金融工程学 第六章

1、第六章第六章 期权定价的数值方法期权定价的数值方法 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型孙万贵孙万贵西北大学经济管理学院西北大学经济管理学院2021-12-81前言n布莱克布莱克舒尔斯期权定价公式的局限性舒尔斯期权定价公式的局限性1.连续时间交易，模型复杂不易理解，缺乏直观；2.假设不存在交易费用和其它费用；3.只适用于欧式期权2021-12-82前言n二叉树期权定价模型的优点二叉树期权定价模型的优点1.适用于单期投资和多期投资问题；2.不仅适用于欧式期权的定价，也适用于美式期权的定价；3.适用于存在各种费用问题；4.易于理解2021-12-83前言n参考文献1.Black F.,Schole

2、s M., The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, 1973, 81, 637-6542.Cox J., Huang C.F., Rubinstein M., Optional pricing: a simplified approach, J. Financial Economics,1979, 7, 229-2632021-12-84问题问题单期情况单期情况一只股票现价100元，一年后有两种可能，上涨到150元或下跌到50元。假设无风险利率25%（年单利）。又设一欧式看涨

3、期权，期限一年，到期有权选择按执行价格100元获得一股该股票。试求此欧式看涨期权的价格。2021-12-85解法一解法一: 构造无风险组合构造无风险组股票欧式看涨期权构造组合：一股股票和两份看涨期权空头50100-2c50因此，100-2c=50/(1+25%)=40所以，c=302021-12-86解法二：构造期权解法二：构造期权15050S=100500c股票欧式看涨期权构造组合：aS+b150a+rbaS+b因此，150a+rb=50 50a+rb=0所以，a=1/2, b=-20c= aS+b =3050a+rb2021-12-87解法三：构造股票解法三：构造

4、股票15050S=100500c股票欧式看涨期权构造组合：ac+b50a+rbac+b因此，50a+rb=150 rb=50所以，a=?, b=?s= ac+brb2021-12-88单期一般情况单期一般情况uSdSScucdc股票欧式看涨期权构造组合：复制期权auS+rb= cuc=aS+badS+rb=cd2021-12-89二叉树定价公式风险中性概率其中pdudrpcppcrbaScruducdcbSdSuccadududu11, 2021-12-810风险中性概率风险中性概率其中dudrpcppcrcdu11rSdSdudruSdudrdSppuS11uSdSSp1-p按风险中性概率，

5、股票到期期望收益为rddudrududrdppu11或2021-12-811例子75.05 .05 .05 .025.1,0,50,25.1, 5 .0, 5 .1dudrpccrdudu可知15050S=100500c股票欧式看涨期权30025. 05075. 025. 1111ducppcrc2021-12-812多期二叉树模型欧式期权S=50, K=50, u=1.05, d=0.95，004.112105.0er01月2月5052.547.555.1349.8845.13股票c2.505.13002021-12-813续 076. 21154. 0duduuuccppcrcdudrpc

6、2.505.1300cucdc48. 111ducppcrccuucudcdd2021-12-814美式看涨期权不提前执行5052.547.555.1349.8845.13股票C2.505.1300CuCdCCuuCudCdd48. 1076. 21154. 0CCCppCrCdudrpduduuu2021-12-815美式看跌期权可能提前执行5052.547.555.1349.8845.13股票P02.500.124.87PuPdPPuuPudPdd296. 2055. 01154. 0duduuuPPppPrPdudrp2021-12-816美式看跌期权美式看跌期权P 0(0.055) 2

7、.5(2.296)00.124.8718. 15 . 21055. 0154. 0pprPdudrp不提前执行提前执行2021-12-817参数确定参数确定dudrperudeutrt012021-12-818二叉树定价方法的应用二叉树定价方法的应用停业决策和重新开业决策停业决策和重新开业决策n评估金矿 WOE拥有金矿。 WOE（交易代码）处在停产状态，但仍交易。 WOE没有债务，流通股2000万，市场价值过亿美元。2021-12-819WOE评估评估n当前金价n金价波动率n半年期利率3.4%n每盎司黄金开采成本n开采期限100年n开业成本200万n停业成本100万n期数200n每期开采数量2

8、.5万盎司35034. 19 . 0111. 13202115. 0XrudeeuSt2021-12-820停业决策和开业决策停业决策和开业决策320355394437355288233320259288黄金价格二叉树 u=1.11, d=0.902021-12-821320355394355394437394355320288假设开业价410，停业价2902.5(437-350)-2002.5(394-350)2.5(355-350)2.5(320-350)-100黄金价格可能走势黄金价格可能走势:上、上、上、下、上、上、下、下、下、下上、下、上、上、下、下、下、下2021-12-822价值估计价值估计987651.034100-350)-2.5(2881.034350)-2.5(3201.034350)-2.5(3551.034350)-2.5(3951.034200-350)-2.5(437 所有路径下金矿的平均值称为当开业价410和停业价290时金矿的最优估计值。2021-12-823价值估计价值估计开业价停业价金矿估价（亿）40046038037036042041014030029010019015029014.6714.5914.5