含有绝对值不等式的解法典型例题

1、v1.0可编辑可修改含绝对值不等式的解法例1解绝对值不等式I x+3 I > I x-5解：由不等式I x+3 I > I x-5 I两边平方得2 2I x+3 I > I x-5 I ,即(x+3) 2> (x-5 ) 2,x>1.原不等式的解集为 X I x>1.评析对于两边都含"单项”绝对值的不等式依据I X I 2 = x2 ,可在两边平方脱去绝对值符号.当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐.例2对任意实数X ,若不等式I x+1 I - Ix-2 I >k恒成立，则实数k的取值范围是( )A. k<3B .

2、k<-3C.k3D.k -3分析要使I x+1I - I x-2 I >k对任意实数X恒成立，只要I x+1 I - Ix-2 I的最小值大于k.因I x+1 I的几何意义为数轴上点 X到-1的距离，I x-2 I的几何意义为点 X到2 的距离，I x+1 I - I x-2 I的几何意义为数轴上点 X到-1与2的距离的差，其最小值为 -3 ,.k<- 3, . 选 B.评析此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长.例3解不等式I 3x-1 I >x+3.分析解此类不等式，要分 x+30和x+3<0两种情况讨论.解：当x+30,即卩x

3、-3时，原不等式又要分-3x< 3和x3两种情况求解：2丄I当-3x< -；时，-3x+1>x+3 ,即x<-二，此时不等式的解为 -3x<- L ;1当x二时，3x-1>x+3 ,即x>2 ,此时不等式的解为 x>2 .又当x+3<0,即x<-3时，不等式是绝对不等式.取、并集知不等式的解集为2x I x<-,或 x>2.例4解不等式I x-5 I - I 2x+3 I <1解：X = 5和X=-分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段:2于是，原不等式变为6（I）或（）或（川）解（I）解（川）Ik

4、-（3 2一（x 5） （2兀 + 3） Vrk >5,4 -5-C2+3） < 1得 x<-7 ,解（）得二 <x5,得 x>5 ;（I）（）（川）的并集 X I x<-7或x>二即为原不等式的解集.说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺 序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干 个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解例5 解不等式1 2x-1 I <5.解法一：原不等式等

5、价于r2-1 <5, 件-1< 工JXTlre 2-1 >-5F 2-1>-5,JFTl 2 1 2-l >1 或解得 1 x<3;解得 -2<x0.原不等式的解集为X I -2<x0 或 1 x<3.解法二：原不等式等价于1 2x-1<5 ,或 -5<2x- 1 -1 ,即2 2x<6,或 -4<2x 0,解得 1x<3, 或 -2<x0.原不等式的解集为 X I -2<x 0, 或 1 x<3.评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a X I b = aX

6、 b,或-bx -a (a0).这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆.本例亦可用图像法 求解，不妨一试.例6解不等式I x+3 I + I x-3 I >8.分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论.解法一：由代数式丨x+3丨、| x-3丨知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,- 3x<3,X 3.当x<-3时，-x-3-x+3>8 ,即x<-4 ,此时不等式的解为 x<-4 :当-3 x<3时，x+3-x+3>8 ,此时无解；当x3时，x+3+x-3>8

7、 ,即x>4,此时不等式的解为 x>4.取、的并集得原不等式的解集为X I x<-4 ,或 x>4.点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是:(1) 令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根;(2) 把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3) 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集;(4) 取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.模仿例1,我们还有解法二：不等式I x+3 I + I x-3 I >8表示数轴上与 A (-3 ) , B (3)两点距离之和大于8的点，而A, B两点距离为6.因此线段

8、AB上每一点到A B的距离之和都等于 6.如下图，要找到 A, B距离之和为8的点，只须由点 B向右移1个单位(这时距离之和增加2个单位)，即移到点Bi (4),或由点A向左移1个单位，即移到点Ai (-4 )IO03 4可以看出，数轴上点B1 (4)向右的点或者点A (-4 )向左的点到 A B两点的距离之和均大于&原不等式的解集为 X I x<-4 ,或x>4.解法三：分别画出函数y1=I x+3 I + I x-3 I和y2= 8的图像，如下图. 6(-3<x<3)ly=不难看出，要使y1>y2,只须x<-4 ,或x>4.原不等式的解集为 X I x<