通信原理教(学)案严红丽滁州学院电子与电气工程学院随机过程

1、.通信原理教案严红丽滁州学院电子与电气工程学院学习参考.第3章随机过程本章重点1、平稳随机过程；2、高斯随机过程；3、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。本章难点1、高斯随机过程；2、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。教学方法本章是全书的基础， 采用多媒体和板书相结合的手段， 详细的讲解随机过程的基本概念，随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）和功率谱密度，高斯过程、随机过程、窄带随机过程，以及正弦波加窄带高斯过程、高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通信道滤波器。公式以及所代表的含义要讲解透彻，课堂习题讲解与课后作业相结合，力求学生掌握基本概念、基本方法。本章主要

2、采用课堂讲授的教学方法，共用 4 课时。授课内容3.1 随机过程的基本概念通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常伴随有噪声的加入及此加入噪声在系统中传输。由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知。一、随机过程的概念及定义通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t 的随机过程。从一实例讲起，设有n 部性能完全相同的通信机，工作条件相同。n 部通信机， n 台记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次记录的一个波形，就是一个 实现（抽样函数） 。无数个记录构成的总

3、体 （集合）就是随机过程。上述这一类随机过程（随机信号）有如下特征：信号变化不可预测；如气温信号，知道今中午的温度，但不能确切知道明天中午的温度。 事物的变化过程不能用一个（或几个）时间t 的确定函数来加以描述。如通信机的输出热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生不同的热噪电压时间函数，要用一簇函数来描述。n 部通信机输出的热噪电压波形见下图：学习参考.1 tv 10t总体：2tt0v2此噪声电压值t 高斯分布v 噪声值出现的概率nt概率0v nt0t1t 20值附近概率值大,离 0v 值远 , 概率平滑减少在上图中，t,t2是随机变量 ， t在任一时刻的值是不确定的。1在纵向：t1Vv1.

4、v2， V 是随机变量， v1 , v2是样本。在横向： 时间序列：1 t， t1，2， ，仅是一个实现（样本函数） 。随机过程两个属性(1) t 是一个时间函数。(2) 给定任一时刻 t1 ， t1 是不含 t 变化的随机变量。二、分布函数及概率密度一维分布函数：随机变量t1 小于或等于某一数值x 的概率F ( x, t1 )p (t1 )x则称 F ( x,t1 )为t 的一维概率密度。一维概率密度：如果存在F x, t1f x, t1x则称 fx,t1 为t 的一维概率密度。热噪声电压的一维分布函数曲线如下：F1一维分布概率密度lf x , t 1学习参考xx00.热噪电压的一维分布有这

5、样的性质：F1,t10F1,t11显然随机过程的一维分布函数和概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系， 还需在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。多维分布函数：Fn x1 , x2 ,xn ; t1 ,t 2 ,tnp t1x1 ,t2x2 ,t nxn多维概率密度函数：n Fx , x2,x;t, t2,tnn 1n1f nx1 xn ,t1 tnx1x2xn显然， n 越大，对随机过程统计特性的描述越充分。三、随机过程的数学特征上述随机过程的概率分布函数和密度函数能完整的描述其统计特性，然而在一般情况，多采用数学特征来描述随机

6、过程的统计特性。t 的数学期望（均值）Etxf x,t dxa tt 所有样本函数在时刻t 的函数值的平均，也称集平均，以区别时间平均的概念。n 阶矩定义： En tx方差定义2 t ：（偏离均值的程度）D tEtEt2E 2 t2 t E tE t 2 E 2 t2 E t E tE t 2Et2Et2x 2 fx,t dxa t2衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，定义：协方差函数：B t1, t2 E t1a t1t 2a t 2x1a t1x2a t 2 f 2 x1 , x2 ;t1 , t2 dx1dx2学习参考二维概率密度.自相关函数：R t1 ,t2Et1

