2021届青海省西宁市大通县高考数学三模试卷(理科)(解析版)

1、2021 年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分） .1已知集合ax|4 x3 ，bx|（x2）（ x+5） 0，则 ab（）a（ 5，4）b（ 3，2）c（ 2，4）d3， 2）2已知复数z（ i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知向量，满足 |1，|2，|，则（）abcd4若双曲线 y2 1（a0）的实轴长为1，则其渐近线方程为（）ay xbycydy 2x5如图显示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为 2cm 的圆形铜片，中间有边长为1cm 的正方

2、形孔若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（）abcd6已知函数f（x） asinx（a 0，0）与 g（x）cosx 的部分图象如图所示，则（）aa 1，ba 2，ca1，da2，7已知 f（x）为定义在r 上的奇函数，当x0 时， f（x） 2x，则 f（ x）的值域为（）a1，1b（，1）（ 1，+）c（ 1，1）d（ 1，0）（ 0，1）8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a +1b（ 6+） +1c +d（ 6+） +9若 x，y 满足约束条件，则 z12x+3y 的最大值为（）a15b30cd3410若 tan ，tan是方程 x2

3、2x 40 的两根，则 |tan（ ）|（）abcd211设 alog30.4，blog23，则（）aab0 且 a+b0bab 0且 a+b0cab0 且 a+b0dab0 且 a+b012设 a1，a2， b1分别是椭圆的左、右、上顶点，o 为坐标原点， d 为线段 ob1的中点，过a2作直线 a1d 的垂线，垂足为h若 h 到 x 轴的距离为，则 c 的离心率为（）abcd二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13（）5的展开式xy3的系数为14曲线 y x3在点（ 1， 1）处的切线方程为15 abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b， c，已知 a4，c9，s

4、inasincsin2b，则 cosb16已知 a，b，c，p 四点都在以pc 为直径的球o 的表面上， abbc， ab2，bc4，若球 o 的体积为8 ，则异面直线pb 与 ac 所成角的正切值为三、解答题：共70 分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17设 sn为数列 an的前 n 项和， sn2n2+5n（1）求证：数列 为等比数列；（2）设 bn2sn3n，求数列 的前 n 项和 tn18如图，在各棱长均为4 的直四棱柱abcd a1b1c1d1中，底面abcd 为

5、菱形， bad60， e 为棱 bb1上一点，且be3eb1（1）求证：平面ace平面 bdd1b1；（2）求二面角caeb 的余弦值19某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分，绘制如下频率分布直方图（分组区间为40，50），50，60），60，70），70，80）， 80，90，90，100），并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分0， 60）60，80）80，90）90，100满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有340 人（1）求表中 a 的值及不满意的人

6、数；（2）在等级为不满意的师生中，老师占，现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的原因，并从中抽取3人担任整改督导员，记x为老师整改督导员的人数，求x 的分布列及数学期望20已知 p0，抛物线 c1：x22py 与抛物线c2：y22px 异于原点o 的交点为m，且抛物线 c1在点 m 处的切线与x 轴交于点a，抛物线c2在点 m 处的切线与x 轴交于点b，与y轴交于点c（1）若直线 yx+1 与抛物线c1交于点 p，q，且 |pq|2，求抛物线c1的方程；（2）证明： boc 的面积与四边形aocm 的面积之比为定值21已知函数f（x）（ a 1）x+1alnx（ a r）（1）若函数

7、 f（x）在 x2 处取得极值，求a 的值并确定f（x）在 x2 处是取得极大值还是极小值；（2）若 f（x）对 x （0，+）恒成立，求a 的取值范围（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xoy 中，曲线c1的参数方程为为参数），曲线c2的参数方程为为参数）（1）将 c1，c2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 （cos 2sin ）4，若 c1上的点 p 对应的参数为，点 q 上在 c2

8、，点 m为 pq 的中点，求点m 到直线 l 距离的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x） x2+2x， g（x） |x1|x+3|（1）求不等式g（x） 3 的解集；（2）若关于 x 的不等式f（ m） +mg（x）的解集非空，求m 的取值范围参考答案一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分） .1已知集合ax|4 x3 ，bx|（x2）（ x+5） 0，则 ab（）a（ 5，4）b（ 3，2）c（ 2，4）d3， 2）解： a x|3x4，bx|5x 2 ；ab x|3x2 3，2）故选： d2已知复数z（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第

