ch均衡净保费与毛保费PPT课件

1、第六章 分期净保费与毛保费净保费(Net Premium)附加保费(Loading)毛保费(Gross Premium)精算平衡原理： 保费收入现金流 保险给付支出现金流L-签单时保险人损失现值随机变量。 L=签单时未来保险给付现值变量- 签单时净保费收入现值随机变量 EL=0第1页/共51页模型形式：全连续型全离散型半连续型第2页/共51页6.1 全连续型寿险的净保费模型假设：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费，每年缴费额相同。（给付连续型，缴费连续型）各种寿险形式的年缴净保费与方差设年缴费额为 ，若死亡在时刻t，则签单时损失现值P( )ttl tv

2、P a( ):l t随t递减。注：1 全连续型终身寿险第3页/共51页( )TTLl TvPa损失变量：精算平衡原理：方差：222222222( )(1)(1) () () () ()TxxxxxxxxxxPPPVar LVarvAAaAAAAAaa（）( )00 ()xxxxxxxAE LAP aPaAP Aa记第4页/共51页例4.2 设死力为常数 ，利力为常数 ，试计算 和 。0.040.05()( )xP AVar L解：21111.110.090.040.44440.090.040.285720.14xxxaAA()0.04xxxAP Aa22222()()2( )0.2857()(

3、)xxxAAVar La第5页/共51页2 一般形式的全连续型模型TTLb vP Y,TTTTnhaThvTnb vYaThv Tn例1( )0()( )TTE LE b vPE Y:()x nhx nx hAP Aa保险给付的精算现值净保费收入的精算现值年缴净保费=第6页/共51页n例2 延期 年的终身生存年金，前n年缴费。|:()nxnxx nnxx nx naEaPaaa,0,TTTnT nnaTnTnb vYvaTnaTn由精算平衡原理，得第7页/共51页险种保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年两全保险n年生存保险n年延期终身生存年金h年限期缴费终身人寿保险h年限期缴费n年定期保险h年

4、限期缴费n年两全保险h年限期缴费n年延期终身生存年金()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()hxxx hP AA a：11:()x nx nx nP AAa：|:()xnxnxx nnx nx nPaaaEaa()hx nx nx hP AAa：全连续型年缴净保费（全期缴费与限期缴费）11()hx nx nx hP AAa：1|:()hnxnxxx nx hx hnPaaaAaa第8页/共51页练习：全连续n年期两全保险的保险人损失现值随机变量L,表达出L的表达式，并写出其方差表示式。,TTTTnnaTnvTnb vYaTnv Tn()T

5、Tx nLb vP AY：2221( )() ()()()()(1)(1) () TTx nx nx nx nx nx nx nZVar LVar b vP AYVar ZP AP AP AP AVarZAA：注：222222()()( )(1) () ()x nx nx nx nx nx nP AAAVar LAAa：第9页/共51页3 分期净保费的两个推导公式11()xxxxaAP Aa:11()1x nx nx nx nx nx naAP AaaA同理：11()1xxxxxxaAP AaaA第10页/共51页4 其他的确定保费方法例 某保险公司计划发行一种人寿保单，已知0岁人的取整余命K

6、的概率密度函数为：|01,0,1,2,34kqk该保险公司在被保险人死亡的年末支付1单位保险金，保费在被保险人活着的每年初支付。年利率5%，根据以下原则确定应向0岁人收取的年保费：原则1：P使得保单签发时的损失现值的期望为0；原则2：P为使得损失为正的概率不超过25%的最低额。分析：110,1,2,3( )(1)KKjjjLvP aKPPl jvP avdd第11页/共51页（1）原则1下，精算平衡原理22(2)0lvP a31|010()0kkkkvP aq3311|00033|011000.3719kkkkkkkkkkvqvPaqa从而有（2）l(j)随j增加而减小，原则2相当于满足l(2

