判别代数方程根的存在性的几种方法(共12页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上判别代数方程根的存在性的几种方法摘 要：代数方程通常指整式方程，即由多项式组成的方程。有时也泛指由未知数的代数式所组成的方程，包括整式方程、分式方程和无理方程。在数学学习中，常常要计算一些代数方程的解，然而在解代数方程时，我们首先就要判断这类方程的解的存在性。本文从复变函数论、连续函数零点、多项式根的判别式、不动点定理、Kronecker定理方面判别代数方程根的存在性。总结前人的研究成果，并略作一些整理，使分散的知识点汇聚在一起，以方便阅读。关键词：代数方程；根；存在性Several methods ofdetermining the existence of Alg

2、ebraic Equation Wang Sheng-feng，College of Mathematics and Computer ScienceAbstract：Algebraic equations usually mean , that is composed of polynomial equations. Sometimes it also refers to the unknown algebraic equations, including , fractional equation and irrational equation. During learning mathe

3、matics, often to calculate the number of algebraic equation, but in solving algebraic equations, we must first determine the existence of solutions of these equations. From the theory of complex functions, continuous functions zero, polynomial root discriminant, fixed point theorem, Kronecker theore

4、m of algebraic equations determine the root of the problem. We summarize previous research results, and slightly up a bit, so that brings together scattered knowledge points to facilitate reading.Key words：Algebraic equations；Root；Existence 1 引言中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围。不过这时数学家

5、们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。我们知道，二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。在中世纪，阿拉伯数学家又将二次方程的理论系统化。而三、四次方程的求解曾在文艺复兴时期的意大利引起数学家之间的激烈挑战并获得解决。三、四次代数方程的解被发现之后，约在1550年开始，代数学上最突出的有两个问题：1. 任何一个几次代数方程是否一定有根？有多少个根？2. 五次和五次以上的代数方程是否能解？怎样去解？前一个问题吸引了许多数学家，欧拉也研究过。经过几代数学家的努力，用了两百多年时间，约在1748年，这个问题被年仅29岁的法国青年数学家达朗贝尔证明了。他的结论是一个n次代数方程至少有一个根。后人称为代

6、数基本定理。几十年后, 德国数学家高斯发现达朗贝尔的证明缺乏严密性。在1799年高斯给出了这个定理的证明。因此，有时也把这个定理叫做达朗贝尔高斯定理。被誉称为数学皇子的高斯，一辈子都没有放弃对代数基本定理的研究，他一生中给出了这个定理的四种不同证明方法，而只有一种是纯代数的。人们很难想象，在技术上为了解一般五次方程，不知耗去了多少枉然的精力，可以说这个问题是人类智慧的一个严重挑战，经过三百多年时间，几代数学家的接力奋斗，直到19世纪初期才被解决。2 用复变函数论中有关定理判别代数方程根的存在性本节利用复变函数论中三个著名定理 Rouche定理、Cauchy积分定理和刘维尔定理论证方程根的存在性

7、。即代数基本定理：任何一个n次多项式在复平面上至少有一个根。或者说：任何一个n次多项式在复平面上有且只有n个根（几重根就算做几个根）。在复变在函数论中，对一般方程的根的存在性。可用复变函数中的有关定理：Rouche定理、Cauchy积分定理和刘维尔定理来证明它的根的存在性。2.1 有关引理引理2.1（Rouche定理） 设C是一条围线, 函数及满足条件：（1）它们在C的内部均解析，且连续到C；（2）在C上，；则函数与+在C的内部有同样多（几级算有几个）的零点， 即引理2.2（Cauchy积分定理） 设D是一条可求长的约当曲线C的内部区域。是D的解析函数，且在闭区域连续，则。定理2.3（刘维尔定

8、理） 有界整函数必为常数。2.2 用Rouche定理证明任一n次方程有且只有n个根（n重根算n个根）。证明 令=，=，当z在充分大的周围C：上时，取有由Rouche定理定理知在圆<R内，方程与=0有相同个数的根。而=0在<R内有一个n重根z=0。因此原n次方程在<R内有n个根。另外，圆周=R上， 或者在它的外部，任取一点z。则，于是 这说明原n次方程在圆周=R上及其外部都没有根，所以原n次方程在平面上有且只有n个根。2.3 用Cauchy积分定理证明任一n次方程在复数域中至少有一个根。证明 反证法，设=，若没有零点，则在整个复平面上解析。所以对任意充分大的R>0，有：=

