费业泰误差理论与数据处理课后答案全_2837

1、误差理论与数据处理练习题参考答案第一章绪论1-7用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差测得值实际值100.2 100.5 0.3（ Pa）。相对误差 =0.30.3%100%100.52+h2h +h ）为（ 1.042301-9 使用凯特摆时， g 由公式 g=4 （ h） /T 给定。今测出长度（1212± 0.00005）m，振动时间 T 为（ 2.0480± 0.0005）s

2、。试求 g及其最大相对误差。 如果（ h +h ）212测出为（ 1.04220±0.0005）m，为了使 g的误差能小于 0.001m/s ，T 的测量必须精确到多少？【解】测得（h1+h 2）的平均值为1.04230（ m）， T 的平均值为2.0480（ s）。由 g42h2 ) ,得：T2( h1g4 21.042309.81053( m / s2 )2.04802当 (h1h2 ) 有微小变化(h1 h2 ) 、 T 有T 变化时，令 hh1h2g 的变化量为：gg(h1gT4282h2 ) T(h1h2 )T2(h1h2 )3 (h1h2 )TT4 2 ( h12 Th2

3、 )T2h2 )(h1Tgghg4 28 2hTT2hT3 h TT4 2( h2T h)T 2Tg 的最大相对误差为：g42T 2 h2T42T 2 h2TT hh 2 TT hg4 22 (h1h2 )4 22 hhTTT 0.000052(0.0005) 100%0.054%1.042302.0480如果 (h1h2 ) 测出为（ 1.04220± 0.0005）m，为使 g 的误差能小于0.001m/s2，即： g 0.001也即422TgT 2 (h1 h2 )T( h1h2 )0.001420.00052T1.042200.0012.0480 22.0480T0.0005

4、 1.01778 T0.00106求得：T0.00055(s)1-10. 检定 2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为 100V的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】引用误差示值误差测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：U m22%由于： 2%<2.5%rm100U m所以该电压表合格。1 13多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：0.10.000010.001%10000射手的相对误差为：1c

5、m0.01m0.002%50m0.000250m多级火箭的射击精度高。附加 1 1 测得某三角块的三个角度之和为180o00 02” , 试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o00 02180o2相对误差等于：222180o18060 600.0000030864 1 0.000031%648000第二章误差的基本性质与处理2-2. 试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义和实际用途有何x不同？【解】单次测量的标准差表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列222中单次测量不可靠性的评定标准。12nn算术平均值的标准差是表征同一被测量各个独立列算术平

6、均值分散性的参数，可x作为算术平均值不可靠性的评定标准xn在 n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的1 ，当测n量次数 n愈大时 , 算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在2,2中的概率。【解】（1）误差服从正态分布时P(2)1222(22 ) d2e2222(22 ) de0引入新变量 t:t,t,经变换上式成为：2tt2e 2 dt2(t )2 0.4195 0.84 84%P( 2)02（ 2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：a，所以区间2 ,2a,a ,2故 :1 a11P( 2)

7、da a22（ 3） 误差服从均匀分布时因其标准差为：a3，所以区间2 ,22a,2a ，故331212P(23a 1282%)2a 2ada 0.822a332-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为 g）为 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48， 236.47， 236.40，求其算术平均值及其标准差。【解】选参考值 x0236.00，计算差值xi xi236.00、 x0 和残差 vi等列于表中。n=8 ，直接求得：x18236.43( g )或依算术平均值计算公式，xi8 i 1nvi2i0.0251计算标准差：用贝塞尔公式计算：1n

8、180.06(g )10.06xn80.022 6 测量某电路电流共5 次，测得数据 ( 单位为 mA)为 168.41 ，168.54 ，168.59 ，168.40 ，168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解：5I iIi1168.49( mA)55(I iI )i 10.0851x50.080.04n52( IiI )2i 110.080.05R0.67450.02353x54( I iI )40.79790.03i 10.080.06T5515x2 7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据 ( 单位为 mm)为 200015，20.0016

9、，20.0018 ，20.0015 ，20.0011 。若测量值服从正态分布，试以99的置信概率确定测量结果。解：求算术平均值nlixi 120.0015mmn求测量列单次测量的标准差nv2用贝塞尔公式计算：i 1i2610 82.55 10 4 mmn14nvi1.2530.00082.24 10 4 mm用别捷尔斯公式计算：' 1.253i 11)n(n5 4求算术平均值的标准差xn2.55 10 41.14 10 4 mm5x ''2.24 10 4 0.0001n5求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差做法1：因 n5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布

10、处理。现自由度为： n 1 4； 1 0.990.01，查 t 分布表有： t 4.60单次测量的极限误差：lim xt4.602.5510 41.17310 31.17 10 3 mm算术平均值的极限误差：lim xt x4.601.1410 45.2410 4 mm写出最后测量结果Lx lim x 20.0015 5.24 10 4 mm做法2：因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2 (t)=99% ，则 (t)=0.495 ，查正态分布积分表，得置信系数t2.6单次测量的极限误差：lim xt2.60 2.55 10算术平均值的极限误差：lim xtx2.60 1.14 10写出最