7、)=0时成立，这时只有l(1)为正，且P最小。故0.4646P 第12页/共51页上述结果的表示：0.46460.3719保费为：-0.9071-0.56203-0.4646-0.199620.00000.180910.48780.58050原则2原则1损失现值一般公式概率结果22vP a22vP a22vP a22vP ak|0kq第13页/共51页6.2 全离散型寿险的净保费模型：（x）死亡年末给付1单位终身寿险，被保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散，缴费也离散）1 用精算等价原理确定年缴净保费L：签单时损失变量11,0,1,2,( )00,KKxxxxxxxLvP aKE LAP

8、aAAPPaa记222222()( )(1) () ()xxxxxxPAAVar LAAdda第14页/共51页例4.4 设1|0.04(0.96),01,2,5%,0.96( )kkxxqckciPVar L 其中计算和。解：111|000.96(0.96)0.44441 0.96111.67kkkxkxkkxxvAvqvccvAad 0.038xxxAPa22220.960.28071 0.96()( )0.2693()xxxxvAcvAAVar Lda 22又故第15页/共51页险种（全缴费期）保费公式终身人寿保险n年定期寿险n年期两全保险n年期生存保险n年延期终身生存年金xxxxxNM

9、aAP )()(11nxxnxxnxnxnxNNMMaAP： )()(nxxnxnxxnxnxnxNNDMMaAP： )(11nxxnxnxnxnxNNDaAP： 1:()()xxx nx nxx nnnx nPaAaaNNN2 各种全离散寿险模型的年金净保费第16页/共51页险种（限期缴费）保费公式h年缴费终身寿险h年缴费n年定期寿险h年缴费n年两全保险h年缴费n年生存保险h年限期缴费n年延期终身生存年金()hxxxxx hx hPA aMNN：11:()hx nxx hxx nx nPAaDNN： h1|:()()hxnxxx nnx hx hnx nxx hPaaaAaaNNN() ()

10、hxx nx nxx hx nx nx hPAaMMDNN：11() ()hxx nxx hx nx nx hPAaMMNN：第17页/共51页练习 对全离散n年期两全保险，损失变量L，写出其方差表达式。第18页/共51页例4.6 保额为10000元的全离散型终身寿险，用p表示该保单的年缴保费，L(p)表示签发时损失现值变量，投保年龄25岁。且有下式成立：225250.19,0.064,0.057.AAd(1)求保费pa，使得L(pa)的均值为0，并求L(pa)的方差;(2)求使损失L(pb)为正的概率小于的最低保费pb的近似值，并求L(pb)的方差；(3)用正态近似决定保费pc，使100份这

11、种相互独立保单的总损失为正的概率等于。第19页/共51页解：(1)由精算等价原理2525252525100001000010000133.701aAdAPaAp11Pr( ()0)0.5,Pr(100000)0.5bKbKLvapp即查生命表，知78795325255425250.5314,0.4989llppll(2) pb满足下式从而，知道K=53时2222525225() ()(10000)4252400.5(1)aAAVar LAp且5454100000bbvapp取使第20页/共51页5454,1000025.01bvap故211882182 222525( ()10000()100

12、0010(1)100001000010 (1)()1000010 (1) () 100003040263KbbKbbKbbVar LVar vaVarddVar vdAAdpppppp11()1000025.01KbKLvap53 153 1Pr(100000)0.5bvap则满足第21页/共51页( ()0.1670(10000)ccVar Ldpp(3)一张保单的损失、期望、方差如下：对100份保单，总损失、总损失的期望、方差分别为：1001()100 ()( )100( ()jcjccSLESE LVar SVar Lppp111252 2222525()10000(10000) ()(

13、10000)0.19(10000)( ()(10000) () 0.0279(10000)KKccccKccccccccLvavddE LAddddVar LAAddpppppppppppp第22页/共51页由正态近似，Pr(0)0.05S 对应正态分位数2522252501.645( )100 ()1.645100( ()(10000)101.645(10000) () cccccESVar SE LVar LAddAAdppppp于是，解出158.43cp第23页/共51页例4.7 证明并解释公式：1:(1)nxx nx nx nPPPA证明：下列结论成立111:1:x nx nx nx

