备考2022数学专题18等腰、等边三角形问题（解析版）

1、专题18 等腰、等边三角形问题一、等腰三角形1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等4.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴5.等腰三角形的判定如果一个

2、三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.二、等边三角形1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2. 性质性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。3.判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。三

3、、解题方法要领1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。【例题1】（2020临沂）如图，在abc中，abac，a4

4、0°，cdab，则bcd（）a40°b50°c60°d70°【答案】d【解析】根据等腰三角形的性质可求acb，再根据平行线的性质可求bcd在abc中，abac，a40°，acb70°，cdab，acd180°a140°，bcdacdacb70°【对点练习】如图所示，点d是abc的边ac上一点（不含端点），ad=bd，则下列结论正确的是（）aacbc bac=bc caabc da=abc【答案】a 【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶

5、角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合根据等腰三角形的两个底角相等，由ad=bd得到a=abd，所以abca，则对各c、d选项进行判断；根据大边对大角可对a、b进行判断ad=bd，a=abd，abca，所以c选项和d选项错误；acbc，所以a选项正确；b选项错误【例题2】（2020宁波）bde和fgh是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形abc内若求五边形dechf的周长，则只需知道（）aabc的周长bafh的周长c四边形fbgh的周长d四边形adec的周长【答案】a【解析】证明afhchg（aas），得出afch由题意可知befh，则得出五边形dechf的周长ab+b

6、c，则可得出答案gfh为等边三角形，fhgh，fhg60°，ahf+ghc120°，abc为等边三角形，abbcac，acba60°，ghc+hgc120°，ahfhgc，afhchg（aas），afchbde和fgh是两个全等的等边三角形，befh，五边形dechf的周长de+ce+ch+fh+dfbd+ce+af+be+df，（bd+df+af）+（ce+be），ab+bc只需知道abc的周长即可【对点练习】如图所示，在等边三角形abc的边bc、ac上分别取点d、e，使bd=ce，ad与be相交于点p则ape的度数为 °【答案】60【解析】

7、根据bd=ce可得cd=ae，即可证明acdbae，得cad=abe，再根据内角和为180°的性质即可解题。bd=ce，bcbd=acce，即cd=ae，在acd与bae中，acdbae（sas），cad=abe，cad+ape+aeb=180°，abe+bae+aeb=180°，ape=bae=60°【例题3】（2020台州）如图，已知abac，adae，bd和ce相交于点o（1）求证：abdace；（2）判断boc的形状，并说明理由【答案】见解析。【分析】（1）由“sas”可证abdace；（2）由全等三角形的性质可得abdace，由等腰三角形的性质

8、可得abcacb，可求obcocb，可得boco，即可得结论【解答】证明：（1）abac，badcae，adae，abdace（sas）；（2）boc是等腰三角形，理由如下：abdace，abdace，abac，abcacb，abcabdacbace，obcocb，boco，boc是等腰三角形【对点练习】如图，已知acbc，bdad，ac与bd交于点o，ac=bd.求证： (1)bc=ad； (2)oab是等腰三角形.【答案】见解析。【解析】证明：（1）acbc，bdad，d=c=90°.在rtacb和rtbda中，acbbda(hl).bc=ad.（2）由acbbda，得cab=d

9、ba，oab是等腰三角形.【对点练习】已知：在abc中，ab=ac，d为ac的中点，deab，dfbc，垂足分别为点e，f，且de=df求证：abc是等边三角形【答案】见解析。【解析】只要证明rtadertcdf，推出a=c，推出ba=bc，又ab=ac，即可推出ab=bc=ac；证明：deab，dfbc，垂足分别为点e，f，aed=cfd=90°，d为ac的中点，ad=dc，在rtade和rtcdf中，rtadertcdf，a=c，ba=bc，ab=ac，ab=bc=ac，abc是等边三角形【对点练习】如图，abc中，ab=ac，a=36°，ac的垂直平分线交ab于e，d