7、t 2x1 x2 f2 x1 , x2 ;t1 ,t 2 dx1 dx2显然有：B t1 , t2R t1 ,t2Et1Et2互相关函数：Rt1 ,t 2Et1t 2xyf x,t1 ; y,t 2 dxdy两个随机过程二维概率密度小结：随机过程的基本概念定义：若干“实现” （样本函数）构成的总体是随机过程。从纵向上来看，如果我们在t1 时刻对 n 条样本函数同时取样，得随机变量(t1 ) ：(t1 ) 1(t ), 2 (t ), 3 (t )n (t)或者说，全体样本在t1时刻的取值就构成一个随机变量。从横向上来看（沿时间轴上观察），时间序列： 1 (t), 2 (t),n (t) 是一个

8、实现（样本函数） ，全体实现才构成随机过程。随过程机看上去波形千变万化， 各不相同， 似乎很难定量描述样本函数及随机变量， 应该用统计的方法加以描述。在静态上：对于随机变量(t1 ) ，我们考察概率密度、分布函数等。在动态上：对于样本函数1 (t) ，我们考察其数字特征，有：均值 随机过程围绕什么均值起伏变化？方差 对均值的偏离程度？自相关函数 随机过程在不同时刻的取值它们之间的关联程度。下面图示两个随机过程(t) 、 (t ) ：过 程(t ) 是 慢 变 化 ， 过 程(t )a (t )(t )a (t )(t )是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于(t )

9、来说，相关性强；对于(t )来说，相关性强弱。tt学习参考.3.2 平稳随机过程一、平稳随机过程一种特殊类型的随机过程 平稳随机过程， 对任意 n 和，满足（ n 维概率密度函数） ：f n x1 , x2 ,xn;t1 , t2 ,t nf n x1 ,xn ;t1 ,t 2, t n对于一维的情况来说，一维概率密度函数与时间无关。即fx二维概率密度函数只与时间间隔有关，即f x1 x2 ,平稳随机过程的统计特性：(1) 均值（数学期望）Etxfx dxa（如果t 为电压电流信号，(2)方差则 a 表示直流分量）2DtEt（如果t 为电压电流信号，则xa2f x dx22(3)自相关函数表示

10、交流分量的平均功率。 ）平稳随机过程的自相关函数只与时间间隔有关：R t1t1R当t为电压电流信号时，则0 时的自相关Et1t1函数 R 0 表示总平均功率。x1 x2 f x1 , x2 ;dx1dx2在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳随机过程，因此研究平稳过程有很大实际意义。二、各态历经过程大量的实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程具有所谓“各态历经性”。许多平稳过程的数学特征（均值、方差、 自相关函数），完全可由过程中的任一实现（任一样本函数）的数学特征来决定。若一随机过程是各态历经过程，则必满足：学习参考.ax fx dx1Tx t dtalimT2TT22xa 2

11、fx dxlim 1T22T2x t a dt1TTT2R2x t x tdtRlimTTT2 各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态似的。 任一实现都能代表整个随机过程。 各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历经过程。 各态历经过程的平均值，时间平均和对应的集合平均相等。3.3 平稳过程的相关函数与功率谱密度一、相关函数在平稳过程中，均值、方差、自相关、互相关函数这四个数学特征中，自相关函数是最重要的一个。REttx1 x2 fx1 x2 ,dx1 dx2基本性质： R 0E2tS ， S (t ) 的平均功率，电压t信号在 1电阻上所消耗的平均功率。尽管

12、平稳随机过程的总能量是无穷的，但平均功率为有限值。RR平稳过程只与时间间隔有关,间隔。RR 0 ，R 0 自己和自己相关值最大，因此0 的相关值小于R0 。说明：E tt202 t 2tt2 t0E2 t2E t tE 2 tR 02RR 0 0R 0R RE 2tRa 2lim Rlim EttEtEtaaE 2t学习参考.注：,t,t统计独立，平稳过程的均值与时间无关，为常数。 R 0R2DtEta 2E2 t2ata2E 2 t 2aE t a2R 02a aa2R 0a2R 0R二、频谱特性先看确定性信号：设确定性功率信号ft，有功率谱密度PS，自相关函数R t， f t 的平均功率为

