2020年中考数学人教版专题复习：角平分线的性质

1、2020年中考数学人教版专题复习：角平分线的性质、学习目标：1 . 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线;2 .掌握角平分线的性质和判定；3 .综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。.、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。难点：角平分线的性质和判定的综合应用。三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、 等腰三角形、四边形等知识综合 在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相

2、等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一 起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在 36分。这就要求学生必须熟练掌握用 尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。知识梳理1 .角平分线的定义2 .角平分线的尺规作法3 .角平分线的性质4 .角平分线的判定典例精析知识点一作角平分线例1:如图，已知点 C为直线AB上一点，过C作直线CM ,使CM AB于C。ACiB思路分析：由于AB是直线，要求作 CM AB,实际上就是要作平角ACB的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画

3、弧，与CA、CB分别交于点D、E;2、分别以D、E为圆心，大于3DE的长为半径画弧，使两弧交于点M;23、作直线CM。所以，直线解题后的思考：此题要求“大于1DE的长为半径”的理由是：半径如果小于-DE ,则两弧无法相交；221 而半径如果等于DE ,则两弧交点位于 C点处，无法作出直线 CM。2在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。小结：本题属于作图题。 在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言， 规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。知识点二角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：Q P在 AOB的平分

4、线上PD OA于 D , PE OB 于 EPD PE例2：如图，AD是 ABC的角平分线，DE AB , DF AC ,垂足分别是 E,F。连接EF , 交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。思路分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。解答过程：EF AD ,且 EG FG证明：Q AD平分 BACDE AB, DF AC ,垂足分别是 E,FDE DF在 Rt DEA 和 Rt DFA 中DE DFQAD ADRt DEA Rt DFA (HL)ADE ADF在4D

5、G医口 DGF中DE DFQ GDE GDFDG DGDGE DGF (SASEG FG , DGE DGF 90oEF AD ,且 EG FG。解题后的思考：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例3:如图，D是 ABC的外角 ACE的平分线上一点， DF AC于F , DE BC于E , 且交BC的延长线于E。求证：CE CF。思路分析：由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE= DF。而要证明CE= CF,只要证明以它们为边的两

6、个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。解答过程：QCD是 ACE的平分线，DF AC于F , DE BC于EDEC DFC 90°, DE DF在 Rt DEC 和 Rt DFC 中DC DCQDE DFRt DEC Rt DFC (HL)CE CF解题后的思考：利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条 件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：(1)这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；(2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质;(3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。知识

7、点三角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：Q PD OA于 D , PE OB 于 E且 PD PEP在 AOB的平分线上(或写成OP是 AOB的平分线)例4：如图，BE CF , DF AC于F, DE AB于E , BF和CE交于点D。 求证：AD平分 BAC 。思路分析：要证AD平分 BAC ,已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了, 只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。解答过程：Q DF AC 于 F , DE AB于 EDEB DFC 90o在BDE和CDF中DEB DFCQ BDE C

8、DFBE CFBDE CDF (AAS)DE DF又 Q DF AC 于 F, DE AB于 EAD平分 BAC o解题后的思考AC , DE AB,那么得判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DE DF或DF出AD平分 BAC这一结论是错误的。MN , S PFG S PMN，试问思路分析：一方面，要判断点 P是否在 AOB的平分线上，只要判断点例5:如图，F,G是OA上两点，M,N是OB上两点，且FG 点P是否在P到角的两边距离是否相这样已知和结论就联系起来了。解答过程：证明：过点P作PDOA于Q S PFG1 - FG PDS PMND, PE1 MN2OB于E而 S PFG-FG 2P

9、DPMN1一MN2PED又Q FGMNPD PE又Q PD OA于 D,PEOB于E等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。P在 AOB的平分线上。解题后的思考：利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相判定角的平分线要满足两个条件： 等”，若已知“相等”则设法证明“垂直 知识点四 角平分线的综合应用例 6:如图，在 ABC 中，C 90°, AD 平分 BAC , DE AB于 E , F 在 AC 上

10、，BD DF。求证：CF EB。思路分析：由已知条件很容易得到 DC= DE;要证明C已EB,只要证明其所在三角形全等即可，再 由此去找全等条件。解答过程：Q AD 平分 BAC , C 90o, DE ABDC DE在 Rt FCD 与 Rt BED 中DC DEQDF BDRt FCD Rt BED (HL.)CF EBo解题后的思考：掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例7:如图，已知在 ABC中，BD DC ,12。求证：AD平分 BAC 。思路分析：有两种方法证明 AD平分 BAC： 一是直接利用定义证明BAD CAD ;二是利用角平分线的判定

11、，证明点 D到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角” ，无法证明 两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。解答过程：过点D作DE AB于E, DF AC于F故， BED CFD 90o在BDE与CDF中BED CFDQ 12BD CDBDE CDF (AAS)DE DF又 Q DE AB 于 E, DF AC 于 F AD平分 BAC。解题后的思考：当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。提分技巧本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它们都可以通过三角形全等得出证明； 这样，我们