10、为垂足，连接ec（1）求ecd的度数；（2）若ce=5，求bc长【答案】（1）ecd的度数是36°；（2）bc长是5【解析】（1）de垂直平分acce=ae，ecd=a=36°（2）ab=ac，a=36°，b=acb=72°，bec=a+ecd=72°，bec=b，bc=ec=5一、选择题1（2020聊城）如图，在abc中，abac，c65°，点d是bc边上任意一点，过点d作dfab交ac于点e，则fec的度数是（）a120°b130°c145°d150°【答案】b【解析】由等腰三角形的性质得出

11、bc65°，由平行线的性质得出cdeb65°，再由三角形的外角性质即可得出答案abac，c65°，bc65°，dfab，cdeb65°，feccde+c65°+65°130°.2（2020南充）如图，在等腰abc中，bd为abc的平分线，a36°，abaca，bcb，则cd（）aa+b2ba-b2cabdba【答案】c【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出bdbcad，进而解答即可在等腰abc中，bd为abc的平分线，a36°，abcc2abd72°，abd36°a，bdad

12、，bdca+abd72°c，bdbc，abaca，bcb，cdacadab3（2020徐州）如图，ab是o的弦，点c在过点b的切线上，ocoa，oc交ab于点p若bpc70°，则abc的度数等于（）a75°b70°c65°d60°【答案】b【解析】先利用对顶角相等和互余得到a20°，再利用等腰三角形的性质得到obaa20°，然后根据切线的性质得到obbc，从而利用互余计算出abc的度数ocoa，aoc90°，apobpc70°，a90°70°20°，oaob，oba

13、a20°，bc为o的切线，obbc，obc90°，abc90°20°70°4.已知等边三角形的边长为3，点p为等边三角形内任意一点，则点p到三边的距离之和为（）a b c d不能确定【答案】b 【解析】本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点p到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观作出图形，根据等边三角形的性质求出高ah的长，再根据三角形的面积公式求出点p到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解如图，等边三角形的边长为3，高线ah=3×=，sabc=bcah=abpd+bcpe+acpf，×

14、;3ah=×3pd+×3pe+×3pf，pd+pe+pf=ah=，即点p到三角形三边距离之和为5.（2019浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒oa，ob组成，两根棒在o点相连并可绕o转动，c点固定，oc=cd=de，点d，e可在槽中滑动，若bde=75°，则cde的度数是（    ）a. 60°          &#

15、160;                   b. 65°                           c.&#

16、160;75°                                d. 80°【答案】d【解析】考点是三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质。oc=cd=de，o=odc，dce=dec，设o=odc=x，dce=dec=2

17、x，cde=180°-dce-dec=180°-4x，bde=75°，odc+cde+bde=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，cde=180°-4x=80°.6.（2019湖南长沙）如图，rtabc中，c90°，b30°，分别以点a和点b为圆心，大于ab的长为半径作弧，两弧相交于m、n两点，作直线mn，交bc于点d，连接ad，则cad的度数是（）a20°b30°c45°d60°【答案】b 【解析】在a

18、bc中，b30°，c90°，bac180°bc60°，由作图可知mn为ab的中垂线，dadb，dabb30°，cadbacdab30°二、填空题7（2020台州）如图，等边三角形纸片abc的边长为6，e，f是边bc上的三等分点分别过点e，f沿着平行于ba，ca方向各剪一刀，则剪下的def的周长是【答案】6【解析】根据三等分点的定义可求ef的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解等边三角形纸片abc的边长为6，e，f是边bc上的三等分点，ef2，deab，dfac，def是等边三角形，剪下的def的周长是2×368（2020

