖尔多项式的模 N n可借助微分表示式（4）并累次分部积分而算得,N n = | In (x、e "dx = (n!)(7)根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质（见§9.4），在区间0 V xvoo上，以接盖尔多项式为基本函数族，可把函数f (x

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