2015年四川省高考数学试卷(理科)

1、第 1 页（共 24 页）2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1 （5 分） （2015?四川） 设集合 a= x|（x+1） （x2）0 ，集合 b=x| 1x3 ，则 ab=（）a x| 1x3bx| 1x1c x| 1 x2d x| 2x 32 （ 5 分） （2015?四川）设i 是虚数单位，则复数i3=（）a i b 3i ci d3i 3 （ 5 分） （2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）abcd4 （5 分） （2015?四川）下列函数中， 最小

2、正周期为且图象关于原点对称的函数是（）ay=cos（2x+）by=sin（2x+）cy=sin2x +cos2x dy=sinx +cosx 5 （ 5 分） （2015?四川）过双曲线x2=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于a、b 两点，则 | ab| =（）ab2c6 d46 （5 分） （2015?四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有（）a144 个b120 个c96 个 d 72 个第 2 页（共 24 页）7 （5 分） （2015?四川）设四边形abcd 为平行四边形，| =6，| =4，若点 m、n

3、 满足，则=（）a20 b15 c9 d6 8（5 分）（2015?四川）设 a、 b 都是不等于1 的正数，则“ 3a3b3” 是“ loga3 logb3” 的 （）a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件9 （ 5 分） （2015?四川）如果函数f（x）=（m 2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间 上单调递减，那么mn 的最大值为（）a16 b18 c25 d10 （5 分） （2015?四川）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于 a、b 两点，与圆（ x 5）2+y2=r2（r0）相切于点m，且 m 为线段 ab 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条

4、，则 r 的取值范围是（）a （1，3）b （1，4）c （ 2，3）d （2，4）二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。11 （5 分） （2015?四川）在（ 2x1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案） 12 （5 分） （2015?四川） sin15 +sin75 的值是13 （5 分） （2015?四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718 为自然对数的底数，k、b 为常数）若该食品在0的保鲜时间是 192小时，在 22的保鲜时间是48 小时， 则该食品在33的保鲜时间是小时14 （5 分）

5、 （2015?四川）如图，四边形abcd 和 adpq 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点m 在线段 pq 上， e、f 分别为 ab、 bc 的中点，设异面直线em 与 af 所成的角为 ，则 cos 的最大值为15 （5 分） （2015?四川）已知函数f（ x）=2x，g（x） =x2+ax（其中 ar） 对于不相等的实数 x1、x2，设 m=，n=现有如下命题： 对于任意不相等的实数x1、x2，都有 m 0； 对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有 n0； 对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得 m=n；第 3 页（共 24 页） 对于任意的a，存在不相等的实数

6、x1、x2，使得 m= n其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 （12 分） （2015?四川）设数列 an（n=1，2，3， ）的前 n 项和 sn满足 sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列 an的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 tn，求使得 | tn1|成立的 n 的最小值17 （12 分） （2015?四川）某市a、b 两所中学的学生组队参加辩论赛，a 中学推荐了3 名男生、 2 名女生， b 中学推荐了3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后

7、队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（）求 a 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前， 从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛， 设 x 表示参赛的男生人数，求 x 的分布列和数学期望18 （12 分） （2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设bc 的中点为m、gh 的中点为n（）请将字母f、g、h 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（）证明：直线mn 平面 bdh ；（）求二面角a egm 的余弦值19 （12 分） （2015?四川）如图，a、b、c、d 为平面四边形abcd

8、 的四个内角（）证明： tan；（）若 a+c=180 ，ab=6 ，bc=3 ，cd=4 ，ad=5 ，求 tan+tan+tan+tan的值20 （13 分） （2015?四川）如图，椭圆e：的离心率是，过点 p（0，1）的动直线l 与椭圆相交于a、b 两点，当直线l 平行于 x 轴时，直线l 被椭圆 e 截得的线段长为2（）求椭圆e 的方程；第 4 页（共 24 页）（）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点p不同的定点q，使得恒成立？若存在，求出点q 的坐标；若不存在，请说明理由21 （14 分） （2015?四川）已知函数f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中 a

