高等数学第八章

1、第八章向量代数与空间解析几何（数学一）第一节向量代数中的若干运算一、向量的概念1定义：既有大小又有方向的量称为向量。2坐标形式：a (ax , ay ,a z )3模与方向余弦：记a 与 x 轴、 y 轴、 z 轴正向的夹角分别为,，则cosax， cosay， cosa zax2a y2az2ax2a y2az2a x2a y2az2且方向余弦间满足关系cos2cos2cos21 。, ,描述了向量 a 的方向， 常称它们为向量的方向角（在0与之间）。 a 的模可以表示为 aax2a y2az2。向量 a 同方向上的单位向量常记为a 。二、向量的运算设三个向量 aa1ia2j a3k(a1,

2、 a2 , a3 ) ， bb1i b2 jb3 k(b1, b2 ,b3 ) ，c c icjc k(c,c2, c ) ，常数 。123131和差：加法 a b (a1b1 , a2b2 , a3b3 )减法 a b (a1b1 ,a2b2 , a3b3 )2数乘：a( a1 , a2 , a3 )3数量积（ i）定义：数a ba bcos a,b，称为 a, b 为数量积也称点积，记为a b 。其中a, b为向量 a,b 间夹角（在0 与之间）。2b 0 表示向量 a 在向量 b 上的投影， a b 0Pr j b a ；（ ii ）性质： aa a ； a大学数学 a b b a 。（

3、 iii ）计算：aa12a22a32； a ba1b1 a2 b2a3b3 。例题 设 a 和 b 为非零向量，且b1，axbaa,b4，求 limx。x022a xba( axba )( axba )a xblima解 limxlimx 0x0x( axba )x 0x( axba )lim2ab xb b2a b2axba2 a2x 0练习 设 a,b ,c 为两两垂直的单位向量，求( a2b3c) 2。144向量积（ i ）定义：满足条件 a ba b sin a,b； ab 的方向按右手法则垂直于a, b 所在平面的向量称为a,b 的向量积也称叉乘，记为ab 。（ ii ）性质： a

4、bba ； ab 等于以a,b 为邻边的平行四边形的面积； a b为向量，且同时垂直于a, b 。例题设 Aa2b ， Bkab ，其中 a2, b2 ， ab试问：（ 1） k 为何值时，AB （ 2） k 为何值时，以向量A 、 B 为邻边的平行四边形面积为12。解（1）由 A BAB 0，AB(a2 ) (kab)ka22b24k8bk2 。（ 2） A B (a2b ) (ka b)2kb a a b(2k 1)b aA B 2k 1 a b 4 2k 1k 2 或 k1 。大学数学ijk（ iii ）计算： aba1a2a3。b1b2b3例题 设 a i2 j2k ， b2ij 2k

5、（ 1）求出所有满足acb 的向量 c 的坐标表达式；（ 2）求出模为最小的向量c 。ijk解（ 1）设 cx, y, z，由 acb ，即 1222ij2k，xyzyz1xx得 2xz1y22xc( x, (22x),(2 x1) ，其中 x 可取任意实数。2xy2z2 x 1（ 2）2(22 )2(21)2(32)21，故当即2时，cxxxx3x20x(2, 2,1)。3c 最小，此时 c1c333练习 已知ABC 的顶点为 A(3,2,1) 、 B(5,4,7)和 C (1,1,2)，求 AB 上的高。 5 335混合积（ i ）定义：数 abc 称为向量 a, b, c 的混合积，记为

6、a, b, c 。（ ii ）性质：a, b ,c等于以 a,b , c 为棱边的平行六面体的体积。a1a2a3（ iii ）计算： a,b ,cb1b2b3。c1c2c3例题 求证： ( a b)(bc)(ca) 2(a b ) c 。解(ab)(bc ) (ca)(abacbc) (ca)(ab) c(bc) a2( ab) c大学数学练习 设三个 a(1,2,1) ， b (,1,3) ， c(3,2,1) 共面，求。 132三、向量间的关系1夹角： cosa b或 cosa1 b1a2b2a3 b3。a ba12a22a32b12b22b322垂直： a b0或 a1 b1a2b2b3

