八上培优半角模型

1、八上培优 5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现 90°套 45°的情况，或者 120°套 60°的情况。还有 2 套 的情况。求证的 结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。 旋转移位造全等，翻折分割构 全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第 49页，新观察在第 34页，新观察培优也有涉及，在第 27页 2 两个例题， 29 页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第 34 页 14 题1. 如图，四边形 ABCD中，A=C=90，D=60，AB=BC，E、

2、F，分别在 AD、CD上，且 EBF=6 求证： EF=AE+CFAE=EF+CF求五边形 ABCDE的面4如图 1在四边形 ABCD中 AB=AD， B+D=180， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且 BAD=2 EAF（ 1）求证： EF=BE+D；F（2）在（ 1）问中，若将 AEF绕点 A逆时针旋转，当点 E、 F分别运动到 BC、CD延长线上时，如图 2 所示，试探究 EF、 BE、 DF之间的数量关系3.如图 3，在四边形 ABDC中，B+C=180°，DB=D，C BDC=12°0 ，以 D为顶点作一个 60°的角，角的两边分别交 AB、AC于

3、 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明勤学早第 40 页试题1. ( 1)如图，已知 AB=?AC, BAC=9°0 ，?MAN=4°5,过点C作NC?AC交AN于点N，过点 B作 BM?垂直 AB交 AM于点 M，当 MAN在 BAC内部时，求证： BM+CN?=MN;证明: 延长 MB到点G，使BG=CN连, 接AG，证ABGACN(SAS), AN=AG, BAG=, NAC.L GAM= GAB + BAM=CAN+ BAM=4°5 = LMAN, 证AMNAMG(SAS), 'MN= MG= BM + B

4、G= B十M NC.证明二： (此证明方法见新观察培优第 27 页例 3) (2)如图,在(1)的条件下，当 AM和AN在AB两侧时， (1)的结论是否成立 ?请说明理由 . 解:不成立，结论是 :MN=CN一 BM, 证明略 .基本模型二 120 °套 60 °2. 如图， ABC中,CA=CB, ACB=120°,E 为 AB上一点， DCE=60° , DAE= 120°， 求证 :DE=BE 证明:(补短法)延长 EB至点F,使BF=AD,连接 CF,则 CBF CAD， CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图

5、, ABC中,CA=CB,ACB=120°，点 E为 AB上一点， DCE=DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在BE上截取 BF=AD,连接 CF，易证 CBFCAD， CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27 页例 4 如 图， ABC是边长为 1 的等边三角形， BDC是顶角， BDC=1 20°的等腰三角形，以 D 为 顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC于 M、N, 连结 MN, 试求 AMN的周长 .分析:由于 MDN=6°0 , BDC=120

6、°，所以 BDM十 CDN=60°，注意到 DB=DC，考虑运用“旋转法” 将 BDM和 CDN移到一起，寻找全等三角形。 另一方面 , AMN的周长 AM+AN+ MN=A B+A C+MN-BMC- N. 猜想 MN= BM+CN证, 三角形全等解决 .新观察培优 68页 例5 如图， 点A、B(2,0) 在x轴上原点两侧 , C在y轴正半轴上 , OC平分 ACB.(1) 求 A 点坐标 ;(2) 如图 1, AQ 在 CAB内部， P是AQ上一点， 满足ACB=AQB,A P=BQ. 试判断 CPQ的形状，并 予以证明 ;(3)如图 2. BD BC交y轴负半轴于

7、D. BDO=60°, F 为线段 AC上一动点， E在CB延长线上，满足 CFD+E=180°. 当 F在 AC上移动时，结论 : CE+CF值不变; CE- CF 值不变，其中只有一个正 确结论，请选出正确结论并求其值 .分析:(1) 由 A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由 ACP BCQ得 CP=CQ.(3) 由 BDBC,BDO=60°，可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_BC的条件, 运用对称性知 DA AC, 连结 DA, 加上条件 CFD+E=180°，可证得 ADF BDE, 于是 CE+CF=2AC=

8、 2AB= 8.基本模型三 2 °套 °14. (1) 如图 1，在四边形 ABCD中， AB=AD,B+D=180°, E,F 分别是 BC,CD上的点，且 EAF=1 2 BAD, 求证:EF= BE+ DF;(2)如图 2,在(1)的条件下,若将 AEF绕点 A逆时针旋转，当点 E,F分别运动到 BC,CD延长线上时，则 EF,BE,DF 之间的数量关系是 EF=BE- DF解 :(1)EF=BE+DF, 延长 FD到点 G，使 DG=BE连, 接 AG,证ABEADG (SAS), . AE = AG,1BAE=DAG， EAF= BAD,2GAF=DAG