14、nx nnxxx nx nx nx nP aAAAPaAAAA上两式相减，得11:()(1)(1)nxx nx nx nx nnxx nx nx nPP aAAPPPA注：两个年缴保费的差相当于保额为 的生存保险的年缴净保费。(1)x nA第24页/共51页3 半连续型寿险的净保费年缴净保费符号：11:(),(),(),(),(),()xhxhhx nx nx nx nP AP AP AP AP AP A：计算方法： 使用UDD假设，与对应全离散模型建立联系。()xxxxxxAAiiP APaa 如第25页/共51页半连续年缴净保费表险种保费公式终身寿险n年定期寿险n年两全保险h年缴费终身寿险

15、h年缴费n年两全保险()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()hxxx hP AAa：()hx nx nx hP AAa：第26页/共51页4 换算函数计算年缴净保费的例题例4.8 考虑(x)购买的缴费期为15年的保额为1单位的终身寿险，设第二个5年的年保费为第一个5年的年保费的2倍，最后5年的年保费较第二个5年的年保费多10个单位。用换算函数表示初始年保费。解：设初始年保费为P，则第二个5年的年保费为2P，最后5年的年保费为2P+10。由精算平衡原理，P满足：:15:10:5(210)10 xxxxAPaaPa从而，:10:15:15:5

16、10102xxxxxAaaPaa101515510() 10()2()()xxxxxxxxxMNNNNNNNN101551510()2xxxxxxMNNNNN第27页/共51页例4.9 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，利率6%。试根据附录中的生命表计算下列保费：25:4025:4025:4011125:4025:4025:40(1)1000 (); (2)1000 (); (3)1000;(4)1000 (); (5)1000 (); (6)1000.P AP APP AP AP解：UDD下，有111256525:4025:4025125656525:4025:4025:4025250.034

17、420.11560.061.0297087,ln(1.06)MMiiAADMMDiiAAADDi其中，从而可得：第28页/共51页125:4025:4025:4025:4025:40125:4025:4025:4025656525652565256525:40(1)1000 ()100010001ln(1.06) 0.115610007.62;1 0.1156(2)1000 ()1000()10001.02970877.39;(3)10001000AAP AaAiP APPMMDNNNNMMP65256511125:4025:40125:4025:4025:407.33;(4)1000 ()1

18、00010001ln(1.06) 0.0344210002.27;1 0.1156DNNAAP AaA第29页/共51页11125:4025:4025:4025:40256525651256525:402565(5)1000 ()100010001000 1.02970872.20;(6)100010002.14AiP APaMMNNMMPNN第30页/共51页6.3 每年缴纳数次的净保费年缴m次的年净保费：每一个保单年度内，保费分m次缴付，且死亡给付不做调整。(),2,4,12mPm 如年缴m次的死亡年末给付1单位的终身寿险：()()1,mmxxmPPm年缴 次 年缴数额每次缴费数额1()(

19、)1()()()()1(2) ( )00 KmmxKmmmxxxxxmxLvPaAE LAPaPa（）模型分析第31页/共51页说明：年缴一次与年缴m次的关系():()()():mx nx nx nx nmmmx nx nx nx nx nx nAaAaPPaaaa():()():mx nx hhhmmx nx nx hx hAaPPaa类似地第32页/共51页险种保单年度末给付死亡立即给付终身寿险n年定期寿险n年两全保险h年限期缴费终身寿险h年缴费n年定期寿险h年缴费n年两全保险()()mxxmxAPa11()()x nmmx nx nAPa：()()()mxxmxAPAa1()1:():(