7、 b30 。3平行（共线） ： ab0 或 ba 或 a1a2a3。b1b2b34共面： a,b , c0 。例题 （ 1）已知 ( a3b)( 7a 5b ) ， (a4b)(7a2b ) ，则a,b_22解 由 (a3b)( 7a5b ) 得 (a3b )(7a5b)016ab15 b0 ，即 7 a22(a4b )(7a2b ) 得 (a4b )(7a2b )0 ，即30ab8 b0 ，于是7 a12ab1ab ， a bb，则 cos，故a, b。22a b3（ 2）设 a(2,1,2) ， b(1,1, z) ，问 z 为何值时，a,b最小。解 cos12z，令 f ( z)1 2z

8、，由 f( z)0 ，可得 z4 ，故 min。3 2z232z24（ 3）设 a2,3,1 ,b1,2,3 , c2,1,2，向量 r 满足 ra , rb ， Pr j c r14 ，求 r。解 由向量 r 满足 ra , rb ，可令 r(ab)7, 5, 1 ，又 Pr jc r14 ，求得2 ，故 r (14,10,2) 。（ 4 ）已知三个非零向量a, b, c ，其中任意两个向量都不平行，但(ab ) 与 c 平行，大学数学(bc) 与 a 平行，求证： abc0 。证由 (ab) 与 c 平行， (bc ) 与 a 平行，存在两个数,使得 (a b )c ，(bc)a ，两式相

9、减得(1)a(1)b ，又三个非零向量a,b, c 中任意两个向量都不平行，故1，从而 abc0 。练习 （ 1）设 a3,2,1 b2, 4 , k，若 ab ，则 k_ ；若 a / b ，则 k _3k26 ； k2 。33（ 2）设 a3, b4 且 ab ，则 (ab)(a b )_24第二节平面与直线一、平面及其方程1三种形式（ i）点法线：已知平面过 Mx0 , y0 , z0点，其法向量n ( A, B, C ) ，则平面的方程为 A x x0B y y0C z z00 。（ ii ）一般式： AxByCzD0 ，其中 A, B, C 不全为零。 x, y, z前的系数表示的法

10、线方向数， n(A, B,C) 是的法向量。（ iii ）截距式：上的截距。xyz，其中 a, b, c 全不为零。 a,b, c 表示平面分别在x, y, z 轴ab1c例题 平行于平面 2x 6 y 3z 50 ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1个单位的平面方程为_解设 所 求 方 程 为 xyz1，则 (1, 1, 1)(2,6,3) ， 由 V1abc 1 ， 得abcabc612x6 y3z 60。，故平面方程为62平面间的位置关系大学数学设两平面为1 : A1 xB1 yC1 zD10 ，2 : A2 xB2 yC 2 zD 20（ i ）夹角（ 0）： cosA1 A2B1B

11、2C1C2。2A12B12C12A22B22C 22（ ii ）垂直： A1 A2B1B2C1C2 0 。（ iii）平行： A1B1C1D1A2B2C2D2（ iv ）重合： A1B1C1D1A2B2C 2D 2例题 设平面过点 M 1 (0,0,1), M 2 (1,1,1) 且与平面 x yz1成角，求的方程。3解 设平面方程为AxByCzD0 ，则由题意得CD0，ABCD 0 ，A BC1，求解得BA ，A2B 2C 232C6A，D6A，所求平面方程为x y6z6 0 或xy6z60。3点到平面的距离：设平面的方程为 AxByCzD0，而点 Mx1 , y1 , z1为平面外的一点，