9、0（）设g（x）是 f（ x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（ 0，1） ，使得 f（x） 0 在区间（ 1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（ 1， +）内有唯一解第 5 页（共 24 页）2015 年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1 （5 分） （2015?四川） 设集合 a= x|（x+1） （x2）0 ，集合 b=x| 1x3 ，则 ab=（）a x| 1x3bx| 1x1c x| 1 x2d x| 2x 3【分析】 求解不等式得出集合a=

10、x| 1 x2，根据集合的并集可求解答案【解答】 解：集合a= x| （x+1） （x2） 0，集合 b= x| 1x3 ，集合 a= x| 1x2，ab=x| 1x3，故选： a 【点评】 本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2 （ 5 分） （2015?四川）设i 是虚数单位，则复数i3=（）a i b 3i ci d3i 【分析】 通分得出，利用 i 的性质运算即可【解答】 解： i 是虚数单位，则复数i3，=i，故选； c 【点评】 本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题3 （ 5 分） （2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）第 6 页

11、（共 24 页）abcd【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5 时满足条件k4，计算并输出s 的值为【解答】 解：模拟执行程序框图，可得k=1 k=2 不满足条件k4，k=3 不满足条件k4，k=4 不满足条件k4，k=5 满足条件k4， s=sin=，输出 s 的值为故选： d【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题4 （5 分） （2015?四川）下列函数中， 最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）ay=cos（2x+）by=sin（2x+）cy=sin2x +cos2x dy=sinx +cosx 【分析】 求出函数的周期，函数的奇偶性，判

12、断求解即可【解答】 解：y=cos（2x+）= sin2x，是奇函数，函数的周期为： ，满足题意，所以a 正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为： ，不满足题意，所以b 不正确；第 7 页（共 24 页）y=sin2x+cos2x=sin（2x+） ，函数是非奇非偶函数，周期为 ，所以 c 不正确；y=sinx+cosx=sin（x+） ，函数是非奇非偶函数，周期为2 ，所以 d 不正确；故选： a【点评】 本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力5 （ 5 分） （2015?四川）过双曲线x2=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲

13、线的两条渐近线于a、b 两点，则 | ab| =（）ab2c6 d4【分析】 求出双曲线的渐近线方程，求出ab 的方程，得到ab 坐标，即可求解| ab| 【解答】 解：双曲线x2=1 的右焦点（ 2，0） ，渐近线方程为y=，过双曲线x2=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，可得 ya=2，yb=2，| ab | =4故选： d【点评】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用6 （5 分） （2015?四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有（）a144 个b120 个c96 个 d 72 个【分析】 根据题意，符合条件

14、的五位数首位数字必须是4、5 其中 1 个，末位数字为0、 2、4 中其中 1 个；进而对首位数字分2 种情况讨论， 首位数字为5 时， 首位数字为4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案【解答】 解：根据题意， 符合条件的五位数首位数字必须是4、5 其中 1 个，末位数字为0、2、4 中其中 1 个；分两种情况讨论： 首位数字为5 时，末位数字有3 种情况，在剩余的4 个数中任取3 个，放在剩余的3 个位置上，有a43=24 种情况，此时有324=72 个， 首位数字为4 时，末位数字有2 种情况，在剩余

15、的4 个数中任取3 个，放在剩余的3 个位置上，有a43=24 种情况，此时有224=48 个，共有 72+48=120 个故选： b 【点评】 本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况第 8 页（共 24 页）7 （5 分） （2015?四川）设四边形abcd 为平行四边形，| =6，| =4，若点 m、n 满足，则=（）a20 b15 c9 d6 【分析】 根据图形得出=+=，=，=?（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】 解：四边形abcd 为平行四边形，点m、n 满足，根据图形可得：=+=，=，=，=?（）=

16、2，2=22，=22，| =6，| =4，=22=123=9 故选： c 【点评】 本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示8（5 分）（2015?四川）设 a、 b 都是不等于1 的正数，则“ 3a3b3” 是“ loga3 logb3” 的 （）a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件【分析】 求解 3a 3b3，得出 ab1，loga3logb3，或根据对数函数的性质求解即可，第 9 页（共 24 页）再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】 解： a、b 都是不等于1 的正数，3a3b3，ab1，loga3logb3

