选修21第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行

1、选修 21第二章空间向量与立体几何2.4 用向量讨论垂直与平行测试题 2019.91, 矩形 ABCD中，AB=3，BC=4(如图 ) ，沿对角线 BD把 ABD折起，使点 A在平面 BCD上的射影 E落在 BC上(1) 求证：平面 ACD平面 ABC；(2) 求三棱锥 A-BCD的体积2, 如图，三棱锥 P-ABC中，ABC=90 ，PA=1，AB= 3 ，AC=2，PA面 ABCPABC(1) 求直线 AB和直线 PC所成角的余弦值；(2) 求PC和面 ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角 A-PC-B的余弦值BD xAB3, 有一块边长为 4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形

2、无盖容器 ( 切、焊损耗忽略不计 ) 有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长(1) 请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；(2) 请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积 V2V14, 已知空间三点 A(1,1,1),B( 1,0,4), C (2, 2,3), 则向量 AB 与 CA 的夹角的大小是5, 同时垂直向量 a(2, 2,1),b (4,5,3) 的单位向量是6, 已知向量 a(1 t ,1 t,1),b (2, t ,t ) ，则

3、ba 的最小值为7, 已知 S是 ABC所在平面外一点， D是SC的中点，若则xyz8, 已知 a = ( 2,-1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ),则以 a, b四边形的面积是yACzAS ，为邻边的平行65A.65.B.2.C.4.D.8.9, 已知 a=(3 ， 2， 3) ，b=（ 1，x1，1），且 a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是55A（ 2，+）B（ 2， 3 ）（3 ，+）5C（， -2 ）D（ 3 ，+）10, 下列各组向量中 ,向量 a , b, c共面的一组是A. a = ( 4, 2, 1 ), b = (-1, 2 , 2 ), c = ( -1, 1

4、 ; 5 ).B. a = ( 1, 2, -3 ), b = (-2, -4 , 6 ) , c = ( 1, 0 ; 5 ).C. a = ( 0, 0, 1 ), b = (-1, 0 , 0 ), c = ( 0, -1 ; 0 ).D. a = ( -2, 3, 1 ), b = (3, -2 , -2 ), c = ( -1, 0 ; 2 ).测试题答案1, (1) 证明：因为 AE平面 BCD，所以 AECD，又BCCD，且AEBC=E，所以 CD平面 ABC，又 CD 平面 ACD，所以平面 ACD平面 ABC(2) 解：因为 CD平面 ABC，1S ABCCD所以 V A-B

5、CD=VD-ABC= 3，在 ADC中， ACCD，AD=BC=4，AB=CD=3，所以 AC= AD 2CD 2= 4 232= 7所以在 ABC中，AB 2BC 2AC 29167 3cosABC=2ABBC= 234 =4，1(3) 271 AB BC sin ABC13 4737sin ABC=4= 4 ，所以 SABC= 224= 2，137337又CD=3，所以 VA-BCD= 32=2 .2, (1) 以A为坐标原点， , 分别以 AB、AP所在直线为 y轴、 z轴, 以过 A点且平行于 BC直线为 x轴建立空间直角坐标系. 在直角 ABC中, AB= 3 ，AC=2， BC=1

6、A(0,0,0) ，B(0, 3 ,0) ，C(1,3 ,0) ，P(0,0,1). AB(0,AB PC3,0) ，PC(1,3 ,1 ),cos< AB , PC >=| AB | | PC | =03015150 30131 =5 . 直线 AB与直线 PC所成的角余弦为5 .(2) 取平面 ABC的一个法向量 AP =(0，0，1) ，设PC和面 ABC所成的角为，|PC AP | 001 |5则sin=|cos< PC ， AP >|= | PC | | AP | = 1310 0 15 . PC和面5ABC所成的角的正弦值为5 (3) 设平面 PAC的法向量

7、 m =(a,b,c)，则m AP ，m AC ，且 AP =(0,0,1)，00 c 0AC =(1,3 ,0) ， a3b 0 ，不妨取 m =(3 ,1,0)，设平面 PBC的法向量 n =(e,f,g)，则 n PB ， n BC ，且 PB =(0, 3 ,1 ) ， BC =(1,0,0),03 fg0m n e 000, 不妨取 n =(0,1,3 ) ，cos< m , n >= | m | | n | =0101131001 3 = 4 , 故二面角 A-PC-B的余弦值为 4 .3,(1)解：设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x ，高为 x ， Vl (4-2x) 2x 4(x 3一 4x2 4x) (0x2)V1/4(3x 2一8x4) 12(x2223 )( x 2), 当0x 3 时，V1/ 0，当 3 x 2时，V1/0当2时， V 取最大值128(2) 解：重新设计方案如下：327xl如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图焊成长方体容器