9、+ DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, 'EAF= GAF,证AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4探究：如图，点 E、F 分别在正方形 ABCD的边 BC、CD上，EAF=45°，连结 EF，求证：EF=BE+DF1 应用：如图， 在四边形 ABCD中，点 E、F 分别在 BC、CD上，AB=AD，B+D=90°，EAF= BAD，25通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充 完整原题：如图 1，点 E、F分别

10、在正方形 ABCD的边 BC、 CD上， EAF=45°，连接 EF，求证： EF=BE+DF（1）思路梳理AB=AD，把 ABE绕点 A逆时针旋转 90°至 ADG，可使 AB与 AD重合 ADG=B=90°， FDG= ADG+ADC=180°，则点 F、D、G共线根据，易证 AFG，从而得 EF=BE+D；F（2）类比引申如图 2，四边形 ABCD中， AB=AD， BAD=90°点 E、F分别在边 BC、CD上， EAF=45°若 B、D 都不是直角，但当 B与 D满足等量关系时，仍有 EF=BE+D，F 请给出证明；（3）联

11、想拓展如图 3，在 ABC中， BAC=90°， AB=AC，点 D、E均在边 BC上，且 DAE=45°，猜想 BD、DE、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程7（1）如图 1，在四边形 ABCD中，AB=AD， B=D=90°，E、F分别是边 BC、CD上的点，且 AE=AF，1 EAF= BAD现有三种添加辅助线的方式：延长EB至 G，使 BG=BE，连接 AG；延长 FD至 G，2使 DG=BE，连接 AG；过点 A 作 AGEF，垂足为 G；选择其中一种方法添加辅助线，求证： EF=BE+FD；1（2）如图 2，在四边形 ABCD中， AB=AD，若

12、B+D=180°， EAF= BAD，证明（ 1）中结论是否2还成立？（3）如图 3，在四边形 ABCD中， AB=AD， B+ADC=180°， E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，1且 EAF= BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数2量关系，并证明18（1）如图 1，在四边形 ABCD中，AB=AD，B=D=90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且 EAF=2 BAD求证： EF=BE+FD1 （2）如图 2，在四边形 ABCD中，AB=AD， B+ D=180°，E、F 分别是边 BC、CD上

13、的点，且 EAF=2 BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、 BE、FD它们之间的数量关系，并证明（3）如图 3，在四边形 ABCD中， AB=AD， B+ADC=180°， E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，1且 EAF= BAD，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、2FD它们之间的数量关系，并证明半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？1如图 1，在平面直角坐标系中， AOB为等腰直角三角形， A（4， 4）（1）求 B 点坐标；（2）如图 2，若 C为 x 正半轴上一动点，以 AC为直

14、角边作等腰直角 ACD， ACD=90°，连接 OD， 求 AOD的度数；（3）如图 3，过点 A作y轴的垂线交 y轴于 E，F为 x轴负半轴上一点， G在 EF的延长线上，以 EG 为直角边作等腰 Rt EGH，过A作x轴垂线交 EH于点M，连FM，等式 AM=FM+O是F否成立？若成立， 请说明；若不成立，说明理由解：（1）如图所示，作 AEOB于 E，A（ 4，4），OE=4， AOB为等腰直角三角形，且 AE OB，OE=EB=，4OB=8，B（8，0）；（2）如图所示，作 AEOB于 E， DFOB于 F， ACD为等腰直角三角形，AC=DC， ACD=90°即

15、ACF+DCF=90°，（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在 AM上截取 AN=OF，连 ENA（4，4）， FDC+ DCF=90°， ACF= FDC， 又 DFC=AEC=90°， DFC CEA（AAS）， EC=DF=，4 FC=AE， A（4，4），AE=OE=，4 FC=OE，即 OF+EF=CE+E，FOF=CE，OF=DF， DOF=45°， AOB为等腰直角三角形， AOB=45°， AOD= AOB+DOF=90°； AEN+ OEM=4°5又 AEO=90°， NEM=45