17、，即0，或求解得出： ab1 或 1ab0 或 b1， 0a1 根据充分必要条件定义得出：“ 3a3b3” 是“ loga3logb3” 的充分条不必要件，故选： b【点评】 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论9 （ 5 分） （2015?四川）如果函数f（x）=（m 2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间 上单调递减，那么mn 的最大值为（）a16 b18 c25 d【分析】 函数 f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n 0）在区间 上单调递减，则 f （x） 0，故（ m 2）x+n80 在， 2 上恒成立而（m2）x+n

18、8 是一次函数，在 ，2 上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0 即可 结合基本不等式求出mn 的最大值【解答】 解：函数f（x）=（m2） x2+（n8）x+1（ m 0，n0）在区间 上单调递减，f（x）0，故（ m2）x+n80 在，2 上恒成立而（ m2）x+n8 是一次函数，在，2 上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（） 0，f （2） 0 即可即由（ 2）得 m（12n） ，第 10 页（共 24 页）mnn（12n）=18，当且仅当m=3， n=6 时取得最大值，经检验m=3，n=6 满足（ 1）和（ 2） 故选： b解法二：函数 f（ x）=（m2）x2+

19、（ n8）x+1（m0，n0）在区间 上单调递减， m=2，n8 对称轴 x=，即即设或或第 11 页（共 24 页）设 y=，y=，当切点为（ x0，y0） ，k 取最大值 =2k=2x，y0=2x0+12，y0=2x0，可得 x0=3，y0=6，x=32 k 的最大值为36=18 = ，k=，y0=，2y0+x0 18=0，解得： x0=9，y0=x0 2 不符合题意 m=2，n=8，k=mn=16 综合得出： m=3，n=6 时 k 最大值 k=mn=18 ，故选； b 【点评】 本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题10 （5

20、分） （2015?四川）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于 a、b 两点，与圆（ x 5）2+y2=r2（r0）相切于点m，且 m 为线段 ab 的中点，若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（）a （1，3）b （1，4）c （ 2，3）d （2，4）【分析】先确定 m 的轨迹是直线x=3， 代入抛物线方程可得y=2， 所以交点与圆心 （5，0）的距离为4，即可得出结论【解答】 解：设 a（ x1，y1） ，b（x2， y2） ，m（x0， y0） ，斜率存在时，设斜率为k，则 y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（ y1+y2） （y1y2）=4（x1 x2） ，当

21、l 的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以 x0=3，即 m 的轨迹是直线x=3第 12 页（共 24 页）将 x=3 代入 y2=4x，得 y2=12，m 在圆上， r2=，直线 l 恰有 4 条， y00， 4r216，故 2r4 时，直线l 有 2 条；斜率不存在时，直线l 有 2 条；所以直线l 恰有 4 条， 2r4，故选： d【点评】 本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。11 （5 分） （2015?四川）在（ 2x1）5的展开式中，含x2的项

22、的系数是40（用数字填写答案）【分析】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 2 求得 r，再代入系数求出结果【解答】 解：根据所给的二项式写出展开式的通项，tr+1=；要求 x2的项的系数，5r=2，r=3，x2的项的系数是22（ 1）3c53=40故答案为： 40【点评】 本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12 （5 分） （2015?四川） sin15 +sin75 的值是【分析】 利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】 解：sin15

23、 +sin75 =sin15 +cos15 =（sin15 cos45 +cos15 sin45 ）=sin60 =故答案为：【点评】 本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力13 （5 分） （2015?四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718 为自然对数的底数，k、b 为常数）若该食品在0的保鲜时间是 192 小时，在22的保鲜时间是48 小时，则该食品在33的保鲜时间是24小时【分析】 由题意可得， x=0 时，y=192；x=22 时，y=48代入函数y=ekx+b，解方程， 可得 k，b，再由 x=33，

24、代入即可得到结论【解答】 解：由题意可得，x=0 时， y=192； x=22 时， y=48代入函数y=ekx+b，第 13 页（共 24 页）可得 eb=192，e22k+b=48，即有 e11k=， eb=192，则当 x=33 时， y=e33k+b=192=24故答案为： 24【点评】 本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题14 （5 分） （2015?四川）如图，四边形abcd 和 adpq 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点m 在线段 pq 上， e、f 分别为 ab、 bc 的中点，设异面直线em 与 af 所成的角为 ，则 cos 的最大值为【分析】

