高中总复习(第2轮)文科数学专题6第21讲圆锥曲线中的定点定值与最值问题课件

1、专题一 函数与导数专题六 1圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性 2研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、“几何法”求解3解析几何定值包括几何量的定值或曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于

2、客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果 22122222122323131(2011045.30)42.1xyCababFCyxCCP PFCTCCyMNMNCTCC已知椭圆：的右焦点与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的一、圆锥曲线背景下的交点为 ，圆的圆心 是抛物线上的动点，圆与 轴交于，两点，且求椭圆的方程；证明：无论点 运动到何处，圆恒经过椭圆例1广州二上定点问题模一定点 22211121111212111114 1,01,01,01.()(00)1.5521.33382 640.332 2 6()3113CyxFCFFCxPxyxyPFxPFxxyxyyP ：

3、因为抛物线：的焦点坐标为，所以点的坐标为所以椭圆的左焦点 的坐标为，抛物线的准线方程为设点 的坐标为，由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得所以点 的坐标为，法析方解:22122221222221222122101.22 62103322 6 101.43323.41,01.(432xxyCabcabaPFPFabacCCyxCxPxyy 方在椭圆：中，又，所以，则所以椭圆的方程为因为抛物线：的焦点坐标为，易知抛物线的准线方程为设点 的坐标为法，：111)(00)xy，2121111122122222221.5521.33382 6y40.332 2 6()33101.12.342419

4、9PFxPFxxxyyPxyCabcabcaabcbab 由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得所以点 的坐标为，在椭圆：中，由，解得 100332220022230002220000020220().4244.4.44(0).44(1)22211.43CTxyCrCyMNMNMNrxrxCxxyyxTCyxyyxxxyxxxyyyxy所以椭圆的方程为设点 的坐标为，圆的半径为因为圆与 轴交于、两点，且，所以，所以所以圆的方程为因为点 是抛物线：上的动点，所以，所以把代入，消去 ，整理得证法 ：22040.xy0222210032200331102220.0402,02,0143().4

5、y40)2(4CyxxyyxyxyCTTxyCrTCyxxxCyMNMNC圆恒经过椭方程对任意实数恒成立，所以，解得因为点在椭圆：上，所以无论点运动到何处，设点 的坐标为，圆的半径为因为点 是抛物线：上的动点，所以因为圆与 轴交于、两点，且证法圆上一点：定， 22200222300000022322222231244.4x .0y4004.42.014342,02,02,02,02,02,0MNrxrxCxxyyxxyCxyxyxxyyCxyC 所以，所以所以圆的方程为令，则，得，此时圆的方程为由，解得所以圆：与椭圆的两个交点为、分别把点、代入方程进行检验，可知点恒符合方程，点31.2,0TC

6、C不恒符合方程所以无论点 运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点 1()2利用两曲线间的共同点进行转化，是解决这类问题的关键证明曲线系 直线系 过定点时，可求出其含参变量的方程，由方程特点或利用关于参变量的方程有无穷多解条【点评】件处理 222212121,104.121xyAababFFAFAFCDACADCD已知点是椭圆上一点， ，是椭圆的两个焦点，且满足求椭圆的方程及离心二、圆锥曲线背景下的定值问题率；设点 、 是椭圆上的两点，直线、的倾斜角互补，试判断直线的斜率是否为定值？并例2说明理由 222212122222222211,1101112448233231.4466323CDCDxyAab

7、abFFAFAFaababcaxbceay思路：要判断的斜率是否为定值，可计算、坐标，求其斜率是否与参变量取值有关因为点是椭圆上的一点，是椭圆的两焦点，所以，所以，所以，所以，且椭圆的方程为解析: 22222222()()0.1111113144133 223210.13212.13CCDDACADCC xyD xyACADkkACyk xADyk xyk xxykxkkxkkAxkkxk 设点，因为、的倾斜角互补，所以设直线的方程为，则直线的方程为由，得因为 点的横坐标是该方程的一根，所以22321131111 21 3.(13)DCDCDCDCDCDCDCDkkxkyykxxk xk xx

8、xk xxkxxCD 同理，所以为定值 故直线的斜率为定值求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的值，说明或证明其【点评】为定值221213_xMyPOMPF PF 如图，为椭圆上任意一点， 为线段的中点，则的最小值三、圆锥曲线背景下的最值问题例3为121222122( 3cossin )31(cossin )22(2 0)( 2 0)31(2cossin )2231(2cossin )2231cos2sin44177 cos4124MPFFPFPFPF PF 设，则，又，所以，所以解方法 ：析:，1212122121227.4() () |()1 2 |2PF

9、 PFPF PFPOOFPOOFPOPOOFOFOF OFPO 方法 ：故的最小值为212724.4OMMPF PF ，当为短轴端点时，最小，其值为最值问题常建立函数关系，利用函数求最值，或直接用几何性质与方法进行推导【点评】与判断 221122121142()()2.2xyPQP xyQ xyxxPQAAOBPBP已知椭圆上的两个动点 、 ，设，且求证：线段的垂直平分线经过一个定点 ；设点 关于原点 的对称点是 ，求的最小值及例4相应的 点坐标 1122221112122222121212121212()()242241.21(1)2211210.(0)21PQP xyQ xyxyxxxxx

10、yyyxxxxyyyyPQNnkxxnPQynn xxnyA 证明：因为，且，当时，由，得设线段的中点， ，所以，所以线段的垂直平分线方程为，所以该直线恒解过一个定点，析:， 12121222211min211(0)21(0)21(0)2222220,21179()1.224423.(022)xxPQAAPQBAOBxxxxPPPBBxyx当时，线段的中垂线也过定点，综上，线段的垂直平分线恒过定点由于点 与点 关于原点 对称，故点，因为，所以，所以当点 的坐标为 ，时， 2PQP本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及了等差数列、定点问题以及最值问题本题是建立二次函数、利用二次函数和图象求最值本题的第

11、一个易错点是表达不出线段的中垂线方程，第二个易错点是易忽视 点坐标的取值范围，实质上是忽视了椭圆【点评】的范围 11,02,022.12AFlxxPFlPEFEBCABAClMNEMNF已知定点，定直线 ：，不在 轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的距离的倍设点 的轨迹为 ，过点 的直线交 于 、 两点，直线、分别交 于点、求轨迹 的方程；试判断以线段为直径的圆是否过点 ，并说备选题 明理由 2222()0122|222,3(23)1 31()2 23 333(). ()21(1232220.0)yxyP xyyxyxBCxxBCAByxMMFMFMFM FNFMFN 设， ，则，化简得当轴

12、，其方程为，则，的方程为，因此点的坐标为， ，同理，可得，因此，解，即析:22222221122221212222212121212222222 (0)1334430.300.()()443332224438 (33BCxBCyk xkyxykxk xkkB xyC xykkxxx xkky ykxxkx xxxkkkkk 当与 轴不垂直时，设的方程为与双曲线方程联立，消去 ，得由题意知，且设，则，2294).3kk111211222212121113133()()2 212 2133()2 21339()()22411 xxyAByxxyyMFMxxyFNxy yFM FNxx 因为 ，所以直线的方程为因此点的坐标为，同理，可得，因此2222229993 4344413399 044.kkkkkkFMMNFNFMFNF 综上所述，以为直径的圆必定以，即过点，所1对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求