9、二象限c第三象限d第四象限解：复数zi，则+i 在复平面内对应的点（，）位于第一象限故选： a3已知向量，满足 |1，|2，|，则（）abcd解： | |1，|2， |，174，则故选： b4若双曲线 y2 1（a0）的实轴长为1，则其渐近线方程为（）ay xbycydy 2x解：双曲线 y2 1（a0）的实轴长为1，可得 a，则双曲线的渐近线方程为：y 2x故选： d5如图显示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为 2cm 的圆形铜片，中间有边长为1cm 的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（）abcd解：利用面积型几

10、何概型公式可得，圆形铜片的面积s4 ，中间方孔的面积为s1，油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，即油滴正好落入孔中的概率为p故选： d6已知函数f（x） asinx（a 0，0）与 g（x）cosx 的部分图象如图所示，则（）aa 1，ba 2，ca1，da2，解：由图象可知，a1，1.5，a2， t6，又 6t，故选： b7已知 f（x）为定义在r 上的奇函数，当x0 时， f（x） 2x，则 f（ x）的值域为（）a1，1b（，1）（ 1，+）c（ 1，1）d（ 1，0）（ 0，1）解：当 x0 时， f（x） 2x （0，1），f（x）为定义在r 上的奇函数，f（ 0）

11、 0，则当 x0 时， f（ x） （0，1），综上 f（x） （ 1，1），即函数的值域为（1，1），故选： c8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）a +1b（ 6+） +1c +d（ 6+） +解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成该几何体的表面积s故选： a9若 x，y 满足约束条件，则 z12x+3y 的最大值为（）a15b30cd34解：画出不等式组，表示的可行域，又x z，由 x3 时， y，则当直线z12x+3y 经过点时，z 取得最大值故选： c10若 tan ，tan是方程 x22x 40 的两根，则 |tan（ ）|（）abcd2解： tan

12、 ，tan是方程 x22x4 0 的两根，tan +tan 2，tan ?tan 4，解得tan 1+，tan 1；或tan 1，tan 1+；tan（ ），|tan（ ）|，故选： a11设 alog30.4，blog23，则（）aab0 且 a+b0bab 0且 a+b0cab0 且 a+b0dab0 且 a+b0解：； 1log30.40；又 log231；即 1a 0，b1；ab0，a+b0故选： b12设 a1，a2， b1分别是椭圆的左、右、上顶点，o 为坐标原点， d 为线段 ob1的中点，过a2作直线 a1d 的垂线，垂足为h若 h 到 x 轴的距离为，则 c 的离心率为（）a

13、bcd解：直线a1d 的方程为，直线 a2h 的方程为，联立，得，a22b2，则故选： c二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13（）5的展开式xy3的系数为解：（）5的表示 5 个因式（）的乘积，故有 3 个因式取，其余的2 个因式都取，可得展开式含xy3的项，故展开式xy3的系数为?，故答案为：14曲线 y x3在点（ 1， 1）处的切线方程为y 3x+2解： y 3x2y|x1 3而切点的坐标为（1， 1）曲线 y x3在（ 1， 1）的处的切线方程为y 3x+2故答案为： y 3x+215 abc 的内角 a，b，c 的对边分别为a，b， c，已知 a4，c9，si

14、nasincsin2b，则 cosb解： a4，c9，sinasincsin2b，由正弦定理可得：b2ac4936，cosb故答案为：16已知 a，b，c，p 四点都在以pc 为直径的球o 的表面上， abbc， ab2，bc4，若球 o 的体积为8 ，则异面直线pb 与 ac 所成角的正切值为3解： abbc， abc 的外心 o为 ac 的中点， oo平面abc，易证 paoo， pa平面 abc，从而球o 的半径 roa，又8 ，r， ac2， ao，oo 1， paab2，设 pb 与 ac 所成角为 ，则 cos cospba?cosbac故 tan 3，故答案为： 3三、解答题：共

15、70 分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，毎个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17设 sn为数列 an的前 n 项和， sn2n2+5n（1）求证：数列 为等比数列；（2）设 bn2sn3n，求数列 的前 n 项和 tn【解答】证明：（1） sn为数列 an的前 n 项和， sn2n2+5n，7，ansnsn1（ 2n2+5n） 2（n1）2+5（n1） 4n+3，当 n1 时， 4n+3 7a1，an4n+3，34n+3，3481，数列 为等比数列解：（ 2）bn2sn3n4n2+10n3n4n2+7n，（）