12、则 M 到平面的距离 dAx1 By1Cz1DA2B 2C 2。真题 点 (2,1,1) 到平面 x2y 2 z 50 的距离为 d_解 直接利用公式，d113例题 已知平面方程1 ： x2 y2z1 0 ， 2 ： 3x4 y50 ，求平分1 与2 夹角的平面方程。解 设 (x, y, z) 为所求平面上的任一点，依题意它到1 的距离应等于它到2 的距离，即大学数学x 2 y 2z 13x 4y 57 x 11 y 5z 10 0 或，整理所求平面方程为12( 1)2(2) 232( 4)22xy 5z50 。二、直线及其方程1三种形式（ i ）点向式（标准式、对称式）xx0yy0zz0，其

13、中 x0 , y0 , z0为直线上的点， m, n, p 为直线的方向数。mnpxx0mt（ ii ）参数式：yy0nt ， s(m,n, p), t 为参变量。zz0pt（ iii）一般式：（两平面的交线）A1 x B1 y C1 z D10( A1 , B1, C1)(A2 ,B2,C2) 。A2 x B2 y C2 z D2，方向向量 s0例题 （1）过点 ( 1,2,3) ，垂直于直线xyz7 x8 y9z100 的45且平行于平面直线方程为 _6解 取 s(4,5,6) ( 7,8,9)( 3,6,3)故所求直线为x 1y2z3 。121（ 2）求点 ( 1,2,0) 在平面 x2

14、 yz10 上的投影。解 平面的法向量 n1,2, 1，于是过点 (1,2,0) 的垂线方程为x1y 2z，121将 它 化 为 参 数 式 ， 得 x t 1, y2t 2, zt ， 代 入 平 面 方 程 ， 得(t1)2(2t2)( t)10，所以6t 40 ， t2，故所求投影为3522(,) 。3332直线间的位置关系设两直线为L1: xx1yy1zz1L2: xx2yy2zz2 。m1n1p1m2n2p2大学数学（ i ）夹角（ 0）： cosm1 m2n1 n2p1 p2。2m12n12p12m22n22p22（ ii ）垂直： m1 m2n1n2p1 p20 。（ iii）平

15、行： m1n1p1 。m2n2p2设有直线 L1： x1y5z 8与 L2xy6真题：z，则 L1 与 L2 的夹角为1212y3_解 s1 (1,2,1) ， s2 (1,1,0)(0,2,1)( 1, 1,2) ，利用公式 cos1，即 L1与 L22的夹角为。33直线、平面间的位置关系设 平 面的 方 程 为 ： AxBy Cz D 0 ， 直 线 L的方程为：x x0yy0zz0 。mnp（ i ）夹角（ 0）： sinAmBn Cp。A2B 2C 2m2n 2p 22（ ii ）垂直： mnpABC（ iii ）平行： AmBnCp0（ iv ）重合： AmBnCp0 且 L 上有一

16、点在上。x3y2z10： 4 x2yz2 0 ，则直线真题 （ 1）设有直线 L ：y10z3及平面2x0L（C）（ A ）平行于（ B）在上（ C）垂直于（D）与斜交解 s(1,3,2) (2, 1,10)( 28,14,7) ， n(4,2,1) ，故 s / n，选（ C）大学数学（ 2）已知直线xbyz1 在平面 3x4 yaz3a1上，则 a_ ，32ab_解s(3,2, a) ， n(3,4,a) ，由题意 sn ，且点(b,0,1)在平面上，于是a；1,5 。1,1b34点到直线的距离：设M 0 是直线 L 外一点， M 是直线 L 上任意一点，且直线的方向向量为 s ，则点 M

17、 0 到直线 L 的距离 dM 0 Ms。s例题 点 M (1,2,3) 到直线 x1y 4z3 的距离为 _122解 直接利用公式 d2 。三、平面束及其应用1定义：设直线A1 x B1 y C1 z D10L 的一般式方程为，则通过 L 的所有平面A2 x B2 y C2 z D 20方程为 k1 A1xB1 yC1 zD1k2A2 xB2 yC 2 zD 20 ，其中 k1 , k2不全为零；或 A1 xB1 yC1 zD1A2 xB2 yC 2 zD20 。2应用：当问题中出现平面经过一直线的条件时，可用上述假设处理。真题 求直线xyz10z0 上的投影直线方程。xyz1在平面 x y