13、：平均功率 Slim1T2f2t dt12tdtTlimfTTT2TTlim11F2dTT2T1FT2limd2TT1PSd2式中， F是 ft的截短函数 fTt 的频谱，确定性信号f t的功率谱密度：TFT2PSlimTT自相关函数 R与 ft的功率频谱 PS之间有确定的傅立叶变换关系：RPS平稳随机过程有否上述关系？随机过程的能量往往不是有限值，也就是说不满足2 t dt，因此随机过程不存在信号能量频谱。然而如果是平稳随机过程，那么其平均功率可能是有限值。我们定义，平稳随机过程t 的平均功率：平均功率SE lim 1TTT22t dtT2先对2 t 求时间平均功率 ,仍是一个随机量,然而再

14、作统计平均学习参考.对于功率型的平稳随机过程而言， 它的每一实现也将是功率信号， 因而可以借用上述确定性信号的功率谱公式来表示每一“实现”的功率谱。但是，随机过程的每一实现不可预测，因此，仅仅用某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。随机过程的功率谱应看作是每一实现的功率谱的统计平均。仿照确定性信号的分析（推导过程见徐佩霞书P42），设过程t 的截短函数Tt （截短的随机过程） ，截短函数T t 的傅立叶变换：TT (t)ejt dtT / 2tej t dT / 2T平稳随机过程t 的平均功率， 有：S E1T22t dt12t dtlimTE limTTT2TTElim112TdT2

15、T1E2Td2limTT12Pdt 的功率谱密度为P：E2PTlimTT过程的平均功率S 等于各个频率分量（统计值）单独贡献出的功率之连续和。是在频率域上描述随机过程统计特性的最主要数字特征。下面考察频谱P与自相关函数 R t 之间的关系。注释：偶函数： F F2F学习参考.E T21T 2T 2ET t ej tT t' ej t'dt 'TTTdt T221T2T2E tt 'ejt t'dtdt 'TT2T21T2T2R tt' ejt t'dtdt'TT2T2令：tt，则得：210j2E TReTdt' d

16、TTT21jTRe2dt' dT 0T210)RejdT(TT1TjT 0(T) RedT(1) Re jdTTE2PlimTT于是，TlimT(1) Re jdTTTRe jd故得， P1Re jdRPe jd2平稳随机过程的自相关函数R与功率频谱PS系：记作：PR注：平稳过程只与时间间隔有关，自 相 关 函 数 ： REttR t' tEttt' tEtt 'R t' tRR之间也有确定的傅立叶变换关3.4 高斯随机过程高斯过程又称正态随机过程， 是一种普遍存在又十分重要的随机过程。 通信信道中的噪声，通常是一种高斯过程。先看一维分布的情况。高斯过程

17、在给定任一时刻上，则是一高斯随机变量，其概率密度函数为：学习参考.f x1x a 2f xexp22122a 均值2常量x 方差aexp 以 为底的指数函数高斯概率密度e则称服从高斯分布（也称正态分布）的随机变量。由高斯概率密度函数和图可知，有以下特征：f x 对称于 x a 这条直线，在a 处为最大，等于1201f x dx 1， 且f x dx0f x dx2 a 分布函数 ， 集中程度 ，见图示。若 a0,1,f x1 ex px2标准高斯密度函数22 高斯（正态）分布函数是概率密度函数的积分。根据定义，显然可表示为x1za2xafxF xexpdz222112称，x 概率积分函数 .2

18、对于不同的 a 、的 f x曲线见下图：ax3.5窄带随机过程不同的 a 、的概率密度函数曲线一、定义及表达式窄带随机过程是指其频带宽度f 远小于中心频率 fc 的随机过程。窄带过程表达式ta t co s c tta t0at 随机包络均是随机过程t 随机相位上式利用三角函数和角公式，可写成学习参考.tat cost cos c tsin tsinctat cost cos cta t sintsin c tc t cos cts t sinctc t t 的 同 相分 量 相 对 于 载 波的变化缓慢的多s tt的正交分量c o s c t如果t的概率密度函数为高斯分布，则称窄带高斯过程。