16、，数列 的前 n 项和：tn（）18如图，在各棱长均为4 的直四棱柱abcd a1b1c1d1中，底面abcd 为菱形， bad60， e 为棱 bb1上一点，且be3eb1（1）求证：平面ace平面 bdd1b1；（2）求二面角caeb 的余弦值【解答】（ 1）证明：底面abcd 为菱形， acbd在直四棱柱abcda1b1c1d1中， bb1底面 abcd， bb1acbb1bd b， ac平面 bdd1b1，又 ac? 平面 ace，平面ace平面 bdd1b1（2）解：设 ac 与 bd 交于点 o，a1c1与 b1d1交于点 o1，以 o 为原点， oa、ob、oo1分别为x、 y、

17、 z 轴，建立空间直角坐标系o xyz，如图所示，则，e（0，2，3）， d1（0， 2.4），则，设为平面 ace 的法向量，则，取 z12，则取 ab 的中点 f，连接 df ，则 df ab，易证 df 平面 abe，从而平面abe 的一个法向量为，由图可知，二面角caeb 为锐角，二面角cae b 的余弦值为19某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分，绘制如下频率分布直方图（分组区间为40，50），50，60），60，70），70，80）， 80，90，90，100），并将分数从低

18、到高分为四个等级：满意度评分0， 60）60，80）80，90）90，100满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有340 人（1）求表中 a 的值及不满意的人数；（2）在等级为不满意的师生中，老师占，现从该等级师生中按分层抽样抽取12 人了解不满意的原因，并从中抽取3 人担任整改督导员，记x 为老师整改督导员的人数，求x 的分布列及数学期望解：（1）由频率分布直方图可知：，设不满意人数为x，则（ 0.002+0.004）：（ 0.016+0.018） x：340，解得 x60（2）按分层抽样，12 人中老师有4 人，学生有8 人，则x 的 可 能 取 值 为0 ， 1

19、 ， 2 ， 3 ，则 x 的分布列为：x0123p故20已知 p0，抛物线 c1：x22py 与抛物线c2：y22px 异于原点o 的交点为m，且抛物线 c1在点 m 处的切线与x 轴交于点a，抛物线c2在点 m 处的切线与x 轴交于点b，与y 轴交于点 c（1）若直线 yx+1 与抛物线c1交于点 p，q，且 |pq|2，求抛物线c1的方程；（2）证明： boc 的面积与四边形aocm 的面积之比为定值解：（ 1）由，得 x22px2p0，设 p，q 的坐标分别为（x1，y1），（ x2，y2），则 x1+x22p，x1x2 2p，所以 |pq|?2，因为 p0，所以 p1，所以抛物线c1

20、的方程为x22y（2）证明：由，得 xy2p 或 xy0，则 m（2p， 2p），设直线 am 的方程为： y2pk1（x2p），与 x22py 联立得 x22pk1x4p2（1k1） 0，由1 4p2k12+16p2（1k1） 0，得（ k12）2 0，所以 k12，设直线 bm 的方程为y2pk2（x2p），与 y22px 联立，得k22y22py4p2（1 k2） 0，由2 4p2+16p2k2（1 k2） 0，得（ 1 2k2）20，所以 k2，所以直线am 的方程为y2p2（x2p），直线 bm 的方程为y2p（x2p），所以 a（p，0）， b（ 2p，0）， c（0， p），所以

21、 sbocp2，sabm3p2，所以 boc 的面积与四边形aocm 的面积比为（为定值）21已知函数f（x）（ a 1）x+1alnx（ a r）（1）若函数 f（x）在 x2 处取得极值，求a 的值并确定f（x）在 x2 处是取得极大值还是极小值；（2）若 f（x）对 x （0，+）恒成立，求a 的取值范围解：（ 1） f（ x）（ a1）x+1alnx，x0f（ x） a1+，令 f（ x） 0，解得 x 1 或 x，函数 f（x）在 x2 处取得极值，2，解得 a，当 x （0，1），或（ 2，+）时， f（ x） 0，函数单调递增，当 x （1，2）时， f（ x） 0，函数单调递减，f（x）在 x2 处是取得极小值，（2） f（x）对 x （0，+）恒成立，（ a1） x+1 alnx+1，a（xlnx） x，在 x （0，+）恒成立，x lnx0 恒成立，a，在 x （0，+）恒成立，a0，1，设 g（x） 1，g（ x），令 g（ x） 0，解得 xe，当 xe 时， g（ x） 0，函数 g（x）单调递增，当 0 x e时， g（ x） 0，函数 g（x）单调递减，g（x）min g（e） 1，a，故 a 的取值范围为（，+）（二）选考题：共10 分