9、R由Cauchy积分定理得：=0，从而 =0 （2.3.1）而=其中为整个复平面上的解析函数，且=0因而当R时0，又=，所以=与（2.3.1）式比较得n=0，与条件n1矛盾。2.4 用刘维尔定理证明在复平面上方程至少有一个根。证明 反证法，设=在z平面上无零点，在z平面上是解析的，在z平面上也解析。现证在z平面上有界。不妨设=1，=取，i=0，1，n-1，则（当z时）。=0故存在充分大的正数R，i=0，1，n-1使当>R时，<1，又在闭圆R上连续，故可设M（正常数）从而，在z平面上< M +1，在整个复平面内为整函数，由刘维尔定理，为常数。从而与是次数n1的复函数多项式矛盾。

10、在z平面上至少有一个根。3 用零点定理判别代数方程根的存在性对于一个函数，若存在实数，使= 0，则称为函数的零点，又称为方程=0的实根。如果函数为闭区间上的连续函数，那么我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是否存在零点，也即可用函数的零点定理来判断方程是否有根。3.1 有关定理定理3.1.1（介值定理）设函数在闭区间上连续，且，若c为介于、之间的任何数（< c <或> c >），则在内至少存在一点，使= c。定理3.1.2（零点定理）若函数在闭区间连续,且< 0，则一定存使= 0。关于零点定理的证明, 有很多种方法。本节在这里介绍一种方法。证明（确界原理）不

11、妨设< 0，>0。定义集合V 如下：V =x |< 0， x显然，集合V 有界、非空，所以必有上确界。令=supV，现证明：且= 0。由的连续性及< 0知，存在> 0,使得对任意的x，有< 0;再由>0知，存在> 0， 使得对任意的x，有> 0。于是可知a +b -，即。取V， n = 1, 2, , （n），因< 0，可以得到=0。若< 0，由在点的连续性，存在>0，使得对任意的x0，有< 0，这就与=supV 产生矛盾，于是必然有= 0。3.2 应用实例例3.2.1 设C且< 0（存在）。求证：在上至少有一

12、个根。证明 由是定义在上的连续函数，有= < 0故存在M > a满足< 0。根据定理3.1.2，于至少有一个根。这个根自然也是在上的根。例3.2.2 设y =在上连续， 且。证明：存在，使得。证明 取，则在上连续且，从而有。又因为，因此，即< 0。根据定理3.1.2，存在，使得= 0，即有。例3.2.3 证明方程有一个正根。证明 设=，则在上连续，且，由定理3.1.1知存在一点，使得，即是方程的一个正根。4 用多项式根的判别式判别代数方程根的存在性一般次多项式的性质，可以通过系数所表达的判别式进行研究，但对次多项式根的性质却未能找到直接通过系数所表达的判别式。本节利用V

13、ahdermonde行列式，通过对称幕及结合Newton等已知结果，使上述要求初步得到解决，应用它们给出n次多项式有等根或异根的充要条件。设n次多项式有n个根，则 = （4.1）这里，其中是所有从中取i个乘积的总和，表达式中共有项，每项为i个数的乘积。4.1 有关引理引理4.1.1 （4.2）注意：设对应的矩阵为对称矩阵，则=，又设对应的矩阵为，则=，则由引理4.1.1可推得 （4.3）注： 将引理4.1.1应用到=0根的研究中，当m>n时应补充意义=0， 显然是的主子行列式序列。设 （4.4）由（4.4）式与（4.1）式比较知，=1，可得如下定理：4.2 有关定理定理4.2.1 具有等

14、根的充要条件是=0。证明 由多项式的理论可知点有等根的条件是=0，又由引理4.1知=，故=0为其充要条件，证毕。定理4.2.2 =0仅具有n个相异实根的充要条件是是正定的。证明 必要性：若=0仅有n个相异实根为，显然是实对称矩阵，所以由引理4.1.1的注意知=，又由定理4.2.1知，则是满秩，故是正定的。充分性：设是正定的，则=>0，=0的n个根两两互异。下面证明中无虚根。设有虚根，必共扼出现。 设为一对共轭虚根，考虑线性非齐次方程组 （4.5）由正定知（4.5）式的系数行列式=（4.5）式有唯一的非零解。则对向量计算，。这与正定的假设矛盾，即中无虚根。定理4.2.3 =0仅有m个互异的