19、物理上，是高斯噪声通过以c 为中心的窄带系统。二、窄带高斯过程的统计特性t 的统计特性可由at ，t或 ct，s t 确定。结论 1、2tc t一个均值为零、方差为的窄带高斯过程，假定它是平稳的，则它的、s t 也平稳，而且均值均为零，方差也相同。t 平稳窄带 a0，方差 2，st,ct 平稳且有：EtEctE st0222csR c s0R s c00结论 2、2t，其包络 at的一维分布为瑞一个均值为零，方差为的窄带平稳高斯过程利分布，相位t的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，at 与t是统计独立的。随机包络的概率密度函数服从瑞利函数分布faaexpa 2,a0f a22 2f1随机

20、相位的概率密度函数服从均匀函数分布ef1 ,020a02学习参考.既然有窄带随机过程，必然也存在宽带随机过程。一个理想的宽带过程例子 白噪声三、白噪声通信系统中常用到白噪声，所谓白噪声是指它的平均功率谱密度函数在整个频率域内是常数，服从均匀分布。其功率谱：n0wP2Hz称作白噪声是因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内的白光。有色光只包括可见光的部分频率有色噪声只包括部分频率实际中， 热噪声频率范围 0 1013 Hz ，功率谱密度在 0 1013 Hz 内基本均匀分布近似为白噪声。1013104103106104 G Hz10 6Hz =M109Hz= G自相关函数和功率谱：PRe jdR

21、1Pe j d2R1n0ejn011 ejd22d22n02白噪声的功率谱和自相关函数图：PRn 02n 0200白噪声的功率谱图白噪声的自相关函数四、带限白噪声任何通信系统带宽总是有限的，当理想白噪声经实际系统时，其频带必然受到系统带宽限制。我们把在一定频带内功率谱密度为常数，而在此频带之外功率谱密度为零的噪声称作带限白噪声。带限白噪声：其功率谱密度:Pn02f学习参考0f Hf H带限白噪声功率谱密度函数曲线图.n0fHf HP20 其它1j1f Hn0jRRPeded22fH2n11fHj 2 fdf2 fH2 f Hf H0 e1012f Hf HsinHf H n0自相关函数曲H带限

22、白噪声在k 2 f H 处， R k2 f H 0 ，自相关函数 =0 ，则在这些时刻点上的抽样值都是互不相关的随机变量。3.6 正弦波加窄带高斯过程信号经过信道传输总会受到加性噪声的影响。 本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之基本特性。设正弦信号窄带高斯噪声f tA cosctn tnc t cos c tns t sinc t正弦波加窄带高斯过程：r tf tn tAcosctnc t cos c tns t sinc tAcosnc tcos c tAsinns t sinc tzc t cos c tzs t sinc tz t cos ctt式中：z tzc2 t zs2 tz 0tzs

23、t2arctan0zct可以证明：正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度函数为：f zzexp1z2A2I 0Azz 02222学习参考.该函数也称Rice（莱斯）密度函数。式中I 0 x 为零阶修正贝塞尔函数。I贝塞尔函数1I 0 xI 1 x0.5I 2 xx00.5随机包络的概率密度和相位概率密度f 见下图：f zA0 .6028A 222.0220 .321.0412z123456090090135随机包络的概率密度曲线随机相位的概率密度曲线相位概率密度f不再像窄带高斯噪声那样是均匀分布。3.7 随机过程通过线性系统所谓线性系统，是用迭加原理表征的，这意味着：f1 t 激 励 函 数f

24、2 t 激励r1 t 响 应 函 数r2 t 响应则：r1 tr2 tf1 tf 2 tr1 tr2 tf1 tf 2 t线性系统的时域法：同 前 ， 线 性 系 统 的 响 应 V0 t等 于 输 入 Vit与 冲 激 响 应 h t的 卷 积 :学习参考.V0 tVih tdVi th th tVi t(卷积满足交换律 )对于物理可实现系统V0 t0 hVi td线性系统的频域法：V0HVi随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确定信号通过线性系统的分析基础之上的。是对确定信号分析的推广。设线性系统的冲激响应为h t ，输入随机过程为it ，则输出为0 t 。0 th