信号与系统_连续系统的时域分析

1、信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-1 1 1页页页第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积代数一、卷

2、积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-2 2 2页页页 LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性建立并求解线性微分方程微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-3 3 3页

3、页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解1 微分方程的建立微分方程的建立 1）写出各元件的元件特性（）写出各元件的元件特性（VAR）；）； 2）根据电路列）根据电路列KVL,KCL方程；方程； 3）整理方程，化为微分方程。）整理方程，化为微分方程。信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-4 4 4页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应uS(t)uC(t)LRC)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，信号与系统信号与系统

4、通信与电子工程学院第第第2-2-2-5 5 5页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2、微分方程的经典解、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-6 6 6页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）齐次解齐次解 y(n)+an-1y(n-

5、1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 yh(t)的函数形式的函数形式由由特征根特征根确定。确定。特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P43表表2-1、2-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-7 7 7页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应例

6、例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 解解: (1) 齐次解：齐次解：特征方程：特征方程：2 + 5+ 6 = 0 特征根：特征根：1= 2，2= 3齐次解为齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-8 8 8页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应

7、连续系统的响应（2）特解）特解 yp(t) = Pe t 代入微分方程得代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 得得 ：P=1 得得 特解：特解：yp(t) = e t全解：全解： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 信号与系统信号与系统

8、通信与电子工程学院第第第2-2-2-9 9 9页页页（3）当激励）当激励f(t)=e2t时，时， 特解：特解： yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 得：得： P1= 1全解：全解：y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，将初始条件代入， y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 全解：全解： y(t) = 2e2t e3t + te2t

9、 , t0系数系数C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也不能区分自，因而也不能区分自由响应和强迫响应。由响应和强迫响应。 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-101010页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，

10、不便于描述系统包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。的历史信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映反映了了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始初始状态状态或或起始值起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-111111页页页2.1 LTI2.1

11、 LTI连续系统的响应连续系统的响应当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 状态有没状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其及其各阶导数项。各阶导数项。 一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能情况储能元件的储能情况; ;但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫但是当有冲激

12、电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，作用于电感， 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 说明0.00 ,00LLCCiivv00 到00 到 t 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-121212页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应由伏安关系由伏安关系, 0d)(00 Ci)0()0( CCvv此时此时例：电容电压的突变C)(tvC)(tiC tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令CvvCC1)0

13、()0( 此时此时，CiCC1d)(100 为有限值为有限值如果如果)(tic, 0d)(00 Ci)0()0( CCvv此时此时 ttic 为为如如果果)(信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-131313页页页例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将将f(t)=(t)代入方程代入方程 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）在在0-t 0 信号与系统

14、信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-171717页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yf(t) 满足满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，从而，从而yf(t)跃变，即跃变，即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0连续，即连续，即yf(0+) = yf(0-) = 0，积分得，积分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-

15、)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2 对对t0时，有时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-181818页页页2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应

16、一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-191919页页页2.2 2.2 冲激

17、响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考虑考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。 微

18、分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-202020页页页2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t)

19、+ 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-212121页页页2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a”(t) + b(t)+ c

20、(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）对式对式(3)从从0-到到

21、0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-222222页页页2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得

22、 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)= T (t) ，0ttgthhtgtd)(d)(,d)()(由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-232323页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问

23、f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-242424页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为，宽度为，用用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用、宽度为，用p(t + +)表示为表示为： f (

24、- - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-252525页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷积积分卷积积分

25、信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-262626页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()(thtfthftyf信号

26、与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-272727页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-282828页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()

27、(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-292929页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分例f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f

28、(- -)平移平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d

29、21)(221tttytf0h( )f (t - )2013信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-303030页页页2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()(

30、)2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-313131页页页2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的

31、（或存在的）。 一、卷积代数一、卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1. 交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-323232页页页2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)

32、()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(d)()(t) *(t) = t(t)信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-333333页页页2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t)

33、= (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-343434页页页2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) =

34、et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2)

35、 f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 信号与系统信号与系统通信与电子工程学院第第第2-2-2-353535页页页2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用时移特性，有利用时移特