19、牡丹江）如图，在rtabc中，cacb，m是ab的中点，点d在bm上，aecd，bfcd，垂足分别为e，f，连接em则下列结论中：bfce；aemdem；aece=2me；de2+df22dm2；若ae平分bac，则ef：bf=2：1；cfdmbmde，正确的有 （只填序号）【解析】【分析】证明bcfcae，得到bfce，可判断；再证明bfmcem，从而判断emf为等腰直角三角形，得到ef=2em，可判断，同时得到mefmfe45°，可判断；再证明dfmnem，得到dmn为等腰直角三角形，得到dn=2，dm，可判断；根据角平分线的定义可逐步推断出deem，再证明adeace，得到de

20、ce，则有efbf=efce=efde=2emde=2，从而判断；最后证明cdmade，得到cmae=dmde，结合bmcm，aecf，可判断【解析】acb90°，bcf+ace90°，bcf+cbf90°，acecbf，又bfd90°aec，acbc，bcfcae（aas），bfce，故正确；由全等可得：aecf，bfce，aececfceef，连接fm，cm，点m是ab中点，cm=12abbmam，cmab，在bdf和cdm中，bfdcmd，bdfcdm，dbfdcm，又bmcm，bfce，bfmcem（sas），fmem，bmfcme，bmc90&

21、#176;，emf90°，即emf为等腰直角三角形，ef=2emaece，故正确，mefmfe45°，aec90°，mefaem45°，故正确，设ae与cm交于点n，连接dn，dmfnme，fmem，dfmdemaem45°，dfmnem（asa），dfen，dmmn，dmn为等腰直角三角形，dn=2dm，而dea90°，de2+df2dn22dm2，故正确；acbc，acb90°，cab45°，ae平分bac，daecae22.5°，ade67.5°，dem45°，emd67.5&#

22、176;，即deem，aeae，aedaec，daecae，adeace（asa），dece，mef为等腰直角三角形，ef=2em，efbf=efce=efde=2emde=2，故正确；cdmade，cmdaed90°，cdmade，cdad=cmae=dmde，bmcm，aecf，bmcf=dmde，cfdmbmde，故正确。9如图所示，d是等边abc的ac边上的中点，点e在bc的延长线上，de=db，abc的周长是9，则e= °，ce= 【答案】30；【解析】由abc为等边三角形，且bd为边ac的中线，根据“三线合一”得到bd平分abc，而abc为60°，得到

23、dbe为30°，又因为de=db，根据等边对等角得到e与dbe相等，故e也为30°；由等边三角形的三边相等且周长为9，求出ac的长为3，且acb为60°，根据acb为dce的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出cde也为30°，根据等角对等边得到cd=ce，都等于边长ac的一半，从而求出ce的值解：abc为等边三角形，d为ac边上的中点，bd为abc的平分线，且abc=60°，即dbe=30°，又de=db，e=dbe=30°，等边abc的周长为9，ac=3，且acb=60°，cde=acbe=

24、30°，即cde=e，cd=ce=ac=10.(2019黑龙江绥化)如图,在abc中,abac,点d在ac上,且bdbcad,则a_度.【答案】16【解析】bdad,设aabdx,bdc2x,bdbc,cbdc2x,abac,abcc2x,x+2x+2x180°,x36°.三、解答题11（2020绍兴）问题：如图，在abd中，babd在bd的延长线上取点e，c，作aec，使eaec若bae90°，b45°，求dac的度数答案：dac45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“b45°”去掉，其余条件不变，那么dac的度数会

25、改变吗？说明理由（2）如果把以上“问题”中的条件“b45°”去掉，再将“bae90°”改为“baen°”，其余条件不变，求dac的度数【答案】见解析。【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到aed2c，求得dae90°bad90°（45°+c）45°c，由，即可得到结论；（2）设abcm°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】（1）dac的度数不会改变；eaec，aed2c，bae90°，bad=12180°（90°2c）45°+c，dae90°bad90°（45°+c）45°c，由，得，dacdae+cae45°；（2）设abcm°，则bad=12（180°m°）90°-12m°，aeb180°n°m°，daen°badn°90°+12m°，eae