25、 首先以 ab，ad ，aq 三直线为x， y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为 2， m（0，y，2） ，从而可求出向量的坐标，由cos =得到， 对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cos的最大值【解答】 解：根据已知条件，ab ，ad ，aq 三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设ab=2 ，则：a（0，0，0） ，e（1， 0，0） ， f（2，1，0） ；m 在线段 pq 上，设 m（0，y，2） ，0y2；cos =；设 f（y）=，；函数 g（ y）=2y5 是一次函数，且为减函数，g（0） =50；g（y）

26、0 在 0，2 恒成立， f （y） 0；f（y）在 0，2 上单调递减；y=0 时， f（y）取到最大值第 14 页（共 24 页）故答案为：【点评】 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系15 （5 分） （2015?四川）已知函数f（ x）=2x，g（x） =x2+ax（其中 ar） 对于不相等的实数 x1、x2，设 m=，n=现有如下命题： 对于任意不相等的实数x1、x2，都有 m 0； 对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有 n0； 对于任

27、意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得 m=n； 对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得 m= n其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【分析】 运用指数函数的单调性，即可判断 ；由二次函数的单调性，即可判断 ；通过函数h（x） =x2+ax2x，求出导数判断单调性，即可判断 ；通过函数h（x） =x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断 【解答】 解：对于 ，由于 21，由指数函数的单调性可得f（x）在 r 上递增，即有m0，则 正确；对于 ，由二次函数的单调性可得g（x）在（ ，）递减，在（，+）递增，则 n0 不恒成立，则 错误；对于 ，由 m=n，可得 f（x1）f（x

28、2）=g（x1） g（ x2） ，即为 g（x1） f（x1）=g（x2）f（x2） ，考查函数h（x） =x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，当 a， h （ x）小于 0，h（x）单调递减，则 错误；对于 ，由 m=n，可得 f （x1）f （x2） = g （x1） g （ x2） ，考查函数h （x）=x2+ax+2x，h （x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h （x）不恒大于0 或小于 0，则 正确故答案为： 【点评】 本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文

29、字说明、证明过程或演算步骤。第 15 页（共 24 页）16 （12 分） （2015?四川）设数列 an（n=1，2，3， ）的前 n 项和 sn满足 sn=2ana1，且 a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列 an的通项公式；（）记数列 的前 n 项和为 tn，求使得 | tn1|成立的 n 的最小值【分析】（）由已知数列递推式得到an=2an1（n2） ，再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列 an 是首项为2，公比为2 的等比数列，则其通项公式可求；（）由（）求出数列 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得tn，结合求解指数不等式得n 的最小值【解答】 解：

30、 （）由已知sn=2ana1，有an=snsn1=2an 2an1（n2） ，即 an=2an1（n2） ，从而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，又 a1，a2+1，a3成等差数列，a1+4a1=2（2a1+1） ，解得： a1=2数列 an 是首项为2，公比为2 的等比数列故；（）由（）得：，由，得，即 2n100029=51210001024=210，n10于是，使 | tn1|成立的 n 的最小值为10【点评】 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （12 分） （2015?四川）某市a、b 两所中学的学生组队

31、参加辩论赛，a 中学推荐了3 名男生、 2 名女生， b 中学推荐了3 名男生、 4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（）求 a 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前， 从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛， 设 x 表示参赛的男生人数，求 x 的分布列和数学期望【分析】（）求出a 中学至少有1 名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；第 16 页（共 24 页）（）求出x 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到x 的分布列，然后求解数学期望【解答】 解： （）由题意

32、，参加集训的男、女学生共有6 人，参赛学生全从b 中抽出（等价于 a 中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此 a 中学至少有1 名学生入选代表队的概率为：1=；（）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛， x 表示参赛的男生人数，则 x 的可能取值为：1， 2，3，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=x 的分布列：x 1 2 3 p 和数学期望ex=1 =2【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力18 （12 分） （2015?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设b