16、6;=FEM，又 EM=EM， NEM FEM（SAS），MN=M，FAM-MF=AM-MN=，ANAM-MF=O，F即 AM=FM+O；F、等腰三角形的性质和坐标与图形性质AE=OE=，4 又 EAN= EOF=90°， AN=O，F EAN EOF（ SAS）， OEF=AEN，EF=EN， 又 EGH为等腰直角三角形， GEH=4°5 ，即 OEF+OEM=4°5 ， 【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形a=4，b=4，A（4，0），B（0，4）；（2）3如图，已知 A（a，b），ABy轴于 B，且满足 |a-2|+ （ b-2 ） 2=0，（1）求 A

17、 点坐标；（2）如图 1，分别以 AB，AO为边作等边三角形 ABC和 AOD，试判定线段 AC和 DC的数量 关系和位置关系，并说明理由；（3）如图 2，过 A作 AE x轴于 E，点 F、G分别为线段 OE、AE上两个动点，满足 FBG=45°， 试探究 OF AG 的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由FG2017-2018 江汉期中 如图点 P 为ABC的外角 BCD的平分线上一点， PA=PB1）求证： PAC= PBC；2）作 PEBC于 E，若 AC=5，BC=11，求 S PCE： S PBE；13）若 M、N 分别是边 AC、BC上的点，且 MPN

18、= APB，则线段 AM、MN、BN之间有何数量2关系，并说明理由解：（1）如图 1，过点 P作 PEBC于 E，PFPC平分 DCB，PE=PF，在 Rt PAF和 RtPEB中，PFPEPAPB， RtPAFRtPEB， PAC= PBC，（2）如图 2，过点 P 作 PFAC 于 F，PEBC，CP是BCD的平分线，PE=PF， PCF= PCE，PC=PC， PCF PCE，CF=CE，由（ 1）知， RtPAFRtPEB，AF=BE，AF=AC+C，F BE=BC-CE，AC+CF=BC-C，E5+CF=11-CE，CE=CF=3， PFC PEC，S PFC =SPEC ，RtPA

19、FRtPEB，S PAF =S PEB ，S PCE： SPBE=SPFC：SPFA11= CF× PF： AC× PF22=CF：AC=3：（ 3+5） =3：8；（ 3）如图 3，在 BC上截取 BQ=AM，在 PMA和 PQB中， PMA PQB， PM=PQ， MPA=QP，B APM+ QPA=APQ+QPB，即： APB=MPQ，1 MPN= APB，21 MPN= MPQ，2 MPN= QPN，在 MPN和 QPC中， MPN QPC，MN=Q，NBN=AM+MN 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了 全等三角形的判定和性质，角平分线定理和 角平分线的定义，

20、解（ 1）的关键是判断出 PE=PF，解（ 2）的关键是求出 CE=CF=，3 解 （ 3）的关键是构造全等三角形判断出 APB=MPQ，是一道中等难度的中考常考题2015-2016 江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC，射线 BM、 BN在 ABC内部，分别交线段 AC于点 G、 H（1）如图 1，若 ABC=60°、 MBN=3°0 ，作 AEBN于点 D，分别交 BC、 BM于点 E、 F 求证： CE=AG；若 BF=2AF，连接 CF，求 CFE的度数；（2）如图 2，点 E为 BC上一点， AE交 BM于点 F，连接 CF，若 BFE=BAC=2CFE，直

21、接写SVABFSV ACF取 BF的中点 K 连接 AK，由 BF=2AF，推出【分析】（ 1）由 AB=AC，ABC=60°得到 ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到 BAC= ACB=60°， AB=CA，求得 BFD= AFG=60°，推出 EAC=GBA证得 GBA EAC， 根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1，1FAK是等腰三角形， 根据等腰三角形的性质得到FAK=FKA，求得 AKF 2BFD AGB=AEC，推出 GAK EFC，根据全EAC=FBA，根据全等三角形的性质得到 S AKB=AFC，证得 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形

22、的性质得到AF=FK，即30°，根据全等三角形的性质得到 AG=CE，BG=AE， 等三角形的性质得到 CFE=AKF即可得到结论； （2）如图 2，在 BF 上取 BK=AF，连接 AK，推出 ABK =S ACF， 可得到结论【解答】解：（ 1） AB=AC， ABC=60° ABC为等边三角形， 则 BAC=ACB=60°， AB=CA， ADBN，MBN=3°0 ， BFD=AFG=60°， ABF+BAF=60°， BAF+EAC=60° EAC=GBA 在 GBA与 EAC中， GBA EAC ABCA GAB ECA， GBA EAC， CE=AG； 如图 1，取 BF的中点 K 连接 AK， BF=2AF，1 AF=BK=FK= BF，2 FAK是等腰三角形，FAK=FKA，BFD=FAK+FKA=2AKF，B