11、后测量结果46.63 10 40.0006642.964 10 40.0003Lxlim x20.00150.0003 mm2 10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差 0.001mm，若要求测量的允许极限误差为± 0.0015mm，而置信概率P 为 0.95 时，应测量多少次？解：根据极限误差的意义，有tx根据题目给定得已知条件，有t 0.0015nt0.0015n0.0011.5查教材附录表3 有若 n 5， v 4， 0.05 ，有 t 2.78 ，t2.782.781.24n52.236若 n 4， v 3， 0.05 ，有 t 3.18 ，t3.183.18n41.5

12、92即要达题意要求，必须至少测量5 次。2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5 m。若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测量结果。若重复测量10次，测得值（单位为mm）为 26.2025 ，26.2028 ，26.2028 ，20.2025 ，26.2026 ，26.2022 ，20.2023 ，26.2025 ，26.2026 ，26.2022 ，试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由中10次重复测量的测量值，写出上述、的测量结果。解：单次测量的极限误差以3 计算 :lim x330.51.5(m)0.0015(mm)所以测量结果可表示为

13、：26.2025± 0.0015 (mm)10 重复测量10 次，计算其算术平均值为：xxi26.2025(mm)i1取与相同的置信度，算术平均值的标准差:xn0.0005 1.58 10-4 mm10lim x3 x31.58 10-44.74 10-45 10-4 mm则测量结果为： x 3 x26.20250.0005 (mm) 若无该仪器测量的标准差资料，则依10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值 x026.202，计算差值xixi26.202、x0 和残差 vi 等列于表中。用贝塞尔公式计算：算术平均值的标准差：nvi2i 14210 82.2 10 4 m

14、mn11012.2104xn100.00007 mm取与相同的置信度，则测量结果为：xi3此时的测量结果为26.202530.0002226.20250.0006626.20250.0007 (mm) ；的测量结果为26.202530.0000726.20250.0002126.20250.0002(mm).2-13 测量某角度共两次，测得值为 =24°1336”， =24° 1324”，其标准12差分别为 1 =3.1 ”，2=13.8 ”，试求加权算术平均值及其标准差。【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。p1 : p2111:1112 :23.1213.82:1

15、9044 :961129.61190.44取：p119044, p2961选取024 13'36'' ，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：mpii19044 0961 (12'')i 10m24 13'36''961pi19044i 12413'35.4''加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：v10.6'',v211.4''算术平均值的标准差为：mpi vxi2190442( 11.4)2i10.6 9616.6''xm(21)(19

16、044961)(m1)pii12-15. 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为n 乘以任一个测量值的权。【证明】因为等精度测量，可设n 个测得值的标准差均为，且其算术平均值的标准差为： xn又设各测量值的权相等，即：p1p2pip0 。 n 个相等精度测得值的平均 值 的 权 为 px ， 则 ： n 个 相 等 精 度 测 得 值 的 平 均 值 的 权 px 与 各 测 得 值 的 权12 :1n1pi (i 1,2.n) 的比为 px : pi2:n :1xipxnpi2-17 对某量进行 10次测量，测得数据为 14.7 ，15.0 ，15.2 ，14.8 ，15.5 ，14.6

17、 ，14.9 ， 14.8 ，15.1 ， 15.0 ，试判断该测量列中是否存在系统误差。解：先计算算术平均值：x14.96 。各测量数据的残余误差分别为：v10.26v20.04v30.24v40.16v50.54v60.36v70.06v80.16v90.14v100.04 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 采用不同公式计算标准差比较法。nvi2i 10.624按贝塞尔公式：1n1100.2631nvi2用别捷尔斯法计算：1.253i 11.2532n( n0.2641)10 9令：210.2641.00410

18、.263因为：220.004 ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。n 10.66710 1 (马利科夫准则 )按残余误差校核法：前 5 个残余误差和与后 5 个残余误差的差值为510vivj 0.4 ( 0.4) 0.8i 1j 6两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。阿卑 - 赫梅特准则n10.260.040.040.240.240.160.160.54uvvii10.540.360.360.060.060.160.160.140.140.04i10.30560.3n1290.26320.21un120.21所以测量列中含有周期性系统误差（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在

19、本题给出的数据存在粗大误差- 这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。）2-18、对某一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 4 次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）：50.82， 50.83， 50.87， 50.89；50.78， 50.78， 50.75， 50.85， 50.82，50.81试判断前4 次和后 6 次测量中是否存在系统误差。【解】将两组数据混合排列，用秩和检验法有：n14, n26,T 5.57 9 10 31.5T14,T30,TT所以有根据怀疑存在系统误差2-19 等精度测得某

20、一电压10次，测得结果（单位为 V）为 25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为 V ）为 25.93， 25.94， 25.98， 26.02，26.01， 25.90， 25.93， 26.04， 25.94，26.02。试用 t检验法（取 =0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。【解】计算两组测量结果的算术平均值：1x26.0011y25.971xy101021( xix