33、c 的中点为m、gh 的中点为n（）请将字母f、g、h 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（）证明：直线mn 平面 bdh ；（）求二面角a egm 的余弦值【分析】（）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；（）利用线面平行的判定定理即可证明直线mn平面 bdh ；（）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可第 17 页（共 24 页）【解答】 解： （） f、g、h 的位置如图；证明： （）连接bd ，设 o 是 bd 的中点，bc 的中点为m、gh 的中点为n，om cd，om=cd，hncd，hn=cd，om hn ，om=hn ，即

34、四边形mnho 是平行四边形，mn oh，mn ?平面 bdh ；oh? 面 bdh ，直线 mn 平面 bdh ；（）方法一：连接 ac，过 m 作 mh ac 于 p，则正方体 abcd efgh 中， ac eg，mpeg，过 p 作 pkeg 于 k，连接 km ，eg平面 pkm 则 km eg，则 pkm 是二面角aegm 的平面角，设 ad=2 ，则 cm=1 ，pk=2，在 rtcmp 中， pm=cmsin45 =，在 rtpkm 中， km=，cospkm=，即二面角 aegm 的余弦值为方法二：以d 为坐标原点，分别为 da ，dc， dh 方向为 x，y，z 轴建立空间

35、坐标系如图：设 ad=2 ，则 m（1，2，0） ，g（0，2，2） ，e（ 2，0，2） ，o（1，1，0） ，则=（2， 2，0） ，设平面 egm 的法向量为=（x，y，z） ，第 18 页（共 24 页）则，即，令 x=2，得=（2，2，1） ，在正方体中， do平面 aegc ，则=（1，1， 0）是平面aeg 的一个法向量，则 cos=二面角 aegm 的余弦值为【点评】 本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力19 （12 分） （2015?四川）如图，a、b、c、d 为平面四边形abcd 的四个内角

36、（）证明： tan；（）若 a+c=180 ，ab=6 ，bc=3 ，cd=4 ，ad=5 ，求 tan+tan+tan+tan的值【分析】（）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过a+c=180 ，得 c=180 a，d=180 b，利用（）化简tan+tan+tan+tan=，连结 bd ，在 abd 中，利用余弦定理求出sina，连结 ac，求出 sinb，然后求解即可【解答】 证明： （） tan=等式成立第 19 页（共 24 页）（）由 a+c=180 ，得 c=180 a，d=180 b，由（）可知： tan+tan+tan+tan=，连结bd，在 abd 中，有 bd

37、2=ab2+ad22ab ?adcosa ，ab=6 ，bc=3 ，cd=4，ad=5 ，在 bcd 中，有 bd2=bc2+cd22bc?cdcosc，所以 ab2+ad22ab ?adcosa=bc2+cd22bc?cdcosc，则： cosa=于是 sina=，连结 ac，同理可得： cosb=，于是 sinb=所以 tan+tan+tan+tan=【点评】 本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用20 （13 分） （2015?四川）如图，椭圆e：的离心率是，过点 p（0，1）的动直线l 与椭圆相交于a、b 两点，当直线l 平

38、行于 x 轴时，直线l 被椭圆 e 截得的线段长为2（）求椭圆e 的方程；（）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点p不同的定点q，使得恒成立？若存在，求出点q 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）通过直线l 平行于 x 轴时被椭圆e 截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；第 20 页（共 24 页）（）通过直线l 与 x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点p 的定点 q 满足条件，则q点坐标只能是（0，2） 然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可【解答】 解： （）直线l 平行于 x 轴时，直线l 被椭圆 e 截得的线段

39、长为2，点（， 1）在椭圆e 上，又离心率是，解得 a=2，b=，椭圆 e 的方程为：+=1；（）结论：存在与点p 不同的定点q（0，2） ，使得恒成立理由如下：当直线 l 与 x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于c、d 两点，如果存在定点q 满足条件，则有=1，即 | qc| =| qd| q 点在直线 y 轴上，可设q（0，y0） 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于m、n 两点，则 m、n 的坐标分别为（0，） 、 （0，） ，又=，=，解得 y0=1 或 y0=2若存在不同于点p 的定点 q 满足条件，则q 点坐标只能是（0，2） 下面证明：对任意直线l，均有当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y=kx+1，a、b 的坐标分别为a（x1，y1） 、b（x2，y2） ，联立，消去 y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0， =（4k）2+8（1+2k2） 0，x1+x2=，x