20062007学年度北京市西城区抽样测试.

1、-1 -2006 2007 学年度北京市西城区抽样测试高三数学试卷（文科）2007.1本试卷为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分 满分 150 分.考试时间 90 分钟.第一卷（选择题，共 40 分）、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.）1.已知集合 S=R,A二x|x2-2x - 3空C,那么集合 L; A 等于2.A .x | 0：x空3C . x| x空0,或x 31将函数y的图象按向量xB.D.a 平移后，得到yX | -1 _ X：2X|X：-1,或 X 一21=2的图象，则x + 13.A. a=

2、（1, 2）B. a= （1, 2） C.在空间中，有如下四个命题：1平行于同一个平面的两条直线是平行直线；2垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；3若平面a内有不共线的三个点到平面3距离相等，则a/4过平面a的一条斜线有且只有一个平面与平面a垂直.其中正确的两个命题是A.、B .、C .、D .、D. a= (- 1,4. 在（1-2x）6的展开式中x3的系数是5.A . 240在 1, 2, 3, 4,9 的三位数共有A . 16 个C. 156.B . 155 这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中,D. 240其各个数字之和为C. 19 个B . 18 个JI JI已知函数y =si

3、nx在-一，一上是增函数，则3的值可以是3 3D. 21 个3A.-畀)B.-3,0)3C.(0,3D.(0,3-2 -7已知数列an的各项均为正数，其前n 项和是Sn,若log2an是公差为一 1 的等差数3列，且S6,那么 6 的值是()846812A .B .C.D .21312131ABC 中，ABB3, ABC 的面积&于自则 AB 与 BC夹角的取值范围是第二卷(非选择题共 110 分)二、 填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上)XE1,9.在平面直角坐标系中，不等式组_y _3,所表示的平面区域的面积是 _ .3Xy - 3 一

4、0,10._不等式|3X-5p： 4的解集是.11.若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是9n,则球的表面积是 _.X2312._ 已知双曲线-y1(a - 0)的一条准线方程为x=，则 a 等于_ ，该双曲a2线的离心率为_ .12 .设向量 a= (1, 0), b= (cos0, sinB),其中 OWBWn，贝 U | a+ b |的最大值是 _.14已知二次函数f(x)的二次项系数 a，且不等式f(x) -X的解集为(1, 2),若f(x)的最大值为正数，则 a 的取值范围是 _ .三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.

5、(本小题满分 12 分)已知an是等差数列，a2=5,a14.(I) 求an的通项公式；Jl 31JI JIJI JI- 43B .忖叩C.?331 Tt32-3 -(II) 设an的前 n 项和Sn=155，求 n 的值.16.(本小题 13 分)-4 -(I)求f (x)的定义域;(II) 求f (x)的值域；:丄4(III )设a的锐角，且tan,求f G )的值.2317.(本小题 13 分)在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天 内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85则在一天内(I) 三台设备都需要维护的概率是多少？(II) 恰有一台设备

6、需要维护的概率是多少？(III )至少有一台设备需要维护的概率是多少？18.(本小题 13 分)如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，则棱长为(I)求异面直线 AA1和 BD1所成角的大小；(II)求证：BD1/ 平面 C1DE;(III )求二面角 C1 DE C 的大小.(本小题满分 13 分)设a 1,函数f (x)=ax1-2.(I)求f (x)的反函数f(x);(II )若f4(x)在0, 1上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值;(III )若f(X)的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.20.(本小题满分 14 分)设a 0,定点 F (a, 0),直线 I :x= a

7、 交 x 轴于点 H，点 B 是 I 上的动点，过点 B 垂直于 I 的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M.(I) 求点 M 的轨迹 C 的方程；(II)设直线 BF 与曲线 C 交于 P, Q 两点，证明：向量HP、HQ与HF的夹角相等.北京市西城区 2007 年抽样测试已知函数sin 2x cos2x +1f(x)二3，底面边长为 2, E 是棱 BC 的中点.19.-5 -高三数学试卷(文科)参考答案、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案DCBDCAAB、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.3厂2139. 一；10

8、.x0 : x : 2；11. 100 二；12.、3,；13. 2; 14.( 4, 0).23注：其中 12 题第一个空 3 分，第二个空 2 分三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 12 分)(I)解：设等差数列an的公差为 d,则a15,a1- 4d =14,.2 分解得a1=2, d =3.4 分所以数列an的通项为an=3 (n - 1)d =3n-1.6 分(n)解： 数列的前 n 项和Sn(101 =空 n21n.9 分2 2 2由3n24 55, 化简得 3n2n -310 =0,2 2即(3n31)(n -10

9、) =0;所以=10.12 分16.(本小题满分 12 分)(I)解：由2sin x = 0, .1 分得x =k二(k Z), . 3 分所以f (x)的定义域为X I X = k二，k Z .4 分-6 -(山)解：因为a是锐角，且tan二4,，从而si=-,35COS, . 8 分52 、sin2a-cosa+12 sinacosa+2sin af C ):2 si na2 si na=sin ：亠 cos：,故 f (二)二 sin 二1cos-：解：记甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为则P(A) =0.9,P(B) =0.8, P(C) =0.85.(I)解：三台设备都