15、根的充要条件，是对应的行列式的左上角主子式且。注意：在n个根中仅有m个互异根的含义是若m<n个根两两互异, 而之中任一个必出现在中。证明 必要性，令，则由引理4.1.1的注意知，显然为的左上角m级主子矩阵。（1）当k=1，2，m时，=每行（列）两两互异即 （k=1，2，m）（2）k>m时同理可验证=0，（k>m时至少有一列与km中某一列相同）充分性：若中且 （4.6）则由定理4.2.1根据=0知=0有重根，其个数N满足N<n，由已知，一定有，且 （4.7）比较(4.6)式与(4.7)式得N=m证毕。推论：=0有m个互异根之充要条件为，及。4.3 应用实例例4.3.1 研

16、究解 由定理4.2.2及（4.1）（4.2）式知，由定理4.2.2与引理4.1.1知，判别式为（1）为有重根的充要条件。（2），即且为有m=2个互异根之充要条件。5 用不动点定理判别代数方程根的存在性在自然界及生活中，有许多实际问题可以用数学方程来表示。判断方程是否有解可以转化为某一空间X 上的自映射是否有不动点这一抽象的问题。这里给出一些应用不动点定理来判断方程解的存在性。在计算数学中，常常要计算一些代数方程，所用的方法是迭代法，然而我们首先就要判断这类方程的解的存在性，用数学分析方法来解决则难度较大，下面用不动点原理来解决。5.1 基本定理定理5.1.1 (Banach不动点定理) 设是一

17、个完备的距离空间, T是到其自身的一个压缩映射,则T在X上存在惟一的不动点。证明 1）首先证明T存在不动点取定，以递推形式确定一序列是Cauchy列，事实上，由任取自然数m，n，不妨设m<n，那么从而知是一Cauchy列，故存在，使，且是T的不动点，因为故，即，所以是T的不动点。2）证明不动点的惟一性设T有两个不动点，那么由及有设，则，得到矛盾，从而=，惟一性证毕。定理5.1.2 (B rouwer不动点定理) 设B是中的闭单位球，又设T：B B是一个连续映射，那么T必有一个不动点x B。定理5.1.3 ( Schaude r不动点定理) 设C是空间X中的一个闭凸子集， T: C C连续

18、而且T(C) 列紧，则T在C上必有一个不动点。定理5.1.4 若函数在连续，而且函数值的集合也是，则至少存在一点，使得，即至少有一个不动点。定理5.1.5 如果= x -是有界函数，特别地，当时，方程= 0至少有一个根。分析：设为函数空间R上的连续函数，R，如果= 0，则称为方程= 0的根。判断方程= 0是否有根的问题可以看成R R的映射= x - 的不动点问题，即求R满足=。于是可知定理5.1.4实质上说明了方程= x -= 0的根的存在问题。由定理5.1.4推出定理5.1.5，定理5.1.5直接给出了判断方程根的存在的方法。5.2 应用实例例5.2.1 证明方程存在根。证明 令=，那么=

19、x= xx=，可得在R上有界，从而=<+，由定理5.1.5可得有根。注：以上例子说明了不动点问题可以解决代数方程的根的存在问题。6 用Kronecker定理判别代数方程根的存在性 定理6.1设n 为奇素数，是有理数域Q 上的n 次不可约多项式, 如果可根式求解，则方程= 0 或者仅有一个实根，或者有n 个实根。注：这是德国数学家克罗内克(L. Kronecker， 1823 1891) 在上个世纪给出的重要定理。 依此定理可知：如果有理数域Q 上的不可约多项式，其次数n 为奇素数，且= 0的实根个数不为1 或n(即没有实根，或实根个数介于1 与n 之间)，则方程= 0就不能根式求解。这就为构造根式不可解的代数方程提供了一条简单易行的有效途径。小结本文第一部分是引言，主要讲的是代数方程有关历史，第二部分到第六部分，列举了判断代数方程根的存在性的几种方法，代数方程在各科各领域均有广泛的应用。解代数方程之前首先要判断代数方程是否有解，即判断代数方程根的存在性。判断代数方程根的存在性的方法很多，我通过查阅资料列举了六种方法。通过这项研究使我获益颇多，它使我更深地认识自己想弄清的对