5_单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

1、2.1.1 振动微分方程振动微分方程2.1.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论、相位差的讨论2.1.3 受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4 受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 )()(21txtxx2.1.1 振动微分方程振动微分方程 thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和0dd2dd222xptxntxn2

2、.1.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激振力简谐激振力tFFsin0S以平衡位置以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，x轴铅直向轴铅直向下为正，物块运动微分方程为下为正，物块运动微分方程为 tFkxtxctxmsindddd022thxptxntxnsindd2dd222，mFhmcnmkpn022具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 )()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振动动运运动动)(1tx tpAxtpd1sinentBtxsin)(22.1.1 振动微分方程振动微分方程 简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动简谐激励

3、下的全解、瞬态振动和稳态振动稳态振动，稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义意义By substituting the particular solution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations tBtxsin)(2thxptxntxnsindd2dd222thtntpBnsin)cos(2)sin()(22sincoscossin)sin(sinsincosco

4、s)cos(ttttttEquating the coefficients of and onboth sides of the resulting equation, we obtaintsintcos0sin)(cos2sin2cos)(2222nnpnBhnpBSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:B2.1.1 振动微分

5、方程振动微分方程 ,稳态受迫振动的振幅滞后相位差2222)2()(nphBn 222tanpnn 振幅放大因子0BB22221122220222224)1 ()()(4)(1 / BppnpphBnnnneqnkFphB020 nnnpmcpnpeqeq2,212arctan曲曲线线族族相相频频特特性性曲曲线线曲曲线线族族幅幅频频特特性性曲曲线线2.1.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差 的讨论的讨论 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03、

6、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn 称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2 ,这也是共振的重要现象。这也是共振的重要现象。2.1.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差 的讨论的讨论 5 品质因子与半功率带宽品质因子与半功率带宽共振(仍按 考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式

7、得np21Q品质因子与半功率带宽在1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为 的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为 和 ，它们的差 称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到 可得2Q1212np221npQ21品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。例题例题. . 质量为质量为M M 的电机安装在弹性基础的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为为e e，偏心质量为，偏心质量为m m。转子以匀角速。转子以匀角速w

8、 w转动转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为用相当于弹簧常量为k k的弹簧。设电机运的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F F、阻尼力F FR、虚加的惯性力F FIe、F FIr，受力图如图所示。 转子偏心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动根据达朗贝尔原理，有0sindd)(dd222sttmetxMxkMgtxctmekxtxctxMsindddd222)sin(dd2dd2222teM

9、mxptxntxn,22McnMkpn ，= h2eMm转子偏心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动电机作受迫振动的运动方程为)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (bMmeB212arctgbB222224)1 (Mmeb 当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 阻尼比 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 Mme转子偏心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动简谐

10、力和转子偏心引起的受迫振动的比较简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较The form of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion is)dddd()(dd22tytxcyxktxmMaking the substitutionyxzEq. becomestYmtymkztzctzmsindddddd22222where y = Y has been assumed for the motion of the

11、base. tsinYm22meThus the solution can be immediately written as )sin(tZz2222)()(cmkYmZ2tanmkcResponse of a damped system under the harmonic motion of the base 222224)1 (MmeB2tanmkc)sin(tZz2222)()(cmkYmZIf the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential

12、 form of harmonic motion givestiYeytiitieZeZez)()(Substituting into Eq., we obtaincimkYmZei22andtitiiYecimkcikeYZex)()(2Response of a damped system under the harmonic motion of the base 22222)()()(cmkckYX223)()(tancmkkmcThe steady-state amplitude and phase from this equation areand2222)2()1 ()2(1222

13、3412arctanResponse of a damped system under the harmonic motion of the base tiitieXeXex)()(Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 也可以不按相对运动求解（见郑兆昌机械振动），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。tyckytx

14、ckxtxmdddddd222.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 tHFsinSxBtsin()sin(dd),cos(dd222tBtxtBtx已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为0sindddd22tHkxtxctxm现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。kBc BHmB、 、2应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力（a）力多边形 (b) 1 (c) = 1 (d) 12.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 从能量的观点

15、分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为)sin()(tBtx周期 2T1. 激振力tHFSsinsindsin)2sin(2d)cos(sindd)(d000BHttHBttBtHtttxFWTTTSH在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功

16、为 ，做功最多。，做功最多。 2BHWH对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 txcFRddTTRRttBctttxFW02220d)(cosd)(dd上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区

17、内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2022d)(2cos1 21BcttBcT2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 3. 弹性力弹性力 做的功做的功FkxE 能量曲线 表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 TEEttxtFW0ddd)(WWHR在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量TttBtBk0d)cos()sin(0d)(2sin

18、202TttkB2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应, ,系统系统的运动微分方程和初始条件写在一起为的运动微分方程和初始条件写在一起为 00022)0( 0sinddvvxxtFkxtxm通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和, ,即即tkFtpCtpCtxsin1

19、1sincos)(20n2n1222204)1 (BB根据初始条件确定根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为。于是得到全解为tkFtpppvtpxtxtxtxncos1 coscosp)()()(20nn0nn021其特点是振动频率为系统的固有频率其特点是振动频率为系统的固有频率, ,但振幅与系统本身的性但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。质及激励因素都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条件的响应对于存在阻尼的实际系统对于存在阻尼的实际系统, ,自由振动和自由伴随振动的振幅都自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减将随时间逐渐衰减, ,因此

20、它们都是瞬态响应。因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动, , 称为称为自由自由伴随振动伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 , 0)0(, 0)0(vx2nn01sinsin)(tptpkFtx共振时的情况共振时的情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的定义, , 时上式是时上式是 型型, ,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响应为 100tptpkFtptptpkFtptptpkFtxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossin

21、lim)(tpn1arctan2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 可见可见, ,当时当时 , ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大无阻尼系统的振幅随时间无限增大. .经过短暂时间经过短暂时间后后, ,共振响应可以表示为共振响应可以表示为np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpFtptpkFtx此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫振动. .反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞振时的位移在相位上比激振力滞后后 , ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 22.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段

22、图 共振时的受迫振动有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应. .在给定初始条件下在给定初始条件下的运动微分方程为的运动微分方程为00022)0(,)0(sinddddvvxxtFkxtxctxm )sin(sin)cossin(cossine )sincos(e)(n0n00tBtppptpBtppxpvtpxtxdddtpdddtpnn全解为全解为mkp nmpcn22n1 ppdnp2220)2()1 (/kFB212arctan式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移

23、与初始速度都为零，则成为)sin(sin)cossin(cossine )(ntBtppptpBtxdddtpn可见过渡阶段的响应仍含有自可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。由伴随振动。 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 过渡阶段的响应过渡阶段的响应 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 2.1.6 阻尼理论阻尼理论在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便于于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量