北师大版高中数学必修五第一单元数列综合练习(1)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点数列综合练习第I卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确 答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1 .“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为1的等比数列一定是递减数列”；2“a, b, c三数成等比数列的充要条件是 b2= ac"； "a, b, c三数成等差数列的充要条件是2b= a+c"，以上四个命题中，正确的有（）A. 1个B. 2个C 3个D. 4个2 .已知数歹1&中，&二二一（nCN）,则数列an的最大项是（）n 156A.第12项B

2、.第13项C.第12项或13项D.不存在3 .在等差数歹1中，前n项的和为Sn,若S=2n, Sn=2m（ m nCN且m# n）,则公差d的值为（A _ 4(m n)B.mnmn4(m n)2(m n)C 1D.mnmn2(m n)4.如果ai,a2,L为各项都大于零的等差数列，公差d 0,则(5.A.C.aa8 a4a5a1a8 a4a5B.D.aa8a4 a5a1a8a4 a5已知等差数列an中，a7 a9 16,a4 1,则a12的值是 (A. 15B. 30C.31D. 646.a、bCR,且| a|<1 , | b|<1 ,则无穷数列:+bn 1) a1的和为1,(1+

3、b)a, (1 + b+b2) a2,，1+b+b2+A.B.C.(1 a)(1 b)2D.1 ab1信达(1 a)(1 ab)(1 a)(1 ab)7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为则m的范围是A.(1,2)B.(2, +oo)C.3,+8)D.(3,+8)8 .已知二次函数y=a(a+1)x2 (2a+1)x+1,当a=1, 2,，n,时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1, d2,，dn,，则lim ( d+d2+dn)的值是 n( )A. 1B. 2C. 3D. 49 .若数列an前8项的值各异，且an+8=an对任意nC N都成立，则下列数列中可

4、取遍an前8项值的数列为( )A. a2k+1B, a3<+1C. a4k+1D, a6k+110 .根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量& (万件)近似地满足Sn= (21n-n2-5) (n=1, 2,12),按此预测,90在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A. 5月、6月 B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月11 .在数列an中，如果存在非零常数T ,使得am+T =am对于任意的非零自然数m均 成立，那么就称数列an为周期数列，其中T叫数列an的周期。已知数列Xn 满足 Xn+1=|xXn|(n >2),如果

5、x1=1, X2=a( a R, a*0),当数列 Xn的周 期最小时，该数列前2005项的和是( )A. 668B. 669C. 1336D. 133712 .一给定函数y f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1),由关系式an 1 f (an)得到的数列an满足an 1an(nN ),则该函数的图象是第II卷二、填空题：请把答案填在题中横线上(本大题共 4个小题，每小题4分，共16 分)。13 .作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别 为.14 .在直角坐标系中，O是坐标原点，Pi(

6、xi, y。、P2S2, y是第一象限的两个点， 若1, Xi, X2, 4依次成等差数列，而1, yi, y2, 8依次成等比数列，则4 OPP2 的面积是.15 .设等比数列a。的公比为q,前n项和为3,若S+i,Sn, S+2成等差数列，则q 的值为 16 .数列a。中，a13,%3an 1118. (12 分)已知 Sn=1+1 l+. + l,( n N),设 f(n)=&n+1 Sn+1,试确定实数 m的 (n 2),求a2006的末位数字是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74 分)。17. (12分)已知函数f(x) ,数列an满

7、足a1 101f(an)(n N ).3x 1(I)求数列an的通项公式；(R )记 Sn a1a2a2 a 3anan1,求 Sn .19. (12分)已知数列an的各项都是正数，且满足ao1,an i2an,(4 an),nN.(I )证明 an an i 2,n N；(H)求数列an的通项公式a20. (12 分)设 M 10a2 81a 207, P a 2, Q 26 2a ,若将 1g M ,lg Q,lg P 适当排序后可构成公差为1的等差数列an的前三项.(I )求a的值及an的通项公式；(H)记函数f(x) anX2 2anX an 2 n N的图象在x轴上截得的线段长为1八

8、bn,设 Tn 二(附2 b2b3H 心)，求421. (12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a11, a2 6, a3 11 ,且(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B, n 1,2, 3 L ,其中A, B为常数.(I)求A与B的值；(R)证明：数列an为等差数列；(田)证明：不等式 后m；寸a面1对任何正整数m,n都成立.22. (14分)已知数列xn的各项为不等于1的正数，其前n项和为S,点Pn的坐 标为(Xn,Sn),若所有这样的点Pn(n=1,2,)都在斜率为k的同一直线(常数 kw0,1)上.(I)求证：数列Xn是等比数列；(R) 设 yn=l0gx (2a 23a

9、+1)满足 ys=,yt=-1 (s,tCN,且 swt) 共 n2t 1 2s 1中a为常数，且1<a<3,试判断，是否存在自然数M,使当n>M时，Xn>1恒成立？若存在，2求出相应的M;若不存在，请说明理由.参考答案：一、选择题1. A; 2. C; 3. A; 4. 二、填空题（由anan(3n2)(3n 1)3(3n2 3n1)Sna1a 2a2a3anan 1(3n 2)(3n 1)13(114)(3n 21 、3n 1)13(13nno3n 1118.解：= Sn=1+1 2I1_ *(nC N)f(n)S2n 1Sn又f(n1)f(n)2n1n1211n

10、312n 312n 112n 2 2n 3 2n 4B; 5. A; 6. D; 7. B; 8. A; 9. B; 10. C; 11. D; 12. A;13.周长之和学冗a,面积之和-a2; 14. 1; 15. 2; 16. 7;三、解答题17.分析：由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有Sn1=4an+2,可由Sn 2 Sn 1作切入点探索解题的途径.解析：（I）由已知得，a 1an,an 13an 1. ，13,即工。3an 1anan 1an数列 是首项a1 1,公差d 3的等差数列. an, 1一 1 (n 1) 3 3n 2 , an故 an(n N )3n 22