20、)mx nmx nx nAPAa():():()mx nmx nx nAPAa()():()mxhxmx hAPAa1()1:():()mx nhmx nx hAPAa():():()mx nhmx nx hAPAa()()x nmmx nx nAPa：()()mxhxmx hAPa：11()()x nmhmx nx hAPa：()()x nmhmx nx hAPa：第33页/共51页6.4 毛保费费率的确定1 厘定毛保费的原则精算平衡原理毛保费精算现值 = 净保费精算现值 + 附加费用的 精算现值 = 各种给付的精算现值 + 各种费用 支出的精算现值费用：税金、许可证、保单销售费用、合同成立

21、后的维护费用、投资费用等说明：保险业经营中，区分投资和承保，费用也相应区分第34页/共51页费用分类成分投资费用（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本保险费用1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录2、维护费用 （1）保费收取及记账（2）保险给付变更及保单选择权准备（3）与保单持有人进行联络3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务（3）一般会计费用，如工资、佣金、水电费等（4）税金、许可证等费用4、理赔费用 （1）理陪调查和法律辩护费（2）各种给付的费用2 费用的分类与分配第35页/共51页费用：

22、与保费相关； 与保额相关； 与保费、保额关系不大，但与保单数目有关。说明： 费用分类和分配是控制保险系统运营的重要管理工具 精算定价时对费用进行分配，分配方法不同公司方法不同； 保费确定时考虑费用采取前瞻法，即预期发生的费用。第36页/共51页未来保险费用的分配第一年续年分类每份每千元保费百分比（%）每份每千元保费百分比（%）2-9年10-15年16年以上1、新契约费（1）销售费用 佣金-50-553 销售事务-25-2.51.51 其它12.54-（2）分类180.5-（3）发行与记录4-2、维持费用20.25-20.25-3、营业费用（1）（2）（3）40.25-40.25-（4）税金-3

23、-222小计40.557860.59.58.564、给付费用每份保单18元加上千元保额0.1元第37页/共51页例4.11 对(x)购买的保额为20000元的半连续型终身寿险保单，按上表所列费用，试根据精算平衡原理计算毛保费。解：由精算平衡原理，使用精算现值，同时理赔费用与给付同时发生，得到下式9|15|:8:620020(40.5 1000.78 )610(0.0950.0850.06) xxxxxxxGaAGaaaaa G9|15|:8:9:6:15:9:15:9:151,20020140.5 160.940.6850.010.025xxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaAaGaaa第

24、38页/共51页%60811675. 0114592. 0140254025iAA，：例对（25）购买的保险金额为10万元的40年两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。求净保费与毛保费。已知25:4025:401(1)15.6422Aad解：25:4025:4025:40100000100000732.85APa第39页/共51页125:4025:4025:4025:40(2)100000100(750.15 )(250.1 )GaAAGG a125:4025:4025:

25、4025:4010000010075250.90.15AAaGa1125:25:4025:40400.033425856.45AAAG第40页/共51页3 保单费用与保单费保单费用：有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。保单费：确定费率时加载在保费上的数额。第41页/共51页毛保费可分为三部分：a b第一部分：跟保险金额相关部分，如净保费、承保费用等( )fG b第三部分：跟保费数额相关部分。如代理人佣金、保险费税金等c第二部分：每份保单的费用（保单费用）。如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等

26、毛保费构成分析( )( )G babcfG b 第42页/共51页G(b)：保险金额为b千元的毛保费ab：保费中与保险金额相关的部分，其中净保费是它的主要部分c：每份保单分摊的费用，与保额或保费大小无关。f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。( )(1)G bfabc保费构成与费率的解释第43页/共51页( )( )G babcfG b 毛保费构成公式( )( )11( )caabcbG bbb R bffR b表示保额为b时保险费率(千元)/( ) 1( )( )ac bR bfG bb R b确定费率方法：分级费率法保单费附加法)(bR费率函数的定义 ：第44页/共51页分级费率法：保单根据保额分成若干等级，等级内根据保额分布求出保额均值，根据平均保额计算该等级内保单适用的费率。/( )( ) 1( )( )ac bR bR bfG bb R b第45