21、 )20.00155Sy21( yi y)20.00215Sx1010t (26.001 25.971)1010(10102)1.4810)(100.0015510(100.00215)由 =10+10-2=18 及取 =0.05 ，查 t 分布表，得 t2.1因 t1.48t2.1，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。2-20. 对某量进行了12次测量，测得数据为 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14， 20.18， 20.18， 20.21， 20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。12【解】先计算算术平均值：x

22、xi20.125 。各测量数据的残余误差分别为：i 1v10.065v20.055v30.065v40.045v5 0.025v6 0.005v70.015v80.015v90.055v100.055v11 0.085 v120.065 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。 (马利科夫准则 )按残余误差校核法：前6 个残余误差和与后6 个残余误差的差值为612vivi0.26 0.260.52i=1i=7两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 采用不同公式计算标准差比较法。nvi20.0321

23、i 1按贝塞尔公式：1n1120.0541nvi0.55用别捷尔斯法计算：21.253i 11.2530.06n(n1)12 11u210.060.1111 0.054220.6030.11，故无根据怀疑测量列存在系统误差。n1121阿卑 - 赫梅特准则n 1n 1 2110.05420.01uvvii 10.02i 1因为： un1 2 ，所以测量列中含有周期性系统误差（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？）2 21 对某量进行两组测量，测得数据如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.12

24、1.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.41 1.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+1

25、0.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174因 n1n2 1510 ，秩和 T 近似服从正态分布， N ( n1( n1n21),n1n2 ( n1 n21)212由 an1 (n1n21)232.5 ；n1 n2 (n1 n2 1)24.11求出：(2)()12tT a2.43选取概率 2(t)0.95，即 (t )0.475 ，查教材附表1 有 t1.96 。由于 tt，因此，可以认为两组数据间有系统误差。选取置信概率99%（显著度0.01），即取(t )0.495 ，由附录表 1 查得： t2.60 。由于 t2.43t2.60 ，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。2-2

26、2 对某量进行15 次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、 格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。【解】将有关计算数据：平均值、残差vi 等列于表中：直接求得 15个数据的算术平均值及其标准差：15115ivi0.98031xxi 28.57n10.26515 i 115 1 用莱以特准则判别粗大误差因 v40.9530.795，故第 4 个测量数据含测量误差，应

27、当剔除。再对剩余的 14 个测得值重新计算，得：14114vi '20.0148x ''i 1xi 28.50n10.033714 i 114 13 '30.0337 0.1011由表知第14 个测得值的残余误差：v '(14)0.1730.1011 ，故也含粗大误差，应剔除。再重复验算，剩下的13 个测得值已不包含粗大误差。 用格罗布斯准则判别已经计算出15 个测量数据的统计特征量：x28.57,0.265 。将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：x(1)28.40,x x(1)28.5728.4 0.17x(15)29.52, x(15)x 29.5

28、228.57 0.952-26 对某被测量 x 进行间接测量得： 2x1.44,3 x2.18,4 x 2.90 ，其权分别为 5:1:1 ，试求 x 的测量结果及其标准差？1.442.180.727, x32.90【解】 x10.72, x20.725,234选取 p1 5, p21, p3 1可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：5010.00710.005x0.720.722511加权算术平均值的标准差的计算，先求残余误差：vx1x1x0.002,vx20.005,vx30.003算术平均值的标准差为：mpi vxi2i15212120.0020.0050.003xm(31)(511)

29、0.002(m1)pii1lim x3x30.0020.006x0.7220.0062-28 测量圆盘的直径 D(72.0030.052) mm ，按公式计算圆盘面积SD2/4，由于选取的有效数字位数不同，将对面积S 计算带来系统误差，为保证S 的计算精度与直径测量精度相同，试确定的有效数字位数？【解】测得 D 的平均值为 72.003mm由 SD 2,得：4g421.042309.81053( m / s2 )2.04802当 D 有微小变化D 、有变化时， S 的变化量为：SSDSDDD 2D240.0523.141672.003( 0.052)72.00322472.00320.0525

30、.881340.00450.004取 4 位有效数字第三章误差的合成与分配3-2为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：a 161.6mm, b 44.5mm, c 11.2 mm ，已知测量的系统误差为a1.2mm, b0.8mm, c 0.5mm ，测量的极限误差为a0.8mm, b0.5mm,c0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。【解】立方体体积：Vabc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：V0abc161.6 44.511.2 80541.44(mm3 )体积 V的系统误差为：考虑测量系统误差后的立方体体积：又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：故

31、测量结果为： Vlim V77795.703729.1( mm3 )3 3 长方体的边长分别为1，2 ,3 测量时： 标准差均为 ；标准差各为 1、 2、 3 。试求体积的标准差。解：长方体的体积计算公式为： Va1a2a3V)22(V)22V)22体积的标准差应为：V(1a22(3a1a3现可求出：Va2 a3；Va1a3；Va1a2a1a2a3若：123(V22(V22(V)22V)2(V2(V2则有：V)1)2a33()a1a2a1a2a3( a2 a3 )2( a1 a3 ) 2( a1 a2 ) 2若：123则有：( a2a3 )22( a1 a3 )22(a1a2 )22V1233-4测量某电路的电流 I22.5mA ， 电 压 U12.6V ，测量的标准差分别为I0.5mA,U0.1V ，求