11、n 3 2n 419., f(n+1) >f (n) f(n)是关于n f ( n) min =f (2) =要使一切大于的增函数1192 2 2T3 201的自然数n,不等式f(n)> log<mH 1) 2- - logg 1)mJ 2包成立20只要 _9_ > log m(mi- 1) 2 log» 1)mJ 2 成立即可 2020,m 0, m 1由得m> 1且mr 2m 1 0,m 1 1此时设log M mi-1) 2=t贝U t > 0911于是 2020t 0解得0Vt < 1由此得 0< log m( mt-1) 2&

12、lt; 1解得m> 1一些且m 2。 2解：(1)方法一 用数学归纳法证明：1 当 n=1 时，a0 1, a1 a0(4 a0),22a0 a12 ,命题正确.2。假设n=k时有a- ak 2.则 n k1时,akak 1-2 ak 1(4 ak 1) 2 ak (4 ak)2(ak 1ak )(ak 1 ak )( ak 1ak )21一(ak 1ak)(4 ak 1 ak).2而 ak 1 ak 0.4 ak 1 ak 0,ak ak 10.11 一一又 ak 1 ak (4 ak )4 (ak 2) 2.22n k 1时命题正确.由1°、2°知，对一切nCN时

13、有an an 12.方法二：用数学归纳法证明：1. 一 .3 一一1 当 n=1 时，ao1, a1ao(4 ao), 0ao a12 "222°假设n=k时有ak1 ak 2成立，.1令f(x) 1x(4 x), f(x)在0, 2上单调递增，所以由假设 2111有：f (ak 1)f(ak)f，即2(4 ak 1) - ak(4 ak) - 2 (4 2),222也即当n=k+1时akak 1 2成立，所以对一切nN,有ak ak 1 2(2)下面来求数列的通项：an 1 -an(4 an) 3 (an 2)2旬所以 222(an 12)(an2)2令bn an 2,则

14、 bn又bn= 1,所以bn20.解：(I )依题意有1bn2 11( 1 b2 2)21 d)2 b2 122 22 21 on10nl(-)2 1,即 an 2 bn 2 (-)2 12 22 a 13,(i)122n 12nbn2 一 一10a83a 181 0,2_ _ 一 一一M P 10a80a 205 0, M QM最大.又P Q 24 3a ,一1当 2 a 8时，P Q,lgP 1 IgQ. 10P Q , a 1.21 一 酒足lg M 1 1g Q. a -符合题意.2当 8 a 13时，P Q,1g P 1 IgQ. 10Q P , a 86.21.但此时不满足lg M

15、 1 lg P. aanbn又丁解:的前三项为lg P,lgQ,lg M ,2an 1 an an 2f (x)| X1an n由（5n3S22s3解得86止匕时a。时,(x a。 lg P1)(anX an(n1) 1 n 2lg2.an 2X2 | | 一2lg21一 (bibb132b34an1|-|an0,bnanbn 1bnan 1an1 4(-an 1,、1bn 1bn )一44( ) (一a a? a2-) a3(an 1-) ana1an 1 2 lg 2 n 2 lg 2I）由已知，得S18)Sn 1 (5n7sl A B,12S2 2A B,2)Sn(1 2lg 2)(n

16、2lg 2)a1 1 ，2A BS228,48a1a2a1a2 a3 18.方法1(5n8)Sn 1(5n 2)Sn20n 8所以（5n 3）Sn(5n7)Sn 120n28.3)Sn 2(10n1)Sn 1(5n 2)Sn所以（5n 2）Sn3 (10n9)Sn2 (5n7)Sn 120.02)Sn 3(15n6)Sn 2(15n 6)Sn 1 (5n 2)Sn 0.因为 ani Sn 1 Sn ,所以(5n 2)an 3 (10n 4)an 2 (5n 2)an 1 0.又因为5n 2 0,所以 an 3 2a n 2 an 1 0 ,即 an 3 an 2 an 2 an 1 , n 1

17、.所以数列an为等差数列.方法2由已知，得S1 a1 1 ,又(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn 20n 8 ,且 5n 8 0,所以数列Sn是唯一确定的，因而数列 an是唯一确定的.设bn 5n 4,则数列bn为等差数列，前n项和Tn n(5n 3).(n 1)(5n 2)n(5n 3)(5n 8)Tn 1 (5n 2)Tn (5n 8)-, (5n 2)-20n 8,由唯一性得 bn a。，即数列an为等差数列.(m)由(H)可知，an 1 5(n 1) 5n 4.要证 J5amn Jaman 1 ,只要证5amn 1 aman 2-.aman .因为 amn 5mn 4 , aman

18、 (5m 4)(5n 4) 25mn 20(m n) 16 ,故只要证 5(5mn 4) 1 25mn 20(m n) 16 2 aman ,即只要证20m 20n 37 2 a.因为 2 Jaman am an 5m 5n 8 5m 5n 8 (15m 15n 29) 20m 20n 37, 所以命题得证.22.证明(1) :点Pn、Pn+1都在斜率为k的直线上S , S 一 x ”. ._n_=k,即 nJ_ =k, 故 (k 1)Xn+产kXnxn 1 xnxn 1 xnkW 0, xn+1 1, XrW 1 ,出=上=常数, xn是公比为上的等比数歹I。xn k 1k 1(2)答案是肯定的，即存在自然数 M使当n>M时，xn&