18、0解 设直线xyz10的平面束的方程为( xyz1)( x yz 1)0 ，xyz10即 (1)x(1) y(1)0 ，这平面与平面xyz0 垂直的条件是(1)1(1)1(1)z )( 1)0 ，由此得1，得投影平面的方程为 yz10 ，所以投影直线方程为yz10。xyz0大学数学例题（1）求过直线 x5 yz0 ， xz40 且与平面 x4 y8z120 组成4角的平面。解 设平面方程为x5 yz(xz4)0 ，即 (1)x5 y(1)z40 ，由题设有 cos2927，3，故所求平面为x 20y7z12 0。292 22744（ 2）求异面直线L1 ： x1y11z2 与直线 L2： x1

19、yz1 之间的距离。03122解 利用点到平面的距离。过L1 作平行于 L2 的平面，则 L2上的点 M 2 到平面的距离即为二异面直线间的距离。设平面的法矢为 n ，因为过 L1 ，故 ns ，又/L2，ijk故 ns2 ，取 ns1s20134,3,1 ，点M1(1,1,2) 在 L1 上，于是平面122的方程为4x3yz50，点 M2(1,0,1) 到平面的距离为d413 01(1)58。4232126（ 3）求过点(3,1,2) 且通过直线 x4y3z 的平面方程。521解 记 A(3,1,2)B(4,3,0) 所求平面为， s5,2,1，设 P( x, y, z) 是上任意一点，x3

20、y1 z2由三向量共面，得AP, AB, s0 ， 即142，整理得5218x9 y 22z590 ，此即为所求平面的方程。第三节空间曲面与曲线一、曲面及其方程1一般式：F x, y, z0 （常见形式）大学数学xx u.v2参数式：yy u,vu, vD （平面区域）zz u, v曲面的记号有两个：或 S 。二、曲线及其方程1参数式：F1x, y, z0F2x, y, z0xx t2一般式：yy tt（常见形式）zz t曲线的记号有三个：L，C，。三、常见曲面1旋转曲面： 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。（ i ）

21、设 L 是 xOz平面上一条曲线，其方程是fx, z0y0L 绕 z 轴旋转得到旋转曲面为fx 2y2 , z0或由参数方程 xf t， yg t， zh tt,，得旋转面的参数方程xf 2tg 2t cosyf 2tg 2t sint， 02zh t（ ii ）求空间曲线F1x, y, z0绕 z 轴一周得旋转曲面的方程F2x, y, z0第一步：从上面联立方程解出xfz ， yg z第二步：旋转曲面方程为x2y2f 2zg 2z真题 求直线 L : x1yz1在平面: xy2 z10 上的投影直线 L0 的方程，111大学数学并求 L0 绕 y 轴旋转一周的曲面方程。xy2z10x 2 y

22、解 利用平面束求得投影直线L0 的方程， L0 ：或12 ，x3 y2z101)z( y1 ( y 1) 2 。2曲面 S ： x2z 24 y24例题 求顶点在 ( 0,1,0) ，母线和 z 轴夹角保持的锥面方程。6解 在锥面上任取一点M ( x, y, z) ，记 A(0,1,0)，则由题意 AM与 Oz 的夹角为，于6是zz2cos ，因此所求曲面为： z23x 2(3y1)2 。x2( y1) 262柱面：平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面，定曲线叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。一般来说，只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x, y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xoy 面上的曲线 F ( x, y)0 。例如圆柱面： x 2y 2R2 。3二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面x 2y 2z21旋转抛物x2y 2z p 0a 2b 2c2面2 p 2 p椭圆抛物x2y2z p, q 0双曲抛物x 2y22 p2q2 pz p, q 0面面2q单叶双曲x 2y 2z21面a 2b 2c 2二次锥面x 2y 2z20a 2b 2c 2双叶双曲x 2y