10、需要维护的概率a = p(ABC)二P(A) P(B)P(C).=(1-0.9)X(1-0.8)X(10.85)=0.003.答：三台设备都需要维护的概率为0.003. 4 分(II )解：恰有一台设备需要维护的概率p2二P(A B C) P(A B C) P(A B C)=(10.9)X0.8X0.85+0.9X(10.8)X0.85+0.9X0.8X(10.85)=0.329.答：恰有一台设备需要维护的概率为0.329. 8 分(III )解：三台设备都不需要维护的概率P3二P(ABC)二P(A) P(B) P(C) = 0.612, . 11 分所以至少有一台设备需要维护的概率p4= 1

11、 - p3= 0.388.答：至少有一台设备需要维护的概率为0.388. 13 分18.(本小题满分 14 分)解法一：(I)解：17.(本小题满分 13 分)11 分12 分A， B， C，-7 -连接 B1D1.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1/BB1,-B1BD1是异面直线AA1和 BD1所成的角.-8 -即在侧棱 BBi上不存在点 P,使得 CP 丄平面 CiDE.在-B1BD1中, B1D1=2.2,即异面直线AA|和 BD1所成角的大小为arctan . .4 分3(II)证明:连接 CD1，与 C1D 相交于 0,连接 EO./ CDD1C1是矩形， 0 是 CD

12、1 的中点，又 E 是 BC 的中点， E0 / BD1. 2 分又 BD1二平面 C1DE, E0 二平面 C1DE, BD1/ 平面 C1DE. 4 分(III )解：过点 C 作 CH 丄 DE 于 H，连接 C1H.在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，CG 丄平面 ABCD ,- C1H 丄 DE,/ C1HC 是二面角 C1 DE C 的平面角 . 11 分在CDE 中,CD =2,CE =1,在GCH 中,CC1 =3,二面角 C1DE C 的大小为arctan .14 分2解法二：(I)建立空间直角坐标系 D xyz,如图。则有 D (0, 0,0), B (2,2, 0)

13、, C (0,2, 0),C1(0, 2, 3),D1(0, 0,3), B (2, 2,3), E (1,2, 0)。14 分ta nB1BD1B1D12、23CHCD CE 2DE - .5tan GHC 二 CCCH3J5J213 分-9 -在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1/BB1,-10 -T . B1BD1是异面直线 AAi和 BDi所成的角BBi=(0,0,3),BDi=(-2,-2,3),3，i7即异面直线 AAi和 BDi所成角的大小为arccos: .4 分i7(II)证明：:厂连接 CDi，与 CiD 相交于 O,连接 EO.1A.必易知 O (0, i,

14、i.5). s；: 3 Jf二BDi=(2-2,3), EO=(-1,-i,i.5),百*1*Di”丄/Ji二BDi- 2EO,.7 分 EO / BDi. 2 分又 BDi二平面 CiDE, EO 二平面 CiDE, BDi/ 平面 CiDE. 4 分(III )解：过点 C 作 CH 丄 DE 于 H，连接 CiH.在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，CCi丄平面 ABCD , CiH 丄 DE,/ CiHC 是二面角 Ci DE C 的平面角 . ii 分根据平面几何知识，易得H ( 0.8, i.6, 0).cos：BBiBDi二BBiBDiBBiBDi3,i7i7.HC =(-

15、0.8,0.4,0),HC (-0.8,0.4,3),cosCiHC : HC HCiHCiHCiHC HCi27.i3 分CiHC2=arccos ,7二面角i9.(本小题满分(I)解：2CiDE C 的大小为arctan .7i4 分)i4 分因为axi- 0,-11 -所以f (x)的值域是CyI y . _2l设y =ax _2,解得 x 二 logn(x 2)-1;所以f (x)的反函数为f(x) = loga(x 2)一1, (x-2).4 分(n)解： 当a . 1时，函数fJ(x) -loga(x 2) -1为(-2：)上的增函数，. 6 分所以f(0) fd(1) =0,即(

16、loga2-1) (loga3-1)=0,解得a= ；6.8 分(川)解:当a 1时，函数f(x)是(-2,=)上的增函数，且经过定点(一 1, 1)所以f4(x)的图象不经过第二象限的充要条件是f (X)的图象与 x 轴的交点位于 x 轴的非负半轴上. 11 分令loga(x 2) -1 =0,解得x =a -2,由a - 20, 解得 a 2.14 分20.(本小题满分 14 分)(I) 解：连接 MF，依题意有|MF|=|MB|, . 3 分所以动点 M 的轨迹是以 F( a, 0)为焦点，直线 l: x= a为准线的抛物线，所以 C 的方程为y2=4ax.5 分(II)解：设 P, Q 的坐标分别为(x-!,y1),(x2, y2),依题意直线 BF 的斜率存在且不为 0，设直线 BF 的方程为y = k(x - a)(k = 0),将其与 C 的方程联立，消去 y